数学建模论文(蒙特卡罗的多服务台和单服务台排队系统)

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利用Monte Carlo方法模拟单服务台排队系统和多服务台排队系统

摘要

蒙特卡罗方法（Monte Carlo）又称统计模拟法随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。本文通过两个具体的服务机构为例，分别说明如何利用蒙特卡洛方法模拟单服务台排队系统和多服务台排队系统。

单服务台排队系统（排队模型之港口系统）：通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1

M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。

多服务台排队系统（开水供应模型）：为了解决水房打水时的拥挤问题。根据相关数据和假设推导，最终建立了多服务窗排队M/G/n模型，用极大似然估计和排队论等方法对其进行了求解，并用Matlab软件对数据进行了处理和绘图。用灵敏度分析对结果进行了验证。本模型比较完美地解决了水房排队拥挤问题，而且经过简单的修改，它可以用于很多类似的排队问题。

关键词：蒙特卡洛方法，排队论，拟合优度，泊松流，灵敏度分析。

一、问题重述

港口排队系统：一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。

开水供应系统：学院开水房的供水时间有限，水房面积有限，水管易受水垢堵塞。根据调查数据可知：通畅时几乎无人排队，堵塞时水房十分拥挤。由此可以看出水房设计存在问题，我们可以把开水房看成是一个随即服务系统，应用排队论的方法对系统运行状态做定量的描述。

二、基本假设

港口排队系统：通过对问题的重述，那么，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少？

若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少？

卸货设备空闲时间的百分比是多少？

船只排队最长的长度是多少？

开水供应系统：

假设Ⅰ、顾客流满足参数为λ的Poisson分布，其中λ为单位时间到达的顾客平均数。每个顾客所需的服务时间相互独立，顾客流是无限的，在观测期间平稳。

假设Ⅱ、排队方式为单一队列的等候制，先到先服务。虽然水房内有多个服务台，每个服务台都有自己的队列，但同时顾客总是自由转移到最短的队列上，不可能出现有顾客排队而服务器空闲的情况。本文最后对两种排队方式的比较也表明这一假设是合理的。

假设Ⅲ、水房共有20个并联的服务台（水龙头），设每个服务台的服务时间服从某个相同的分布，t和σ分别是服务时间的均值和均方差，γ=σ/ t为偏离系数。由于锅炉及输水管容量的限制，使t依赖于正在进行服务的水龙头个数m，设此时平均服务时间t(m)。且存在一临界值当m<= m0 时，t(m)为常数

t0;m>m0时，管道中的水便分给 m 个龙头流出，从而 t(m)> t0,且 t(m)是 m 的单增函数。

假设Ⅳ、污垢的积累与时间成线性变化，设为f(x)=kT(k>0,表示污垢积累速率；T为距上次清理污垢时间间隔。

假设Ⅴ、单位时间为 10 秒。

显然，假设Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ都是合理的，对假设Ⅰ进行拟合优度检验，得出假设Ⅰ也是合理的。

三、符号约定

开水供应系统用到的符号和参数：

L ——系统内顾客数的期望值；

Lq——系统内排队顾客数的数学期望；

W ——顾客在系统内的平均逗留时间；

Wq——顾客排队等待时间的期望；

P0——系统内有服务台空闲的概率；

ρ=t /n ——系统的服务强度（即用水龙头的程度）；

n ——水龙头的个数。

α——Wq的上限值

β——Po的上限值

四、问题分析

港口排队系统：

排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。

//1

M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从

负指数分布，1为仅有一个打磨机。

排队论研究的基本问题

1.排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。

2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。

3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化）。

为了得到一些合理的答案，利用计算器或可编程计算器来模拟港口的活动。假定相邻两艘船到达的时间间隔和每艘船只卸货的时间区间分布，加入两艘船到达的时间间隔可以是15到145之间的任何数，且这个区间内的任何整数等可能的出现。再给出模拟这个系统的一般算法之间，考虑有5艘传至的假象情况。

对每艘船只有以下数据：

相邻两艘船到达的时间间隔20 30 15 120 25

卸货时间55 45 60 75 80 因为船1在时钟于t=0分钟计时开始后20分钟到达，所以港口卸货设备在开始时空空闲了20分钟。船1立即开始卸货，卸货用时55分，其间，船2在时钟开始计时后t=20+30=50分中到达。在船1与t=20+55=75分钟卸货完毕之前，船2不能开始卸货，这意味着船2在卸货前必须等待75-50=25分钟。

在船2开始卸货之前，船2于t=50+15=65分钟到达，因为船2在t=75分钟开始卸货，并且卸货需45分钟，所以在船2与t=75+45=120分钟卸货完毕之前，船3不能开始卸货。这样，船3必须等待120分钟。

船4在t=65+120=185分钟之前没有到达，因此船3已经在t=120+60=180分钟卸货完毕，港口卸货设备空闲185-180=5分钟，并且，船4到达后立即卸货。最后，在船4于t=185+75=260分钟卸货完毕之前，船5在t=185+25=210到达，于是船5在开始卸货前等待260-210=50分钟。