2019 年全国硕士研究生考试(数学模拟试卷一)含答案

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2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析(江南博哥)1 [单选题]当x→0时,x-tanx与x k是同阶无穷小,则k=( ).A.1B.2C.3D.4正确答案:C参考解析:因,若要x一tanx与x‘是同阶无穷小,则k=3,故选C项.2 [单选题]A.可导点,极值点B.不可导点,极值点C.可导点,非极值点D.不可导点,非极值点正确答案:B参考解析:因为不存在,所以x=0是f(x)的不可导点;又因为f(x)连续,当x<0时,f’(x)=-2x>0,当0<x<e-1时,f’(x)=lnx+1<0,所以x=0是f(x)的极值点.3 [单选题]设{u n}是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( ).A.B.C.D.正确答案:D参考解析:由单调有界收敛定理知{u n}极限存在,由有界性知了C>0满足|u n|≤C,绝对收敛.4 [单选题],如果对上半平面(y>O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有Q(x,y)dy=0,那么函数P(x,y)可取为( ).A.B.C.D.正确答案:D参考解析:由题意知,积分与路径无关,则,故只需选择在上半平面有连续偏导数,且满足的P函数只有D项.5 [单选题]设A是三阶实对称矩阵,E是三阶单位矩阵,若A2+A=2E,且|A|=4,则二次型x T Ax的规范形为( ).A.B.C.D.正确答案:C参考解析:设λ是A的特征值,根据A2+A=2E,得λ2+λ=2,解得λ=1或-2,所以A的特征值是1或-2.因为|A|=4,所以A的三个特征值为1,-2,-2,从而二次型x T Ax的规范形为;,故选c项.6 [单选题]如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程a i1x+a i2y+a i3z=d i(i=1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,,则( ).A.r(A)=2,r()=3B.r(A)=2,r()=2C.r(A)=1,r()=2D.r(A)=1,r()=1正确答案:A参考解析:由题意知3张平面无公共交点,且交线相互平行,所以r(A)≠r(),故排除B和D选项;又因为它们两两相交于一条直线,故其中任意两个平面不平行,所以2=r(A),r()=3,故选A项.7 [单选题]设A,B为随机事件,则P(A)=P(B)的充分必要条件是( ).A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P()正确答案:C参考解析:因为P(A)=P(A)-P(AB),P(B)=P(B)-P(AB),所以P(A)=P(B)(A)=P(B),故选C项.8 [单选题]设随机变量X和Y相互独立,且都服从正态分布N(μ,σ2),则P{|X-Y|<1}( ).A.与μ无关,而与σ2有关B.与μ有关,而与σ2无关C.与μ,σ2都有关D.与μ,σ2都无关正确答案:A参考解析:X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2),且X与Y相互独立,则E(X—Y)=0,D(X—Y)=D(X)+D(Y)=2σ2,与μ无关,而与σ2有关.故选A项.9 [填空题]设函数f(u)可导,z=f(siny-sinx)+xy,则参考解析:【解析】10 [填空题]微分方程2yy’-y2-2=0满足条件y(0)=1的特解为______.参考解析:【解析】11 [填空题]幂级数内的和函数S(x)=______.参考解析:【解析】12 [填空题]设∑为曲面x2+y2+4z2=4(z≥0)的上侧,则参考解析:【解析】将曲面方程代入积分表达式,原积分为13 [填空题]设A=1,2,3为三阶矩阵,若1,2线性无关,且3=-1+22,则线性方程组Ax=0的通解为_______.参考解析:【解析】∵1,2线性无关,∴r(A)≥2.∵3=-1+22,∴r(A)<3,∴r(A)=2,∴Ax=0的基础解系中有n-r(A)=3-2=1个线性无关的解向量.∵1-22+3=0,14 [填空题]设随机变量x的概率密度为F(X)为X的分布函数,E(X)为X的数学期望,则P{F(X)>E(X)-1}=.参考解析:【解析】方法一方法二易知Y=F(X)~U(0,1),15 [简答题]设函数y(x)是微分方程满足条件y(0)=0的特解.(I)求y(x);(Ⅱ)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点.参考解析:(I)16 [简答题]设a,b为实数,函数z=2+ax2+by2在点(3,4)处的方向导数中,沿方向l=-3i-4j的方向导数最大,最大值为10.(I)求a,b;(11)求曲面z=2+ax2+by2(z≥0)的面积.参考解析:(I)函数梯度为▽=(2ax,2by),则函数在点(3,4)处的梯度为(6a,8b),则可知沿方向(-3,-4)的最大方向导数为17 [简答题]求曲线y=e-x sinx(x≥0)与x轴之间所成图形的面积.参考解析:18 [简答题](Ⅰ)证明:数列{a n}单调递减,且(Ⅱ)参考解析:证明:19 [简答题]设Ω是由锥面x2+(y-z)2=(1-z)2(0≤z≤1)与平面z=0围成的锥体,求Ω的形心坐标.参考解析:设力的形心坐标为,根据对称性可知=0.对于0≤z≤1,记D z={(x,y)|x2+(y-z)2≤(1-z)2},则20 [简答题]设向量组1=(1,2,1)T,2=(1,3,2)T,3=(1,a,3)T为R3的一个基,β=(1,1,1)T,在这组基下的坐标为(b,c,1)T.(I)求a,b,c;(Ⅱ)证明2,3,β为R3的一个基,并求2,3,β到1,2,3的过渡矩阵.参考解析:21 [简答题]已知矩阵(I)求x,y;(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.参考解析:(Ⅱ)A的特征值与对应的特征向量分别为B的特征值与对应的特征向量分别为22 [简答题]设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为1的指数分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=p,P{Y=1}=1-p,(0<p<1),令Z=XY.(I)求Z的概率密度;(Ⅱ)p为何值时,X与Z不相关?(Ⅲ)X与Z是否相互独立?参考解析:23 [简答题]设总体x的概率密度为其中μ是已知参数,σ>0是未知参数,A是常数,X1,X2,…,X n是来自总体X的简单随机样本.(I)求A;(Ⅱ)求σ2的最大似然估计量.参考解析:。

2019考研(数学一)合工大模拟试卷

2019考研(数学一)合工大模拟试卷

(8) 设随机变量 X 为具有概率密度函数 f (x) 的非负随机变量,其方差存在,则 P( X x)dx 0

)。
(A) EX
(B) EX 2
(C) DX
(D) 1
二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中的横线上.Βιβλιοθήκη (9)lim( arctan
1
x ) ex2 1
0
0
(Ⅱ)求 lim f ( x) f ( x) .
x0
x
1 1 2
a 4 0
(20)(本题满分
11
分)设
A
1
1
1 0
0

B
1
1
1
0 b
c 1
,问 a,b, c
为何值时,矩阵方程
AX
B
有解,
有解时求出全部解.
(21) (本题满分 11 分)已知三元二次型 xT Ax 的平方项系数均为 0,设 (1, 2, 1)T 且满足 A 2. (I) 求该二次型表达式;(II)求正交变换 x Qy 化二次形为标准型,并写出所用正交变换;(III)若 A + kE 正 定,求 k 的取值.
.
(17)(本题满分 10 分)设函数 f (z) 在 z 0 时有连续的导数,且 f (0 ) 存在,如果对上半空间 z 0 内
的 任意封闭曲面 恒有
(xy x2 y xz2 ) d y d z (xy2 2 yf (z)) d z d x (zf (z) yz) d x d y 0
(1)求函数
f
(z) 的表达式;(2)若曲面
是由曲线 C
:
z
1 y2,0 x 0,

2019考研数学一真题答案

2019考研数学一真题答案
数学期望,则 P{F ( X ) EX − 1} = 【答案】 . 【解答】由条件可得 EX = .
2 3

+

xf ( x)dx =
2
0
x2 4 dx = ,且可求得分布函数 2 3
0, x 0, 2 1 2 x F ( x) = , 0 x 2, 故可得 P{F ( X ) EX − 1} = P{F ( X ) } = . 3 3 4 1, x 2.
B. D.
2. 4.
x3 ,所以选 C. 3
2、设函数 f ( x) =
x x , x 0, 则 x = 0 是 f ( x) 的 x ln x, x 0,
B. 不可导点,极值点. D. 不可导点,非极值点.
A. 可导点,极值点. C. 可导点,非极值点. 【答案】B
x →0 x →0
(−1) n n x 在 (0, +) 内的和函数 S ( x) = n = 0 (2n)!

