华师大版 全等三角形辅助线做法之截长补短
全等三角形作辅助线专题一重点截长补短法可
D CBAED F CBA全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA中考应用：以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD∆和等腰Rt ACE∆，90,BAD CAE∠=∠=︒连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）F E D C BA 21D CB A PQC BA 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证:AB ＝AD+BC3：如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
3辅助线作法--截长补短
三角形全等之截长补短一、知识点睛截长补短方法：（1）截长：在较长的线段上截取一段线段，使其长度等于一条较短的线段，构造等长的线段。
（2）补短：将较短的线段延长，使其等于一条较长的线段，构造等长的线段。
常用情况：(1)在题目给出角平分线条件的时候，考虑截长补短。
(2)题目中出现线段间的和差倍分时，考虑截长补短目的：截长补短的目的是把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．二、 精讲精练（可以尝试用两种种方法）、例1已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60º，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．A EBD OEBD CO练习1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．例221DBA 21D CAC练习2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。
课后作业1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证：CE =BD ．21AB CDEAB CDE2. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，∠BDC =90°，BD =CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥ACBFCEDA BFC EDACDBACBA3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PCAB。
三角形全等之截长补短(整理)
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12三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短:题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图,在△ABC 中,∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图,在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°,点E 为AB 边上一点，且DE 平分21D CB A 21D CB A 21D B A3∠ADC ,CE 平分∠BCD ． 求证:CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°,连接EF ．E DCA F EDCB A4求证:EF =BF +DE ．4. 已知：如图，在△ABC 中,∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED CBA F EDCB A55. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证:CE =BD ．21OED BEDCB A。
全等三角形——截长补短法
D C B A 全等三角形——截长补短法一、知识梳理：截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。
通常来证明几条线段的数量关系。
截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……二、典型例题： 例1、如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.及时练习：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ．例2、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．NEB M A DMDCB A DOECB A及时练习：如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．及时练习：如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C .2k h+ D . h例4、以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NM DCB ACCBA及时练习：如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．三、课堂练习：1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。
截长补短法全等三角形
截长补短法全等三角形全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是完全相等的。
而截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
在几何学中，截长补短法是一种常用的构造方法，可以用来证明两个三角形全等。
它的基本思想是通过截取和补充边长，使得两个三角形的对应边长和对应角度完全相等，从而达到全等的目的。
为了更好地理解截长补短法，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，其中已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF。
根据截长补短法，我们可以进行如下的构造：1. 在BC的延长线上截取一段长度等于EF的线段，记为BC'。
2. 在AC'上截取一段长度等于DE的线段，记为AC。
通过以上的构造，我们可以得到以下的结论：1. 由于BC'=EF，且BC=EF，所以BC=BC'，即三角形ABC和DEF的两条边相等。
2. 由于AC=DE，且∠A=∠D，所以三角形ABC和DEF的两个角相等。
3. 由于AB=DE，所以三角形ABC和DEF的第三条边相等。
根据截长补短法，我们可以得到三角形ABC和DEF全等的结论。
除了上述的例子，截长补短法还可以应用于更复杂的情况。
例如，当我们需要证明两个三角形全等时，已知两个角度相等并且其中一条边长相等，我们可以通过截长补短法来构造第二条边，从而得到全等的结果。
截长补短法在几何学中有着广泛的应用。
它不仅可以用来证明三角形的全等，还可以用来解决各种与全等三角形相关的问题。
通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。
截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。
在解决几何问题时，我们可以尝试使用截长补短法，从而更好地理解和应用全等三角形的性质。
数学八年级上册第十三章专题练习五中常见辅助线的作法课件 华东师大版
∴AC＋AB＞2AD，即 AD＜12 (AB＋AC)
7．如图，在△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线， 求BD的取值范围．
解：延长BD至点E，使DE＝BD.连结CE，∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD.∵∠BDA＝∠CDE，∴△BDA≌△EDC(SAS).∴CE＝AB， 在△CBE中，BC－CE<BE<BC＋CE， ∴2 cm<2BD<10 cm.∴1 cm<BD<5 cm
3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．
解：BC＝BE＋CD，证明：在 BC 上截取 BF＝BE，连结 OF. ∵BD 平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.∴△EBO≌△FBO(SAS). ∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12 ∠ABC－12 ∠ACB＝180°
