广州二中应元学校数学平面图形的认识(一)单元达标训练题(Word版 含答案)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?
小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。

(直接写出结论)
问题情境2
如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。

(直接写出结论)
问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题:
已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；
（2）如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。

（3）若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________.
【答案】（1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF
∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE
∴∠FBE+∠FDE=∠BFD
∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°
∴80°+∠BFD+∠BFD=360°
∴∠BFD=140°
（2）结论为：6∠M+∠E=360°
证明：∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM
∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°
∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴6∠M+∠E=360°
（3）证明：根据（2）的结论可知
2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°
2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴2n∠M+m°=360°
∴∠M=
【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；
【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。

（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度数即可。

（2）根据已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根据角平分线的定义得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，变形即可证得结论。

（3）根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根据∠M=∠ABM+∠CDM，代入变形即可得出结论。

2．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）
【答案】（1）解：∠ACE=∠BCD，理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD
（2）解：若∠DCE=30°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，
∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，
∠ACB=90°+60°=150°
（3）解：猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：
∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，
∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°
（4）解：成立
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可求证；
（2）根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE，再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE，把∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解；
（3）由图知，∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD，则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE，把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解；
（4）根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。

3．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB
的下方．
（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；
（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；
（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．
【答案】（1）解：∵∠BOC=120°，OM恰好平分∠BOC
∴∠BOM=∠BOC=60°
又∵∠MON=90°
∴∠BON=∠MON−∠BOM
=90°−60°=30°
（2）解：设的余角为x°，
则
由题意得：，
x=15,
3x=45，
所以的度数为45°
（3）解：（0°< <90°）．
．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据∠BON=∠MON−∠BOM，即可求出结果。

（2）设∠ C O M 的余角为x°，表示出∠COM的度数，再根据∠BOM=∠COM余角的3倍，建立方程求解即可。

（3）根据角的和与差计算即可。

4．根据下图回答问题：
（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
【答案】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAM+∠MCD=90°，
理由：如图，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，
∵∠M=90°，
∴∠BAM+∠MCD=90°；
（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH．
理由：过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．
【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，过M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，过点G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．
5．已知，与两角的角平分线交于点P，D是射线上一个动点，过点D的直线分别交射线，，于点E，F，C.
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，若，请探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）在点运动的过程中，请直接写出，与这三个角之间满足的数量关系：________.
【答案】（1）解：∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，
∴∠BAP=∠PAE= ∠BAM= ，
∠ABP=∠PBE= ∠ABN= ，
∴∠BPC=∠BAP+∠ABP= ；
（2）解：，理由如下：
∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，
∴设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（3）∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，
∴设，，
∵，
∴，
如图，当点P在线段BD上时，
，
∴；
如图，当点P在线段BD的延长线上时，
，即，
∴，
即；
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的性质结合三角形外角的性质即可求解；
（2）设，，根据角平分线的性质结合四边形内角和定理即可求解；
（3）分点P在线段BD上和点P在线段BD的延长线上两种情况讨论即可求解.
6．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数.
【答案】（1）证明:∵DC∥FP，
∴∠3=∠2，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1，
∴DC∥AB
（2）解:∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=30°，
∴∠DEF=∠EFP=30°，AB∥FP，
又∵∠AGF=80°，
∴∠AGF=∠GFP=80°，
∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°，
又∵FH平分∠EFG，
∴∠GFH= ∠GFE=55°，
∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25°
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出，又∠1=∠2，故∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行得出DC∥AB；
（2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥FP，根据二直线平行，内错角相等得出，，根据角的和差，由
算出∠GFE的度数，根据角平分线的定义得出∠GFH的度数，最后根据即可算出答案。

7．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.
（1）求∠ABN的度数
（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。

若变化，请写出变化规律.
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。

【答案】（1）证明：∵AM//BN
∴∠A+∠ABN=180°
∵∠A=60°
∴∠ABN=180°−∠A=180°−60=120°
（2）解：如图，
没有变化。