.
【答案】 cos x . 12、设 为曲面 x + y + 4 z = 4 ( z 0) 的上侧,则
2 2 2

4 − x 2 − 4 z 2 dxdy =
.
【答案】 【解答】
32 . 3
r ( A) = 1, r ( A) = 1.
【答案】A. 【解答】因为 3 张平面无公共交线,则说明方程组 Ax = b 无解,即 r ( A) r ( A) .
又因为 3 张平面两两相交,且交线相互平行,则齐次方程组 Ax = 0 只有一个线性无关解, 所以 r ( A) = 2 . 故答案选 A. 7、设 A, B 为随机事件,则 P ( A) = P ( B ) 充分必要条件是 A. P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ). C. P( AB) = P( B A). 【答案】C 【解析】 P( AB) = P( B A) P( A) − P( AB) = P( B) − P( AB) P( A) = P( B) ;选 C.

数1--19真题答案

数1--19真题答案

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题参考答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1、当0x →时,若tan x x −与kx 是同阶无穷小,则k = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答案】C【解析】3tan ~3x x x −−,所以选C.2、设函数,0,()ln ,0,x x x f x x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A. 可导点,极值点.B. 不可导点,极值点.C. 可导点,非极值点.D. 不可导点,非极值点. 【答案】B【解析】0(0)lim ln lim 0x x f x x x x +−→→===,所以连续. 又00ln 0(0)lim lim ln 0x x x x f x x +++→→−'===−∞−,所以不可导. 2,0,()ln 1,0,x x f x x x −<⎧'=⎨+>⎩()f x '在0的去心左右领域内异号,所以是极值点.选B. 3、设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是A. 1.n n un∞=∑ B.11(1).nn nu ∞=−∑ C. 11(1).n n n uu ∞=+−∑ D.2211().n n n uu ∞+=−∑【答案】D 【解析】取1ln n u n=−,则A 不对;取1n u n =−,则B 、C 不对;而D 选项:2222222212132111()()()lim n n n n n uu u u u u u u ∞++→∞=−=−+−+=−∑,n u 存在极限. 选D.4、设函数2(,).xQ x y y=如果对上半平面(0)y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰,那么函数(,)P x y 可取为A. 23.x y y− B. 231.x y y −C.11.x y − D. 1.x y− 【答案】D【解析】曲线积分与路径无关,则连续的偏导数21y xP Q y''==,所以C 不选(0x =不连续),选D.5、设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ,且4=A ,则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++B. 222123.y y y +− C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−− 【答案】C【解答】由22+=A A E ,可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=,解得,1λ=或2λ=−. 再由4=A ,可知1231,2λλλ===−,所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.6、如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则 A. ()2,() 3.r r ==A A B. ()2,() 2.r r ==A A C. ()1,() 2.r r ==A A D. ()1,() 1.r r ==A A 【答案】A.【解答】因为3张平面无公共交线,则说明方程组=Ax b 无解,即()()r r <A A .又因为3张平面两两相交,且交线相互平行,则齐次方程组=Ax 0只有一个线性无关解,所以()2r =A . 故答案选A.7、设,A B 为随机事件,则()()P A P B =充分必要条件是A. ()()().P AB P A P B =+ B. ()()().P AB P A P B =C. ()().P AB P BA =D. ()().P AB P AB = 【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=;选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(,)N μσ,则{1}P X Y −<A. 与μ无关,而与2σ有关.B. 与μ有关,而与2σ无关. C. 与μ,2σ都有关. D. 与μ,2σ都无关. 【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ,所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−;选A二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 9、设函数()f u 可导,(sin sin )z f y x xy =−+,则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ . 【答案】.cos cos y x x y+ 【解答】因为(sin sin )(cos )z f y x x y x ∂'=−−+∂,(sin sin )cos zf y x y x y∂'=−+∂, 所以11cos cos z zx x y y ∂∂⋅+⋅=∂∂.cos cos y x x y+ 10、微分方程2220yy y '−−=满足条件(0)1y =的特解y = .【答案】y =【解答】因为2220yy y '−−=,可得22d d 2y y x y =+,两边积分可得2ln(2).y x C +=+代入(0)1y =,得ln 3C =,故y =11、幂级数0(1)(2)!n nn x n ∞=−∑在(0,)+∞内的和函数()S x = .【答案】12、设∑为曲面22244(0)x y z z ++=的上侧,则d x y ∑= .【答案】32.3【解答】d x y ∑=224,0d d 2d d x y y y x y y x y ∑+=⎰⎰⎰⎰2π20322d sin d 3r r r θθ==⎰⎰. 13、设123(,,)=A ααα为3阶矩阵. 若12,αα线性无关,且3122=−+ααα,则线性方程组=Ax 0的通解为 .【答案】121k ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x (k 为任意常数).【解答】由条件3122=−+ααα可知123,,ααα线性相关,又12,αα线性无关,所以()2r =A . 由此可知方程组=Ax 0的基础解系只包含一个线性无关解向量. 再由3122=−+ααα可得1231(,,)201⎛⎫ ⎪−= ⎪ ⎪⎝⎭ααα,所以可取121⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭为一个非零解,故通解为121k ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x (k 为任意常数).14、设随机变量X 的概率密度为,02,()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为X 的分布函数,EX 为X 的数学期望,则{()1}P F X EX >−= . 【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰,且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分10分) 设函数()y x 是微分方程22e x y xy −'+=满足条件(0)0y =的特解.(1)求()y x ;(2)求曲线()y y x =凹凸区间及拐点.【解】(1)可知方程为一阶线性方程,由通解公式可得通解为212()e[]x y x x C −=+,再由(0)0y =,解得0C =,故特解为212()e.x y x x −=(2)因为222e (1)x y x −'=−,232e(3)x y x x −''=−,由0y ''=得0,x x x === 凹区间为((3,)+∞,凸区间为(,(0,3)−∞,拐点为3322(0,0),().−−16、(本题满分10分)设,a b 为实数,函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中,沿方向34=−−l i j 的方向导数最大,最大值为10. (1)求,a b ;(2)求曲面222(0)z ax by z =++的面积.解:(1)2,2x y z ax z by ''==;方向导数沿梯度的方向时最大,此时为梯度的模;而梯度(3,4)(3,4)(,)(6,8)x y grad z z z a b ''==,所以68034a b=>−−,且223664100a b +=,解得1a b ==−. (2)222z x y =−−,所以所求面积2222221d d d x yx y x y S z z x y x y ++''=++=⎰⎰⎰⎰π2013π4d d 3r r θ==⎰. 17、求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n x n x n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++; 因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nx n n n n u x x +−−+−=−−+=+; (这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ0111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 18、()10,1,2n a x n ==⋅⋅⋅⎰设(1)证明数列{}n a 单调递减;且()212,32n nn a a n n −−==⋅⋅⋅+ (2)求1lim−∞→n nn a a(1)证明: 110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.13331112122122200011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n n a a a a a a −−<<=,而21lim lim 12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知1lim1nn n a a →∞−=.19、设Ω是由锥面()()()222101x y z z z +−=−≤≤与平面0z =围成的锥体,求Ω的形心坐标.解: 设形心坐标为(,,)x y z ,由对称性知,0x =,且有22211200()(1)πd d d d d d π(1)d 3x y z z x y z zx y z z Ω+−−==−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 2221120()(1)πd d d d d d π(1)d 12x y z z z x y z z zx y z z z Ω+−−==−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 令,1,1,x u y v w z w =⎧⎪=−+⎨⎪=−⎩则(,,)1(,,)x y z u v w ∂=−∂,所以,22222222211200(,,)d d d (1)d d d (1)d d d (,,)π(1)d d d π(1)d .12u v w u v w u v w x y z y x y z v w u v w v w u v wu v w w wu v w w w Ω+++∂=−+=−+∂=−=−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故d d d 14d d d y x y z y x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,d d d 14d d d z x y zz x y zΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 因此形心坐标为11(0,,).4420、设向量组123(1,2,1),(1,3,2),(1,,3)T T T a ===ααα为3R 的一个基,(1,1,1)T=β在这个基下的坐标(,,1)Tb c .(1)求a, b,c;(2)证明23,,ααβ到123,,,ααα的过渡矩阵.(1)解:易知向量组123,,ααα线性无关,则其行列式不为零,即4a ≠.由123b c β++=ααα可得11,2+31,231,b c b c a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩从而3,2,2a b c ===−.(2)因为23111|,,|33120231==≠ααβ,因为也是3R 的一个基;设过渡矩阵为P ,则有23123(,,)(,,,)P =ααβααα,从而1231231101(,,)(,,,)0121002P −⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααβααα21.已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.(1) 求x ,y ;(2) 求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002PAP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭; 同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B PP APP −−=,所以 112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.22、设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<),令Z XY =.(1) 求Z 的概率密度;(2) p 为何值时,X 与Z 不相关; (3) X 与Z 是否相互独立?【解】(1)Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=,因为X 与Y 相互独立,且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此,e ,0,()[1()](1)()1(1)e ,0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩ 所以,Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩(2)当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时,X 与Z不相关. 因为1DX =,12EY p =−,故1.2p = (3)不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==,而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠,故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅, 所以X 与Z 不独立. 23、(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A xf x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数,0σ>是未知参数,A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.(1)求A ;(2)求2σ的最大似然估计量. 【解答】(1)由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰,即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰,得A =(2)设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏,取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−−∑; 求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑,令导数为零解得2211()n i i x n σμ==−∑,故2σ的最大似然估计量为2211()n i i X n σμ==−∑.。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案共16页

