广州二中应元学校数学平面图形的认识(一)单元达标训练题(Word版 含答案)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?

小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)

问题情境2

如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)

问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题:

已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

（1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；

（2）如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。

（3）若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________.

【答案】（1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF

∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE

∴∠FBE+∠FDE=∠BFD

∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°

∴80°+∠BFD+∠BFD=360°

∴∠BFD=140°

（2）结论为：6∠M+∠E=360°

证明：∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF

∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM

∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM

∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°

∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°

∵∠M=∠ABM+∠CDM

∴6∠M+∠E=360°

（3）证明：根据（2）的结论可知

2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°

2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°

∵∠M=∠ABM+∠CDM

∴2n∠M+m°=360°

∴∠M=

【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；

【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。

（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度数即可。

（2）根据已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根据角平分线的定义得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，变形即可证得结论。

（3）根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根据∠M=∠ABM+∠CDM，代入变形即可得出结论。

2．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．

（1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；

（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；

（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；

（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）

【答案】（1）解：∠ACE=∠BCD，理由如下：

∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°，

∴∠ACE=∠BCD

（2）解：若∠DCE=30°，∠ACD=90°，

∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，

∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，

∠ACB=90°+60°=150°

（3）解：猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：

∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，

∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°

（4）解：成立

【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可求证；

（2）根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE，再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE，把∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解；

（3）由图知，∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD，则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE，把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解；

（4）根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。。

3．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB

的下方．

（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；

（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；

（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．

【答案】（1）解：∵∠BOC=120°，OM恰好平分∠BOC

∴∠BOM=∠BOC=60°

又∵∠MON=90°

∴∠BON=∠MON−∠BOM

=90°−60°=30°

（2）解：设的余角为x°，

则

由题意得：，

x=15,

3x=45，

所以的度数为45°

（3）解：（0°< <90°）．

．

【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据∠BON=∠MON−∠BOM，即可求出结果。

（2）设∠ C O M 的余角为x°，表示出∠COM的度数，再根据∠BOM=∠COM余角的3倍，建立方程求解即可。

（3）根据角的和与差计算即可。

4．根据下图回答问题：