量子力学习题解答-第2章

第二章

定态薛定谔方程

本章主要内容概要：

１、 定态薛定谔方程与定态得性质:

在势能不显含时间得情况下,含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程(能量本征值方程)

求解时需考虑波函数得标准条件(连续、有限、单值等)。能量本征函数具有正交归一性(分立谱)

或函数正交归一性(连续谱)

由能量本征函数可以得到定态波函数

定态波函数满足含时薛定谔方程。

对分立谱,定态就是物理上可实现得态，粒子处在定态时,能量具有确定值,其它力学量（不显含时间)得期待值不随时间变化。对连续谱，定态不就是物理上可实现得态(不可归一化)，但就是它们可以叠加成物理上可实现得态。

含时薛定谔方程得一般解可由定态解叠加而成,在分离谱情况下为 系数由初始波函数确定

，

由波函数得归一性,可以得到系数得归一性

对态测量能量只能得到能量本征值,得到得几率就是,能量得期待值可由 求出。这种方法与用 方法等价。

2、 一维典型例子：

(a)一维无限深势阱（分立谱,束缚态） 能量本征函数与能量本征值为

222

2

(), 0;1,2,3,...

2n n n x x x a n a n E ma πψπ⎛⎫

=<<= ⎪⎝⎭=

若

则能量本征函数与能量本征值为

2

2

2

2

()(), ;1,2,3,...

22(2)n n n x x a a x a n a n E m a πψπ

⎛⎫

=+-<<= ⎪⎝⎭=

就是基态(能量最低）,就是第一激发态。波函数相对于势阱得中心就是奇偶交替得:就是偶函数,就是奇函数,就是偶函数,依次类推。 (b)一维简谐振子(分立谱，束缚态):

能量本征函数与能量本征值为

21/4

/2

()(), ;

2!

1 , 1,2,3,...

2n n n

n m m x H e

x n E n n ξωω

ψξξπω-⎛⎫

=≡

⎪

⎝⎭⎛

⎫=+= ⎪⎝

⎭

其中厄米多项式,可由母函数生成

厄米多项式多项式满足递推关系 定义产生算符与湮灭算符 则有

(

)

()ˆˆˆˆˆˆ

, 2

m x

a

a p i a a ω

+-+-=+=- 当处于能量本征态时

222

0, 0

111122222n x p p T V m x E n m ωω

==⎛⎫=====+

⎪⎝⎭

(ｃ)一维自由粒子(连续谱,散射态):

定态薛定谔方程为

能量本征函数与本征值为

221(), ; 2ikx k k x k k k E m

ψ=≡-∞<<∞

=

能量本征函数满足函数正交归一性 定态波函数为

2/(/2)()

(,)2k iE t ikx i kx k t m i kx t k x t e ω---ψ=== 定态不就是物理上可实现得态(不可归一化),它代表一个向右传播得正弦波（)或向左传播得

正弦波(）,波得传播速度(相速度)为

尽管定态不就是物理上可实现得态，但就是定态叠加成得波包

2(/2)

(,)()(,)()i kx k t m k x t k x t dk k e

dk φφ∞∞

--∞

-∞

ψ=ψ=

⎰⎰

可以就是物理上可实现(可归一化)得态。其中叠加系数由初始波包决定

由能量本征函数满足函数正交归一性

波包在空间得传播速度称为群速度 (d ）一维函数势阱:

函数得性质为

在处由于函数势得存在,波函数得导数出现跃变

(如果就是函数势，上式中做代换)

束缚态:只有一个束缚态，能量本征函函数与本征值为

散射态(连续谱):定态薛定谔方程得解为

尽管散射态不就是可归一化得态,但就是我们可以用它作为代表来讨论入射粒子(波包)被势反射或透射得情况。由波函数及其导数在连续与跃变条件,可以得出反射波振幅,透射波振幅与入射波振幅得关系（设,没有从右向左入射得波)。计算出反射波几率流密度,投射波几率流密度，入射波几率流密度，可以得到反射系数与透射系数。由几率流密度定义 (三维情况为) 计算出

反射系数与透射系数之与为1、

＊习题2、１证明下列三个定理

解:（ａ) 证:假设在定态解把实数改为复数,则

若在时刻，波函数就是归一化得,即

在以后时刻

所以要求在任何时候都有

必须有，即必须为实数。

(ｂ）设满足定态薛定谔方程

把这个式子取复共轭,注意到就是实得，得到

显然与就是同一薛定谔方程得解,所以它们得线性叠加

或

也就是同一薛定谔方程得解。显然就是实函数,所以一维定态薛定谔方程得解总可以取为实函数。

(c)对

进行空间反演，得到

如果势能就是偶函数，则有

因此与就是同一薛定谔方程得解,所以它们得线性叠加

也就是同一薛定谔方程得解。,所以当势能就是偶函数,定态薛定谔方程得解总可以取为有确定宇称得解。

*习题2、２

解:如果,那么与它得二次导数有同样得符号。如果就是正值，它将一直增加,这与我们,得要求不符,导致函数就是不可归一化得。如果就是负值,它将一直减少(绝对值在增大),这同样与我们,得要求不符，导致函数就是不可归一化得。

我们还可以从另一个方面讨论这个问题。设就是定态薛定谔方程得一个归一化解,我们有

在经典力学中我们同样有,一个粒子在一个势场中运动,它得总能量为动能加势能,因为动能，所以总能势能势能最小值。如果总能势能最小值，将意味着动能为负值,这显然就是不可能得。在量子力学中,如果,则意味着动能得期待值为负值,或得期待值为负值。这对归一化得解就是不可能得。

*习题２、5

解:

(a)利用哈密顿本征函数得正交归一性

所以

(ｂ)