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案共16页

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由11)(ln =='='xx y ,得x=1, 可见切点为)0,1(,于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y , 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ,曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ,得10=x ,由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y , 即 1-=x y . (2)已知xx xe e f -=')(,且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式,再积分即可。

【详解】 令t e x=,则t x ln =,于是有t t t f ln )(=', 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。

【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。

2019新版考研高等数学模拟考试试题(含答案解析)

2019新版考研高等数学模拟考试试题(含答案解析)

2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________考号:__________一、解答题1.a , b , c 取何实数值才能使201lim sin x b x t c x ax →=-⎰ 成立. 解:因为0x →时,sin 0x ax -→而该极限又存在,故b =0.用洛必达法则,有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===-或 1,0,0a b c ≠==.2.当Σ为xOy 面内的一个闭区域时,曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系? 解:因为Σ:z =0,在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号,Σ取的是下侧时为负号.3.求n 次多项式1101n n n n y a x a xa x a --=++++的n 阶导数. 解: 1()()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n y a x a x a x a a x a n --=++++⋅ 4.设()ln(1)f x x =+,求()().n fx 解:()1(1)!(ln )(1)n n nn x x --=-⋅ ()()1(1)!()[ln(1)](1)(1)n n n nn f x x x --∴=+=-⋅+.5.求下列函数的高阶导数:⑴ e sin ,x y x =⋅求(4)y; ⑵ 22e ,x y x =⋅求(6)y ; ⑶ 2sin ,y x x =⋅求(80)y .解:⑴e sin e cos e (sin cos )x x xy x x x x '=⋅+⋅=+(4)e (sin cos )e (cos sin )2cos e 2e (cos sin )2e (cos sin )2e (sin cos )=4e sin x x xx x x x y x x x x x y x x y x x x x x''=++-=⋅'''=-=-+---⑵ 6(6)2(6)260(e )()i x i i i y C x -==∑22(6)22(5)22(4)622524222(e )6()(e )15()(e )2e 622e 1522e 32e (21215)x x x x x xx x x x x x x x '''=++=+⋅⋅+⋅⋅=++⑶ 80(80)2()(80)800()(sin )i i i i y C x x -==∑2(80)(79)(78)22(sin )802(sin )31602(sin )πππsin(80)+160sin (79)6320sin (78)222sin 160cos 6320sin .x x x x x x x x x x x x x x x =+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅++⋅=--6.球的半径以速率v 改变,球的体积与表面积以怎样的速率改变?解: 324d π,π,.3d r V r A r v t=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V r r v t r t A A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅7.一点沿曲线2cos r a ϕ=运动,它的极径以角速度ω旋转,求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解: 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩ d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t tϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=8.求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率:(1) y =ax +b ;(其中a ,b ∈R ,a ≠0)解:y ′=a 即为边际函数.弹性为: 1Ey ax a x Ex ax b ax b =⋅⋅=++,。

2019数学一模拟3答案

2019数学一模拟3答案

绝密★启用前2019年全国硕士研究生入学统一考试数 学(一)(科目代码:304)(模拟试卷3)考生注意事项1. 答题前,考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。

2. 答案必须书写在答题纸指定的位置上,写在其他地方无效。

3. 填(书)写必须使用蓝(黑)色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。

4. 考试结束,将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。

【参考答案】一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.(1)【解】:2,0,[()],012x x f f x xx x+≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩,故0x =是[()]f f x 的跳跃间断点。

答案C . (2)【解】:根据函数曲线的凹凸性可得答案是B.(3)【解】:由于31sin [ln(1n a n ∞=+∑发散,31sin (1)n n a n ∞=-∑绝对收敛,1(1)ln(1nn ∞=-∑条件收敛, 所以原级数条件收敛.(4)【解】:答案B.(5)【解】:答案:D.(6)【解】答案:D.(7)【解】由于Z X Y =+的分布函数为(){}{1,1}{1,1}Z F z P X Y z P X Y z P X Y z =+≤==-≤++=≤-1[(1)(1)]2Y Y F z F z =++-, 1,102z ⎧-<<⎪3λ,1B -,所以B(14)【解】:22(2)(3)3()2()5()6E X Y X Y E X E Y E XY +-=-+=-.三、解答题:15~23小题,共94分.(15)22233111(1(1)[1()]2816ax bx c ax bx x x x o x c ++=+++-++- 233111111=1()()()()2282816c a x b a x b a x o x -++++-+-++, 0x →时23sin ln(1)~x x x +,因此有11110,()0,()0228c a b a -=+=+-=,解得3111()b a x -+. 01n n n ===,1n =011n x=-于是21()()1(1)xf x x x '==--,则 00000221()()()1(1)(1)nnn n n n a a d a x xa nd x a x d nx d s x x x x ∞∞∞===+-+=+=+==---∑∑∑, 所以001()2().22n nn a s a d ∞===+∑(19)【证明】:(Ⅰ)方法一 ()f x 在[0,1]上连续,若()f x 在(0,1)内恒不为零,则必有()f x 恒为正(或者恒为负)由此可得1()d 0f x x >⎰(或者0<)与1()d 0f x x =⎰矛盾,故必(0,1)ξ∃∈使得()0f ξ=;方法二 0()()d xF x f t t =⎰,对()F x 在区间[0,1]上应用拉格朗日中值定理即可;(Ⅱ)令0()()d x F x f t t =⎰,则有(0)(1)0F F ==,由0,2也 对系(22)【解】:(I )由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,可得101,3xAA xdx dy ==⎰⎰由此3A =; (II )边缘概率密度 123()3(1)01;2Y y f y xdx y y ==-<<⎰, ;且条件概率密度函数 2/2,1(01)1(/)0,X Y xy x y yf x y other⎧<<<<⎪-=⎨⎪⎩;(III )由于Z XY =,由此根据分布函数知,(){}Z F z P XY z =≤对0z <,()0,1()1Z Z F z z F z =≥=, 对 01,z ≤<312(){}(,)1332xz ZF z P XY z f x y dxdy dy z z =≤==-=-⎰⎰⎰;X。

