矩阵的基本运算法则

矩阵的基本运算法则

1、矩阵的加法

矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ⨯矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）：

（1）交换律：+=+A B B A

（2）结合律：()()++++A B C =A B C

注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。

2、数与矩阵相乘

数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ⨯矩阵，λ和μ为数）：

（1）结合律：()λμλμ=A A

（2）分配律：()λμλμ+=+A A A

（3）分配律：()λλλ+=+A B A B

注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。

3、矩阵与矩阵相乘

矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）：

（1）交换律：≠AB BA （不满足）

（2）结合律：()()=AB C A BC

（3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B

（4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA

4、矩阵的转置

矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）：

（1）()T T =A A

（2）()T T T +=+A B A B

（3）()T

T λλ=A A

（4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式

由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）：

（1）T =A A

（2）n λλ=A A

（3）=AB A B

6、共轭矩阵

共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）：

（1）+=+A B A B

（2）λλ=A A

（3）=AB AB

7、逆矩阵

方阵的逆矩阵满足下述运算规律：

（1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A

（2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111

λλ--=A A

（3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A

参考文献：

【1】线性代数（第五版），同济大学