二次函数的值域.

2 2
上的最小值为3，求正数a的值。
五、动函数动区间的二次函数的值域 例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
a 解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a] 2 a 1 1 故a>-1, 2 > - 2 ,∴对称轴在x= - 2 的右边. a ∴(1)当 -1< 2 ≤a时,即a≥0时,由二次函数图象
∴ g(t)=f(t)=t2－2t－2
(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=－3
(3)当t+1＜1，即t＜0时，f(x)在区间[t，t+1]上是减函数，
∴g(t)=f(t+1)=t2－3
t2－2t－2 (t＞1) 综上，得g(t)= －3 t2－ 3 (0≤t≤1) (t＜0)
2
上的动点，求x2+y2的最值
( x 2) 2 y2 设点p(x,y)是椭圆C: 1 4 6
设计意图：利用简单的原理解决复杂的问题
三、定函数动区间的二次函数的值域
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2 o 1 a 2 x
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3
y
∴当x=0时，ymax=3 当x=a时，ymin=a2-2a+3
3 2
o a 1 x
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3
a0
时，
1
ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
图（2）
例3、求
x
f ( x) x2 ax 3 在
a 2
0 x 1
上的最值。
3、由图（3）得： 当 0
a 2 1 ，即1 a 0 时， 2
0
1 2
1
ymax f (1) a 4 ymin a a2 f ( ) 3 2 4
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2;当x=0时，ymax=3
3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调 递减,在[1，a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2, 当x=a时,ymax= a2-2a+3
y
3 2 o 1 2 x a
变式 设函数f(x)=x2－2x－2在区间[t，t+1]上的最小值 是g(t)，求g(t)的解析式。 解：由已知可知函数f(x)对称轴为x=1 (1)当t＞1时，f(x)在区间[t，t+1]上是增函数，
四、动函数定区间的二次函数的值域
例3、求
f ( x) x2 ax 3 在
x a 2
0 x 1
上的最值。
1、由图（1）得： a 1 当 ，即 2
0
1
ymax ymin
a 2 时， f (0) 3 f (1) a 4
图（1）
a x 2
0
2、由图（2）得： a 0 ，即 当 2
y
可知: ymax =f (2)当a<
a 2
2 a a ( )= 4 2
a2 4
时,即-1<a<0时,
-1 o
a 2
a x
例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大 a 值 解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a]
a 1 1 故a>-1, 2 > - 2 ,∴对称轴在x= - 2 的右边. a ∴(1)当 -1< 2 ≤a时,即a≥0时 , 由二次函数图象 2 a a 可知: ymax =f ( )= 4 y 2 a a2 (2)当a< 2 时,即-1<a<0时, 4 2
图（3）
a x 2
1 2
4、由图（4）得：
1 a 1 ，即 2 a 1时， 当 2 2
1
ymax f (0) 3 ymin
图（4）
a a2 f ( ) 3 2 4
已知函数f ( x) 4 x 4ax a 2a 2在区间[0，2]
解：由已知得
y 2sin sin
2
1 ∴函数的值域为 , 8
1 2 1 2(sin ) 4 8 sin 1 ， 1 ∴当x=1时 ymax 3 1 1 ymin ∴当x= 时 4 8
3
Fra Baidu bibliotek
3 解：由已知得 y 6 ( x 2) 2 0 2 解得 0 x 4 3 2 2 2 x y x 6 ( x 2) 2 2 1 1 2 2 x 6 x ( x 6) 18 2 2 2 2 ∴当 x 0 时，x y 取最小值0 2 2 ∴当 x 4 时，x y 取最大值16
值域为 , 4
如 : y x 2 2 x 3 ( x 1) 2 4
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1 0 -1
2 1 1 2 3
2
b 4ac b2 A( , ) 2a 4a
-1
b 4ac b A( , ) 2a 4a
-1
0 -1
1
2
3
求函数 y sin cos 2 1 的值域
二次函数的值域
一、定义域为R的二次函数的值域 求二次函数y ax2 bx ca 0当x R时的值域是先把它配方
2 b 4 ac b 为y a x 2a 4a 2
4ac b 2 4ac b 2 当a 0时y , ;当a 0时, 值域为 , ; 4a 4a