2019新考研数学模拟测试题库(含参考答案)

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2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________考号:__________一、解答题1.讨论下列广义积分的敛散性:2d (1)(ln )kxx x +∞⎰;解:原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k k kk k x x k x k x k x kk +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛;1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰.解:原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b k k b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述,当k <1时,该广义积分收敛,否则发散.2.计算下列向量场A 的散度与旋度: (1)()222222,,y z z x x y =+++A ; 解:()0,2,,y z z x x y --- (2)()222,,x yz x y z x yz =A ;解:()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z yz z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A .解:111yz zx xy ++,2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3.验证函数e sin xy x =满足关系式220y y y '''-+= 证明:e (sin cos )xy x x '=+e (sin cos )e (cos sin )2cos e x x x y x x x x x ''=++-=⋅故222cos e e (2sin 2cos )2e sin 0xxxy y y x x x x '''-+=⋅-++=4.利用泰勒公式求下列极限:⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x →∞-+ 解:⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时,0t →,2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=5.一个水槽长12m ,横截面是等边三角形,其边长为2m ,水以3m 3·min -1的速度注入水槽内,当水深0.5m 时,水面高度上升多快? 解:当水深为h 时,横截面为212s h ==体积为22212V sh '====d d 2d d V hh t t=⋅ 当h =0.5m 时,31d 3m min d Vt-=⋅.故有d 320.5d h t=⋅, 得d d 4h t = (m 3·min -1).6.验证:拉格朗日定理对函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上的正确性.验证:因为()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+ 解得ξ=,即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立.7.设21lim51x x mx nx →++=-,求常数m , n 的值. 解:要使21lim51x x mx nx →++=-成立,则21lim()0x x mx n →++=,即10m n ++= 又2112limlim 2511x x x mx n x mm x →→+++==+=- 得3,4m n ==-8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:32(1) 535y x x x =-++;解:23103y x x '=-+610y x ''=-,令0y ''=可得53x =. 当53x <时,0y ''<,故曲线在5(,)3-∞内是凸弧; 当53x >时,0y ''>,故曲线在5[,)3+∞内是凹弧. 因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) e xy x -=;解:(1)e , e (2)xxy x y x --'''=-=- 令0y ''=,得x =2当x >2时,0y ''>,即曲线在[2,)+∞内是凹的; 当x <2时,0y ''<,即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2,2e -2)为唯一的拐点.4(3) (1)e x y x =++;解:324(1)e , e 12(1)0xxy x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的,没有拐点. (4) y =ln (x 2+1);解:222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =-1或x =1.当-1<x <1时,0y ''>,即曲线在[-1,1]内是凹的.当x >1或x <-1时,0y ''<,即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(-1,ln2),(1,ln2).arctan (5) e x y =;解:arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++令0y ''=得12x =. 当12x >时,0y ''<,即曲线在1[,)2+∞内是凸的; 当12x <时,0y ''>,即曲线在1(,]2-∞内是凹的, 故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6) y =x 4(12ln x -7).解:函数y 的定义域为(0,+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=,在(0,+∞),得x =1.当x >1时,0y ''>,即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时,0y ''<,即曲线在(0,1]内是凸的, 故有唯一拐点(1,-7).9.试决定22(3)y k x =-中的k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点. 解:224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=- 令0y ''=,解得x =±1,代入原曲线方程得y =4k , 只要k ≠0,可验证(1,4k ),(-1,4k )是曲线的拐点.18x k y =±'=±,那么拐点处的法线斜率等于18k ,法线方程为18y x k=. 由于(1,4k ),(-1,4k )在此法线上,因此148k k=±, 得22321, 321k k ==-(舍去)故8k ==±10.证明:(1)120lim 0;nn x →∞=⎰证明:当102x ≤≤时,0,n n x ≤≤于是1112200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知:12lim 0.nn x →∞=⎰(2)π40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰证明:由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰11.求下列极限:203ln(12)d (1)lim;xx t tx→+⎰解:原式21222300ln(12)22lim lim ln(12).333x x x x x x →→+==+= 2220020e d (2)lim .e d x t x x tt t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 解:原式2222222002e d e e d 1lim2lim2lim2.12e e xxt xt xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰12.设()()f x x a x ϕ=-,其中a 为常数,()x ϕ为连续函数,讨论()f x 在x a =处的可导性. 解:()()()()()lim lim ()()()()()()lim lim ()x a x a x a x a f x f a x a x f a a x a x af x f a a x x f a a x a x a ϕϕϕϕ++--+→→-→→--'===----'===---.故当()0a ϕ=时,()f x 在x a =处可导,且()0f a '= 当()0a ϕ≠时,()f x 在x a =处不可导.13.求下列不定积分,并用求导方法验证其结果正确否:d (1)1e xx+⎰; 解:原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证:e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以,结论成立.(2)ln(x x ⎰;解:原式=ln(ln(.x x x x x c -=-验证:ln(ln(x x x x c '⎡⎤=++⎣⎦ln(x =所以,结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解:原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证:2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以,结论正确.(4)x ;解:原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证:921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =++== 所以,结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解: 1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以,原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证: ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰; 解:原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1x xxc --=-+++ 验证:22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x x xx xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解:原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=-++⎰验证:ln(x c '⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以,结论成立.sin (8)d 1cos x xx x++⎰;解:原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证:2221sin sin (tan )tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以,原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解:原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证:[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1,且为正整数).解:1sin d sin dcos n n n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证: 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.14.(1) 设1()f x x=,求00()(0);f x x '≠解:00021()().x x f x f x x =''==-(2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f '解:00()(0)(0)limlim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-15.判定下列级数的敛散性:(1) 1n ∞=∑;(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+;(3) ()23133222213333nn n--+-++-;(4)155n +++++;解:(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞,故级数发散.