∵CB平分∠ABP, BD平分∠PBN
∴∠1= ∠ABP, ∠2= ∠PBN
∴∠CBD=∠1 +∠2 = ∠ABP+∠PBN）
= ×1200=600
（3）解：如图，
∵AM//BN
∴∠ACB=∠CBN
∵∠ACB=∠ABD
∴∠CBN=∠ABD
∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD
即∠1=∠4
又∵CB平分∠ABP, BD平分∠PBN
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∴∠1=∠2=∠3=∠4=120°÷4=30°
即∠ABC=30°
【解析】【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案；
(2)根据角平分线的性质以及角度相加减即可得证；
(3)根据两直线平行，同旁内角互补以及已知条件得到∠CBN=∠ABD，根据角度的相加减得到∠1=∠4，再根据角平分线的性质得到∠1=∠2=∠3=∠4，最后根据∠ABN=120°即可得到答案.
8．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为________.
【答案】（1）解：AB∥CD；理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＋∠ACE＝90°，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴AB∥CD
（2）解：∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：
过E作EF∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠BAE＋∠ECD＝90°，
∵∠MCE＝∠ECD
∴∠ECD＝∠MCD
∴∠BAE＋∠MCD＝90°
（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP
【解析】【解答】解：（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，
即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.
故答案为：∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.
【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，推出∠BAC＋∠ACD＝180°，即可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，得出∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，由∠AEC＝
90°，推出∠BAE＋∠ECD＝90°，∠ECD＝∠MCD，得出∠BAE＋∠MCD＝90°；
（3）由平行线的性质得出∠BAC＋∠ACD＝180°，由三角形内角和定理得出∠CPQ＋∠CQP ＋∠PCQ＝180°，即可得出结果.
9．如图，直线，点E、F分别是AB、CD上的动点（点E在点F的右侧）；点M为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN；
（1）如图1，若，，则 ________；
（2）作的角平分线MQ，且，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，连接EN，且EN恰好平分，；求的度数.
【答案】（1）60°
（2）解：如图，
∵，
∴∠EMQ=∠AEF，
∵，AB∥CD，
∴MQ∥CD，
∴∠NMQ=∠MNF，
∵MQ平分∠EMN，
∴∠EMQ=∠NMQ，
∴ = ；
（3）解：设∠ENM=x，则∠MNF=2x，
∴∠ENF=3x，
∵AB∥MQ，
∴∠BEN=∠ENF=3x，
∵EN平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEN=6x，
∵∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，
∴2x+6x=180°，
解得x=22.5°，
∴，∠EFN=∠AEF=∠MNF=45°，∴∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∵ ,
∴∠EFD=30°，
∵，
∴∠NMF=90°，
∴∠MNF=180°-∠NMF-∠EFD=60°，
故答案为：60°；
【分析】（1）根据AB∥CD得到∠BEF+∠EFD=180°，由求出∠EFD=30°，
根据得到∠NMF=90°，再利用三角形的内角和定理得到∠MNF=180°-∠NMF-
∠EFD=60°；（2）根据得到∠EMQ=∠AEF，由，AB∥CD推出MQ∥CD，证得∠NMQ=∠MNF，根据角平分线的性质得到∠EMQ=∠NMQ，即可得到 =
；（3）设∠ENM=x，则∠MNF=2x，根据AB∥MQ得到∠BEN=∠ENF=3x，由EN平分∠BEF，证得∠BEF=2∠BEN=6x，再根据∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，列式求出x=22.5°，即可求出∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.
10．如图1，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上，已知∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°作∠AOD的平分线交边CD于点E。

（1）求∠BOE的度数。

（2）如图2，若点C不落在边OA上，当∠COE=15°时，求∠BOD的度数。

【答案】（1）解：∵∠COD=60°，OE为∠COD的平分线，
∴∠COE=30°，
∴∠BOE=∠AOB+∠COE
=45°+30°
=75°；
（2）解：∵∠COE=15°，
∴∠DOE=∠DOC-∠OCE=60°-15°=45°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×45°=90°，
∴∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°+45°=135°.
【解析】【分析】（1）OE为∠COD的平分线，求出∠COE的度数，则∠BOE的度数等于∠AOB和∠COE的度数之和；
（2）现知∠COE的度数，则∠DOE度数可求，结合OE平分∠AOD，则∠AOD可求，于是∠BOD的度数可得；
11．如图①，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方.
（1）在图①中， ________度；
（2）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图②，若，求的度数；
（3）将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是________秒.（直接写出结果）
【答案】（1）30
（2）解：设∠BON=α，
∵∠BOC=60°，
∴∠NOC=60°-α，
∵∠MON=90°，
∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，
∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，
∵∠NOC= ∠MOA，
∴60°-α= （90°-α），
解得：α=54°，
即∠BON=54°；
（3）3或21
【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB 上，另一边OM在直线AB的上方，
∴∠MON=90°，
∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴∠BON=30°或∠BON=210°，
∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴直线ON平分∠BOC时，旋转的时间是3或21秒，
故答案为：3或21.
【分析】（1）由题意得出∠MON=90°，得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；（2）设∠BON=α，则∠NOC=60°-α，∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-
∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，由题意得出60°-α= （90°-α），解得α=54°即可；（3）求出∠BON=30°或∠BON=210°，即可得出答案．
12．以直线上点为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点处.
（1）若直角的边在射线上（图①），求的度数；
（2）将直角绕点按逆时针方向转动，使得所在射线平分（图②），说明所在射线是的平分线；
（3）将直角绕点按逆时针方向转动到某个位置时，恰好使得（图③），求的度数.
【答案】（1）解：∵，
又∵，
∴ .
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴所在直线是的平分线.
（3）解：设，则，
∵，，
①若∠COD在∠BOC的外部，
∴，解得x=10，
∴∠COD=10°，
∴∠BOD=60°+10°=70°；
②若∠COD在∠BOC的内部，
，解得x=30，
∴∠COD=30°，
∴∠BOD=60°-30°=30°；
即或，
∴或 .
【解析】【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；（3）要分情况讨论，一种是∠COD在∠BOC的内部，另一种是∠COD在∠BOC的外部，再根据平角等于180°可通过列方程求出即可．。