(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=,故原级数收敛,其和为15. (3)此级数为23q =-的等比级数,且|q |<1,故级数收敛. (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠,故级数发散.16.若2lim n n n U →∞存在,证明:级数1nn U∞=∑收敛.证:∵2lim n n n U →∞存在,∴∃M >0,使|n 2U n |≤M ,即n 2|U n |≤M ,|U n |≤2Mn而21n Mn ∞=∑收敛,故1n n U ∞=∑绝对收敛.17.(1)解:112xn n =∞相当于P 级数中P x = 当1P >时112p n n =∞收敛,1P ≤时,112pn n=∞发散. 从而当1x >时,112x n n =∞收敛,1x ≤时,112xn n=∞发散. 从而112xn n=∞的收敛域为(1,)+∞ 从而111(1)2n x n n+=∞-的收敛域为(0,1)(1,)+∞. (2)解:当1x >时,112x n n =∞收敛,则111(1)2n xn n +=∞-收敛.当0x ≤时,111(1)2n x n n+=∞-发散,(0)n U当01x <<时,111(1)2n x n n+=∞-收敛.(莱布尼兹型级数)18.将f (x ) = 2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.解:f (x )在(-∞,+∞)内连续,其傅里叶级数处处收敛,由f (x )是偶函数,故b n =0,(n =1,2,…)()()11010d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑,x ∈[-1,1]取x =0得,()2211π821n n ∞==-∑,故()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n ∞==∑19.设f (x )是周期为2的周期函数,它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x,试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式.解:函数f (x )在x ≠2k +1,k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x l n l x n i n n c f x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1,k =0,±1,±2,…)20.求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.解:()202202E T E t t T f t E T E t t T ⎧+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩()()02022e d 22e d e d 41cos 2i t Ti t i tT F f tt E E t t E t E t T T E T T ωωωωωω+∞--∞---=⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰21.设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段,证明:(),d 0LP x y x =⎰其中P (x , y )在L 上连续.证:设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段,则 L :12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩,始点参数为t =b 1,终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰22.计算()()d d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 是(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧; (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4)曲线x = 2t 2+t +1, y = t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解:(1)L :2x y y y ⎧=⎨=⎩,y :1→2,故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2,y :1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1,从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2,则L =L 1+L 2.且 L 1:1x y y =⎧⎨=⎩,y :1→2;L 2:2x x y =⎧⎨=⎩,x :1→4;故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0,终点(4,2)对应的参数t 2=1,故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰23.求下列函数在所示点的导数: (1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭,在点π4t =;解:()π4f ⎛⎫⎪'= ⎝ (2)()22,x y g x y x y +⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭,在点()(),1,2x y =;解:()111,224g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)sin cos u v u T u v v v ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,在点π1u v ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 解:1010101T -⎛⎫⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪π⎝⎭ ⎪⎝⎭(4)2222232u x y v x x y w x y y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩在点()3,2-. 解:6266362-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭24.求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点,,,1,1,1,1,1,1(000)()()O A B ---的梯度,并求梯度为零的点.解:()()()()54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42-------25.利用换元法求下列积分:2(1)cos()d x x x ⎰;解:原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰(2)x ;解:原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰2d (3)21xx -⎰;解:原式=1d 112x c =+-+⎰.c =+3(4)cos d x x ⎰;解:原式=231(1sin )dsin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰;解:原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos3d x x x ⎰;解:原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)xx ;解:原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x xx c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )x x x x +⎰; 解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解:原式=2.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解:原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解:原式=51e 5x c --+.d (12)12xx-⎰; 解:原式=1ln .122c x -+-(13)t ; 解:原式=.c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解:原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰;解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)x ⎰;解:原式=ln .c =-+⎰sin cos x x解:原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x ==+⎰⎰ 2(18)e d x x x -⎰;解:原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰10(19)(4)d x x +⎰;解:原式=111(4)11x c ++. (20)⎰解:原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解:原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ; 解:原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=--⎰arcsin .xa c a=⋅ d (23)e ex xx-+⎰; 解:原式=2d(e )arctane .1(e )x xx c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解:原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解:原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰解:原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++ 又cos t t ==故上式.c =+ (27)d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=++(28);x 解:原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x ===故上式33arccosc x+.(29);解:原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t =所以sin t =,故上式c =.(30).解:原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② = t + c 1② - ① = ln |sin t +cos t | + c 2故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰26.作适当坐标变换,计算下列二重积分: (1)22d d Dx y x y ⎰⎰,其中D 是由xy =2, xy =4, x =y , y =3x 在第一象限所围平面区域;(2)()222d d ,{1};(,)D x y D x y y x y x =+≤+⎰⎰(3)122201d ()d ,xxx x y y --+⎰⎰令x =v , x +y =u ;(4)22222222d d ,:1;D x y x y x y D a b ab ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭⎰⎰ (5){}2222d d ,;9(,)4Dx y D x y x y x y =+≤+-⎰⎰(6){}2222d d ,.4(,)2Dx y D x y x y x y y =+≤+-⎰⎰解:(1)积分区域D 如图10-23所示:图10-23令xy =u ,yv x=,则4,13)x y u v ==≤≤≤≤(,)1.(,)2xxx y u v J yy u v v uv ∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂ 于是:4333422221212241311281d d d d d d ln 3.ln 22323D u v u x y x y u u v v u u v v v ≤≤≤≤=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)积分区域D 如图10-24所示。

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析一、选择题,1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时,若x x tan -与kx 是同阶无穷小,则=k A.1. B.2.C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点,极值点.B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn n u 1)1(1∑∞=-.C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(y xy x Q =,如果对上半平面(0>y )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(,那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -.C.y x 11-. D.yx 1-.5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++. B.232221y y y -+.C.232221y y y --. D.232221y y y ---.6.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,,则A..3)(,2)(==A r A r B..2(,2)(==A r A r C..2(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设B A ,为随机事件,则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P =C.((A B P B A P =D.()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布),(2σμN ,则{}1<-Y X P A.与μ无关,而与2σ有关.B.与μ有关,而与2σ无关.C.与2,σμ都有关.D.与2,σμ都无关.二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.9.设函数)(u f 可导,,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11=.10.微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11.幂级数nn n n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+,(内的和函数=)(x S .12.设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧,则dxdy z x z⎰⎰--2244=.13.设),,(321αααA =为3阶矩阵.若21αα,线性无关,且2132ααα+-=,则线性方程组0=x A 的通解为.14.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,其他,20,2)(x xx f )(x F 为X 的分布函数,X E 为X 的数学期望,则{}=->1X X F P E )(.三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.(1)求)(x y ;(2)求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.(本题满分10分)设b a ,为实数,函数222by ax z ++=在点(3,4)处的方向导数中,沿方向j i l 43--=的方向导数最大,最大值为10.(1)求b a ,;(2)求曲面222by ax z ++=(0≥z )的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x ey x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121,n =(0,1,2…)(1)证明数列{}n a 单调减少,且221-+-=n n a n n a (n =2,3…)(2)求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体,求Ω的形心坐标.20.设向量组T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα,为3R 的一个基,T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为T c b )1,,(.(1)求c b a ,,.(2)证明32,a a ,β为3R 的一个基,并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似(1)求y x ,.(2)求可可逆矩阵P ,使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XYZ =(1)求z 的概率密度.(2)p 为何值时,X 与Z 不相关.(3)X 与Z 是否相互独立?23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数,0>σ是未知参数,A 是常数,n X …X X ,,21来自总体X 的简单随机样本.(1)求A ;(2)求2σ的最大似然估计量2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos +10.23-xe 11.xcos 12.33213.,T)1,2,1(-k k 为任意常数.14.3215.解:(1))()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰,又0)0(=y ,故0=c ,因此.)(221x xex y -=(2)22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-=',222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---='',令0=''y 得3,0±=x x)3,(--∞3-)0,3(-0)3,0(3),3(+∞y ''-+-+y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以,曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞,凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(,)3,3(23---e,)3,3(23-e .16.解:(1))2,2(by ax z =grad ,)8,6()4,3(b a z =grad ,由题设可得,4836-=-ba ,即b a =,又()()108622=+=b a z grad ,所以,.1-==b a(2)dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1=dxdyy x y x ⎰⎰≤+++22222441=ρρρθπd d ⎰⎰+202241=2232)41(1212ρπ+⋅=.313π17.18.19.由对称性,2,0==y x ,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ1210211)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z 20.(1)123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.(2)()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,,所以()233r ααβ=,,,则23ααβ,,可为3R 的一个基.()()12323=Pαααααβ,,,,则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,,,.21.(1)A 与B 相似,则()()tr A tr B =,A B =,即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩(2)A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;2=1λ-,22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭;3=2λ-,31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,,使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;2=1λ-,21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭;3=2λ-,30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,,使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以112211=P AP P AP --=Λ,即1112112B P P APP P AP ---==其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.22.解:(I )Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时,()zF z pe =;当0z >时,()()()()1111z zF z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩.(II )由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=,又()()1,12D X E Y p ==-,从而当12p =时,(),0Cov X Z =,即,X Z 不相关.(III )由上知当12p ≠时,,X Z 相关,从而不独立;当12p =时,121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭,121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭,显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,即,X Z 不独立.从而,X Z 不独立.23.解:(I )由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =212t e dt +∞-==⎰,从而A =(II )构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他,当,1,2,,i x i n μ≥=L 时,取对数得()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑,求导并令其为零,可得()22241ln 1022nii d L n x d μσσσ==-+-=∑,解得2σ的最大似然估计量为()211n ii x n μ=-∑.。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析(江南博哥)1 [单选题]当x→0时,x-tanx与x k是同阶无穷小,则k=( ).A.1B.2C.3D.4正确答案:C参考解析:因,若要x一tanx与x‘是同阶无穷小,则k=3,故选C项.2 [单选题]A.可导点,极值点B.不可导点,极值点C.可导点,非极值点D.不可导点,非极值点正确答案:B参考解析:因为不存在,所以x=0是f(x)的不可导点;又因为f(x)连续,当x<0时,f’(x)=-2x>0,当0<x<e-1时,f’(x)=lnx+1<0,所以x=0是f(x)的极值点.3 [单选题]设{u n}是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( ).A.B.C.D.正确答案:D参考解析:由单调有界收敛定理知{u n}极限存在,由有界性知了C>0满足|u n|≤C,绝对收敛.4 [单选题],如果对上半平面(y>O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有Q(x,y)dy=0,那么函数P(x,y)可取为( ).A.B.C.D.正确答案:D参考解析:由题意知,积分与路径无关,则,故只需选择在上半平面有连续偏导数,且满足的P函数只有D项.5 [单选题]设A是三阶实对称矩阵,E是三阶单位矩阵,若A2+A=2E,且|A|=4,则二次型x T Ax的规范形为( ).A.B.C.D.正确答案:C参考解析:设λ是A的特征值,根据A2+A=2E,得λ2+λ=2,解得λ=1或-2,所以A的特征值是1或-2.因为|A|=4,所以A的三个特征值为1,-2,-2,从而二次型x T Ax的规范形为;,故选c项.6 [单选题]如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程a i1x+a i2y+a i3z=d i(i=1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,,则( ).A.r(A)=2,r()=3B.r(A)=2,r()=2C.r(A)=1,r()=2D.r(A)=1,r()=1正确答案:A参考解析:由题意知3张平面无公共交点,且交线相互平行,所以r(A)≠r(),故排除B和D选项;又因为它们两两相交于一条直线,故其中任意两个平面不平行,所以2=r(A),r()=3,故选A项.7 [单选题]设A,B为随机事件,则P(A)=P(B)的充分必要条件是( ).A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P()正确答案:C参考解析:因为P(A)=P(A)-P(AB),P(B)=P(B)-P(AB),所以P(A)=P(B)(A)=P(B),故选C项.8 [单选题]设随机变量X和Y相互独立,且都服从正态分布N(μ,σ2),则P{|X-Y|<1}( ).A.与μ无关,而与σ2有关B.与μ有关,而与σ2无关C.与μ,σ2都有关D.与μ,σ2都无关正确答案:A参考解析:X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2),且X与Y相互独立,则E(X—Y)=0,D(X—Y)=D(X)+D(Y)=2σ2,与μ无关,而与σ2有关.故选A项.9 [填空题]设函数f(u)可导,z=f(siny-sinx)+xy,则参考解析:【解析】10 [填空题]微分方程2yy’-y2-2=0满足条件y(0)=1的特解为______.参考解析:【解析】11 [填空题]幂级数内的和函数S(x)=______.参考解析:【解析】12 [填空题]设∑为曲面x2+y2+4z2=4(z≥0)的上侧,则参考解析:【解析】将曲面方程代入积分表达式,原积分为13 [填空题]设A=1,2,3为三阶矩阵,若1,2线性无关,且3=-1+22,则线性方程组Ax=0的通解为_______.参考解析:【解析】∵1,2线性无关,∴r(A)≥2.∵3=-1+22,∴r(A)<3,∴r(A)=2,∴Ax=0的基础解系中有n-r(A)=3-2=1个线性无关的解向量.∵1-22+3=0,14 [填空题]设随机变量x的概率密度为F(X)为X的分布函数,E(X)为X的数学期望,则P{F(X)>E(X)-1}=.参考解析:【解析】方法一方法二易知Y=F(X)~U(0,1),15 [简答题]设函数y(x)是微分方程满足条件y(0)=0的特解.(I)求y(x);(Ⅱ)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点.参考解析:(I)16 [简答题]设a,b为实数,函数z=2+ax2+by2在点(3,4)处的方向导数中,沿方向l=-3i-4j的方向导数最大,最大值为10.(I)求a,b;(11)求曲面z=2+ax2+by2(z≥0)的面积.参考解析:(I)函数梯度为▽=(2ax,2by),则函数在点(3,4)处的梯度为(6a,8b),则可知沿方向(-3,-4)的最大方向导数为17 [简答题]求曲线y=e-x sinx(x≥0)与x轴之间所成图形的面积.参考解析:18 [简答题](Ⅰ)证明:数列{a n}单调递减,且(Ⅱ)参考解析:证明:19 [简答题]设Ω是由锥面x2+(y-z)2=(1-z)2(0≤z≤1)与平面z=0围成的锥体,求Ω的形心坐标.参考解析:设力的形心坐标为,根据对称性可知=0.对于0≤z≤1,记D z={(x,y)|x2+(y-z)2≤(1-z)2},则20 [简答题]设向量组1=(1,2,1)T,2=(1,3,2)T,3=(1,a,3)T为R3的一个基,β=(1,1,1)T,在这组基下的坐标为(b,c,1)T.(I)求a,b,c;(Ⅱ)证明2,3,β为R3的一个基,并求2,3,β到1,2,3的过渡矩阵.参考解析:21 [简答题]已知矩阵(I)求x,y;(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.参考解析:(Ⅱ)A的特征值与对应的特征向量分别为B的特征值与对应的特征向量分别为22 [简答题]设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为1的指数分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=p,P{Y=1}=1-p,(0<p<1),令Z=XY.(I)求Z的概率密度;(Ⅱ)p为何值时,X与Z不相关?(Ⅲ)X与Z是否相互独立?参考解析:23 [简答题]设总体x的概率密度为其中μ是已知参数,σ>0是未知参数,A是常数,X1,X2,…,X n是来自总体X的简单随机样本.(I)求A;(Ⅱ)求σ2的最大似然估计量.参考解析:。

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绝密 * 启用前2019年全国硕士研究生入学统一考试三套卷之数学(二)试卷 (模拟一)考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,把所选项前的字母填在题后的括号里.(1)当0x →时,1(1sin )1xx x +−−与nx 是同阶无穷小,则n =( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】(B ). 【解】0x →时,1ln(1sin )2ln(1sin )sin (1sin )1=1~~~6x x x xx x x xx x x ex x +−+−−+−−−−,因此2n =.(2)2111lim()nin i j n i j →∞===++∑∑( ) (A )12(1)xdydx x y ++⎰⎰(B )11200(1)dy dx x y ++⎰⎰(C )11201(1)y dx dy x y −++⎰⎰ (D )11200(1)y dxdy x y −++⎰⎰【答案】(A ). 【解】原式=2221111lim(1)(1)nin i j Ddxdyi n j n n x y →∞==⋅=++++∑∑⎰⎰,0,:0 1.y x D x ≤≤⎧⎨≤≤⎩因此,(A )正确的. (3)设1112arcsin xI dx x =⎰,1122arcsin x I dx x =⎰,1132ln(1)x I dx x +=⎰,1142ln(1)x I dx x =+⎰,则( ). (A )12I I <且34I I < (B )12I I <但34I I >(C )12I I >且34I I > (D )12I I >但34I I <【答案】(D ). 【解】由于112x >>时,arcsin ,x x >ln(1)x x +<;故arcsin 1arcsin x x x x >>,ln(1)1ln(1)x x x x +<<+,因此12I I >且34I I <,选择(D ). (4)设有曲线ln y x =与2y kx =,当12k e>时,它们之间( ). (A) 没有交点 (B) 仅有一个交点 (C) 有两个交点 (D) 有三个交点 【答案】(A ). 【解法一】两曲线交点横坐标满足方程2ln 0kx x −=,令2111()ln ,()20,ln(2)22f x kx x f x kx x f k x '=−=−===+,当12k e >时有0f >,0lim (),lim ()x x f x f x +→+∞→=+∞=+∞,函数()f x在区间上单减,在)+∞上单增,因此方程2ln 0kx x −=无实根,即两个曲线没有交点,选(A ). 【解法二】23ln 12ln (),(),x xf x f x x x−'==令()0f x '=得()0,()x x f x f x '=<<>单调增 ,且0lim ()x f x +→=−∞;()0,()x f x f x '><单调减,且lim ()0x f x →+∞=,故()f x在x =处取到最到最大值1,2f e =12k e>时,两曲线无交点,答案为(A). (5)曲线221,arctan ,12x y x x x x <−=⎪≥−⎪+⎩的渐近线条数是( ). (A)1 (B)2 (C)3(D)4【答案】(C ).【解】21lim ,1x x −→−=∞=−为铅锤渐近线;2limx =+∞,左边无水平渐近线;222lim1,lim )limx x x k b x →−∞==−==222211[(1())]1limlimx x x x o x →−∞−−+++==1,1y x =−=−−是斜渐近线;2limarctan ,222x x x y x ππ→+∞==+为水平渐近线.一共三条渐近线,选(C ).(6)将极坐标系下的二次积分()2sin 24cos ,sin I d f r r rdr πθπθθθ=⎰⎰化为直角坐标系下的二次积分,则I( )(A)1(,)xdx f x y dy ⎰.(B)10(,)x dx f x y dy ⎰.(C)121(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰.(D)1(,)ydy f x y dx ⎰.【答案】(C ).【解】极坐标下的区域:02sin 42D r ππθθ≤≤≤≤,在直角坐标系下的区域为:,0D y x x x ===所围成,()2sin 204cos ,sin I d f r r rdrπθπθθθ=⎰⎰121(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰110(,)xdx f x y dx =⎰⎰,选(C ).(7)已知4维列向量组123,,ααα线性无关,若=00,(1,2,3,1,2,34)Ti j j i j αββ≠==,,,则向量组1234,,,ββββ的秩1234(,,,)r ββββ=( ). (A )1 (B )2 (C )3 (D )4【答案】(A ).【解】记123T T T A ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A 是秩为3的34⨯的矩阵,由于j β与123,,ααα均正交,故j β是齐次方程组0Ax =的非零解,由于j β非零,故12341(,,,)()1r n r A ββββ≤≤−=,所以1234(,,,)1r ββββ=.(8)已知,A B 均为3阶矩阵,0A =,且满足3AB B O +=,若()2r B =,则行列式|2|A E +=( ).(A )1 (B )2 (C) 4 (D) 8【解】设123(,,)B βββ=,由(3)A E B O +=知,3λ=−是矩阵A 的特征值,且123,,βββ是特征值3λ=−的特征向量.由()2r B =,所以3λ=−至少有2个线性无关的特征向量.所以3λ=−至少是二重特征值.又因0A =,0λ=必是矩阵A 的特征值.从而A 的特征值是3,3,0−−,2A E +的特征值为1,1,2−−,故(1)(1)22A E +=−⨯−⨯=. 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上. (9) 设()y f x =在0x =处连续,且1x →=,则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为 .【答案】112y x =+. 【解】由题设有0(0)lim (sin )1x f f x →==,0(sin )(0)lim 2(0)1sin x x f x f f x →→−'===,得1(0)2f '=,故所求切线方程为112y x =+. (10)120191(1)()________x x I x x e e dx −−=+−=⎰.【答案】14.e −【解】由于x x e e −−为奇函数,故()x x x e e −−为偶函数,故2020()x x x e e −−为奇函数.111102()2()2()2()x x x x x x x x I x e e dx xd e e x e e e e dx−−−−=−=+=+−+⎰⎰⎰11102()2()4.xxe e e e e −−−=+−−=(11)心形线1cos r θ=+在(1,)2π处的曲率半径_______.R =【答案】3. 【解】(1cos )cos ,(1cos )sin ,x y θθθθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos 2,|1,sin sin 2dy dydx dx πθθθθθ=+==−−22cos cos 21()()()sin sin 2sin sin 2d y d dy d dy d d dx dx dx d dx dx d θθθθθθθθθ+==⋅=⋅−−−−3(sin 2sin 2)(sin sin 2)(cos cos 2)(cos 2cos 2)(sin sin 2)θθθθθθθθθθ−−−−−+−−=−−, 222|3d ydx πθ==−,曲率322(1)y K y ''=='+曲率半径3R =(12)已知可微函数()f x 满足21()d ()1()x f t tf x f t t=++⎰,则()f x =.【答案】.【解】等式两边对x 求导可得2()()()f x f x f x x'=+,因此函数()y f x =满足方程 2y y y x '=+,变形后可得dx xy dy y−=,该方程是一阶非齐次线性微分方程,通解为 ln ln 2()y y x e ye dy C y Cy −=+=+⎰,由题设知(1)1,0f C =−=,因此有2,()x y y f x ===()f x =,由(1)1f =−,因此有()f x =.(13)1lim1sin__________.n n →∞+−=【答案】π.【解】原式01111lim sin cos d 22nn i x xx x πππππ→∞====−⎰⎰2211(cos sin )+(sin cos )=2222x x x x dx dx ππππππ=−−⎰⎰. (14)设110000200001000A n n −⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭,则 *1()=A −_______. 【答案】1100010001!00210001n n n n +⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭(-1). 【解】 由于*11111100010001()=()!000210001n n A A A A n A n −−−−+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭(-1). 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设1cos ,0,()lim(),0,bn n ax x x xf x n x c x n x →∞⎧+>⎪⎪=⎨+⎪+≤⎪−⎩,若()f x 在(,)−∞+∞内可导,试确定常数,,a b c的取值情况.【解】1cos ,0,()lim(),0,bn n ax x x xf x n x c x n x →∞⎧+>⎪⎪=⎨+⎪+≤⎪−⎩21cos ,0,,0,bx ax x x xe c x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩4分由于可导一定连续因此有01lim (cos )(0)1bx ax x f c x+→+==+,必有1,0c b =−>, 6分又201(0)lim 2xx e f x−−→−'==,01cos(0)limb x ax x x f x ++→+'=101lim cos 2b x a x x+−→=+=,所以有2,1a b =>.10分(16)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数,(0)1,(0)1f f '==−,且当0x ≠时22()z f x y =−满足等式222222222()(cos )2z z z x y y x z x y x x∂∂∂−−−=−+∂∂∂, 求函数()f u 的表达式.【解】2222222,24,2,24z z z z xf f x f yf f y f x x y y∂∂∂∂''''''''==+=−=−+∂∂∂∂,4分代入题设等式可得22222222224()()()[()cos ]2x y x y f x y y x f x y −''−−=−−+因此()f u 满足方程11()()cos 442u f u f u ''+=−, 6分 方程1()()04f u f u ''+=的通解为12()cos sin 22u u f u C C =+,方程11()()cos 44f u f u u ''+=−的特解可设为()(cos sin )22u u f u u A B *=+,代入方程可得1sin cos cos ,2242u u u A B −+=−解得10,4A B ==−.因而方程11()()cos442u f u f u ''+=−的通解为121()cos sin sin 2242u u u f u C C u =+−,由(0)1,(0)1f f '==−可得121,2C C ==−,因此1()cos (2)sin 242u uf u u =−+. 10分(17)(本题满分10分)计算二重积分2()sgn()x DI x x ye y x d σ=+−⎰⎰,其中:11,01D x y −≤≤≤≤,sgn()是符号函数.【解】折线y x =把D 分为12,D D 则2212()()x x D D I x x yed x x ye d σσ=−+++⎰⎰⎰⎰2分1222D D x d x d σσ=−+⎰⎰⎰⎰4分1112211xxdx x dy dx x dy −−=−+⎰⎰⎰⎰8分 111.263=−+=−10分(18)(本题满分10分)已知函数(,)z z x y =由方程 222232(1)z x xy y x y ze e −+−−+=−确定,求(,)z z x y =的极值.【解】分别对等式222232(1)zx xy y x y ze e −+−−+=−两边关于x 及y 求偏导可得21(1)0,zzx y z e x∂−−++=∂43(1)0zzx y z e y∂−+−++=∂, 令0,0z zx y ∂∂==∂∂可得210,430.x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩解得1x y ==,代入原方程可得2z =,因此点(1,1)是函数(,)z z x y =唯一的驻点,且有(1,1)2z=.2分对等式21(1)0zzx y z ex∂−−++=∂两边关于x 再求偏导可得 2222(1)(2)()0zz z z z e z e x x∂∂++++=∂∂, 将1x y ==,2,0z z x ∂==∂代入可得222(1,1)23z A x e∂==−∂, 4分对等式21(1)0zzx y z ex∂−−++=∂两边关于y 再求偏导可得 21(1)(2)0zz z z zz e z e x y x y∂∂∂−++++⋅=∂∂∂∂,将1x y ==,2,0z zz x y∂∂===∂∂代入可得22(1,1)13z B x y e ∂==∂∂, 6分对等式43(1)0zzx y z ey∂−+−++=∂两边关于y 再求偏导可得 2224(1)(2)()0zz z z z e z e y y∂∂++++=∂∂,将1x y ==,2,0zz y∂==∂代入可得222(1,1)43z C y e∂==−∂, 8分因而有242720,093AC B A e e−=>=−<,因此(1,1)2z =是函数(,)z x y的极大值.10分 (19)(本题满分10分)设0x >,求使不等式a xx e ≤成立的正数a 的最大值.【解】0a >,当(0,1]x∈时上述不等式显然成立; 2分当1x >时上述不等式等价于ln x a x ≤,因此只要取a 为函数()ln xf x x=在(1,)+∞内最小值即可,2ln 1()ln x f x x−'=,令()0f x '=得x e=, 6分 当(1,)x e ∈时()0f x '<,当(,)x e ∈+∞时()0f x '>,8分 因而()ln xf x x=在x e =处取得最小值,且有()f e e =,因此a 可以取的最大值为e.10分(20)(本题满分11分)设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,(0)(1)0f f ==,且()f x 在[0,1]上的最大值及最小值均在(0,1)内取到.证明:(Ⅰ)在(0,1)内存在两个不同的点12,ξξ使得()(),1,2k k f f k ξξ'==;(Ⅱ)存在(0,1)η∈使得()+()2()f f f ηηη'''=. 【证明】(Ⅰ)由题设知在(0,1)存在两个不同的点12,x x ,且有12[0,1][0,1]min {()}=()0,max{()}=()0x x f x f x f x f x ∈∈<>,此处不妨设12x x <,由于12()()0f x f x <,由连续函数的零点定理知存在012(,)x x x ∈,使得0()0f x=,2分令()()xF x f x e −=,4分 则有0(0)()(1)0F F x F ===,由Rolle 定理知存在1020(0,),(,1)x x ξξ∈∈使得12()()0F F ξξ''==,由()[()()]x F x f x f x e −''=−可得在(0,1)存在两个不同的点12,ξξ使得()(),1,2k k f f k ξξ'==;6分(Ⅱ)由于()+()2()()()+2(()())0f f f f f f f ηηηηηηη'''''''=⇔−−=,令2()[()()]xG x f x f x e '=−, 9分由(Ⅰ)的证明知12()()0G G ξξ==,由Rolle 定理知12(,)(0,1)ηξξ∃∈⊂使得22()[()()]2[()()]0F f f e f f e ηηηηηηη'''''=−+−=,关注微信公众号【考研成长笔记】点滴记录,用心成长即有()+()2()f f f ηηη'''=.11分(21)(本题满分11分)某容器的外表面是2(0)y x y H =≤≤绕y 轴旋转所围成的曲面,其容积为450π3m ,其中盛满水,如果将水全部抽出,问至少需要做多少功?【解】由公式2214502HV dy H πππ===⎰,因此,30H m =.6分取y 为积分变量,[0,30]y ∈,任取子区间[,]y y dy +,功的微元为2(30)(30)dW x g y dy gy y dy πρπρ=−=−,其中ρ为水的密度,g 为重力加速度,9分 将水全部抽出,至少需要做功30(30)4500(J)W gy y dy g ππρ=−=⎰.(J 为功的单位焦耳)11分(22)(本题满分11分) (I )设有向量组(I )1231110,1,2,12a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα(II )1211201b −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭β,β.(I )问,a b 为何值时,向量组(II )不能由向量组(I )线性表示?(II )设11111012,20121a b −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,问,a b 为何值时矩阵方程=AX B 有解,有解时求出其全部解.【解】(I )123121111111111(,,,,)012200122012101121ra b a b −−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭αααβ,β111110122000301a b −⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭, 4分3,1a b =≠时,12,ββ不能由123,ααα,表出,3,a b ≠任意,12,ββ 均可由123,ααα,表出,且表示法唯一;3,1a b ==时,12,ββ 均可由123,ααα,表出,且表示法不唯一; 5分(II )3,1a b ==时10131()0122000000rA|B −−⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,=AX B 有无穷多解,解得31222,,k l X k l k l k l −++⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.8分当3,a b ≠任意时, 10131()0122000301rA|B a b −−⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭=AX B 有唯一解,且13132(1)23103b a b X a b a −⎛⎫−+ ⎪− ⎪−− ⎪= ⎪− ⎪− ⎪ ⎪−⎝⎭.11分(23)(本题满分11分)设三元二次型123(,,)Tf x x x x Ax =经正交变换x Qy =化为标准形236y ,且AB O =,12(,)B αα=,其中12(1,1,1)(2,1,0)T Tαα=−−=−,, (I) 求所用的正交变换x Qy =及二次型123(,,)T f x x x x Ax =的表达式;(II )求8(3)A E −.【解】(I )由112200,00,A A αααα====知特征值12==0λλ,12,αα是矩阵A 的属于特征值12==0λλ的线性无关的特征向量,又3=6λ是A 的特征值,设其对应的特征向量为为3123(,,)Tx x x α=,则123120,20,x x x x x −−=⎧⎨−+=⎩解得特征向量为3(1,2,1)Tα=−;3分将12,αα正交得令11211=1,=011βαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭,单位化有123111102111γγγ,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪−⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−⎭⎭⎭,令0⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎝,经1122330x yx y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎝,化二次型 236T T f x Ax y y y ==Λ=;5分由1233(,,)(0,0,6)A αααα=,得13123121(0,0,6)(,,)=242121A αααα−−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭,11 或者110012100624266121T T T Q AQ A Q Q γγ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒===− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 222123123121323(,,)4424T f x x x x Ax x x x x x x x x x ==+++−−.7分(II)因为1006Q AQ −⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,有133)333Q A E Q E −−⎛⎫ ⎪−=Λ−=− ⎪ ⎪⎝⎭(,从而 18818883)33)33Q A E Q E Q A E Q E E (()(()−−−=Λ−⇒−=Λ−=,所以888188833)3333A E Q E Q E (()−⎛⎫ ⎪−=Λ−== ⎪ ⎪⎝⎭.11分。

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