解：过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.∵AE＝12 (AB＋AD)，
∴AB＋AD＝2AE.∵AC 平分∠BAD，即∠DAC＝∠CAB， 且 CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.又∵AC＝AC， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL).∴AF＝AE.∴AB＋AD＝AE＋AF. ∴AB－AE＝AF－AD，即 BE＝DF.∴Rt△CFD≌Rt△CEB(SAS). ∴∠ABC＝∠CDF.∴∠ABC＋∠ADC＝∠CDF＋∠ADC＝180°
方法2：如图②延长AC到点F，使CF＝CD，连结DF. ∵CF＝CD，∴∠CDF＝∠F. ∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，∴∠ACB＝2∠F. 又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠F.∴△ABD≌△AFD(AAS). ∴AB＝AF.∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD
(完整版)全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。
求证： CD=AD+BC。
思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。
三角形全等之截长补短 (整理)
三角形全等之截长补短 (整理)三角形全等之截长补短一、知识点概述截长补短是指在几何题目中，当出现线段和的情况时，可以考虑通过截取一段线段并加上一段等于原线段的线段，将原问题转化为线段等量的问题。
二、例题讲解1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．证明：可以通过截长法和补短法两种方法证明。
截长法：在AC上截取AF=AB，连接DF。
在△ABD和△AFD中，根据SAS准则可以得到△ABD≌△AFD，进而得到∠B=∠AFD，BD=FD。
又因为∠B=2∠C，所以∠AFD=2∠C。
因为∠AFD是△DFC的一个外角，所以∠AFD=∠C+∠XXX。
因为∠1=∠2，所以∠XXX∠C，进而得到∠AFD=2∠C=∠B。
因此，根据三角形内角和定理，可以得到∠A=180°-∠B-∠C=∠AFD+∠XXX∠C=2∠C+∠C+∠C=4∠C。
在△ABC中，∠B=2∠C，所以∠A=60°。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC （AAS），进而得到AE=AC。
因此，AC=AB+BD。
补短法：延长AB到E，使BE=BD，连接DE。
因为BE=BD，所以∠XXX∠BDE。
因为∠ABD是△XXX的一个外角，所以∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E。
因为∠ABD=2∠C，所以∠XXX∠C。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），进而得到AE=AC。
因此，XXX。
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：XXX．证明：在△ADE和△BCE中，因为∠A=∠B=90°，所以AD=BC。
因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠AED=∠DEC，∠XXX∠XXX。
因为∠AED+∠BCE=180°，所以∠DEC+∠CDE=180°。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。
全等三角形辅助线--截长补短、倍长中线、三线合一、角平分线等(部分答案)
全等三角形辅助线之倍长中线、截长补短、三线合一、角平分线(2019-2020整理版) 知识梳理倍长中线角平分线之截长补短角平分线等腰三角形EDCBA“角平分线+平行”模型“角平分线+垂直”模型“角平分线+斜交”模型E DCBAEDCBA等腰三角形三线合一模型等角对等边模型等边对等角模型FE DBA典型例题一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【练2】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．MCBADCBA【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =【练2】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠，而B G E A G F ∠=∠∴AFG AGF ∠=∠又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠∴CAD BAD ∠=∠ ∴AD 为ABC ∆的角平分线．FEDC BA FEDCBAF GE DCBAHAF GBE DC【练3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【练4】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB【例3】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【解析】 延长FM 到N ，使M N M F =，连结BN 、EN ．易证BNM ∆≌CFM ∆，∴BN CF =， 又∵AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，∴90EMF EMN ∠=∠=， 利用SAS 证明EMN ∆≌EMF ∆，∴EN EF =，在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．GFEDCBAFACD E B MFECBANMFECBA【练1】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【练2】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【解析】 延长FD 到点G ，使FD GD =，连结EG 、BG ．在CDF ∆和BDG ∆中CD BD CDF BDG FD GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDF BDG ∆∆≌ ∴BG CF =，FCD GBD ∠=∠∵90A ∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒∴90ABC GBD ∠+∠=︒在EDF ∆和EDG ∆中90ED ED EDF EDG FD GD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴EDF EDG ∆∆≌∴EF EG =故以线段BE 、EF 、FC 为边能构成一个直角三角形．【练3】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．(勾股定理)【解析】 如图、延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ．由AF FB =，有 ADF BGF ∆∆≌3BG AD ⇒==ADF BGF ⇒∠=∠AD GB⇒∥180GBE ACB ⇒∠+∠=︒90GBE ⇒∠=︒5GE ⇒=．又DF FG =，EF DG ⊥5DE GE ⇒==．FEMCBAF EDCBAGAE BDCF FEDCBA 图 6GEFDB CA【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使B D A B =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．【解析】 解法一：如图所示，延长CE 到F ，使EF CE =．容易证明EBF EAC ∆∆≌，从而BF AC =，而AC AB BD ==，故BF BD =．注意到CBD BAC ACB BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠， CBF ABC FBA ABC CAB ∠=∠+∠=∠+∠，故CBF CBD ∠=∠，而BC 公用，故CBF CBD ∆∆≌，因此2CD CF CE ==．解法二：如图所示，取CD 的中点G ，连接BG ．因为G 是CD 的中点，B 是AD 的中点，故BG 是DAC ∆的中位线，从而1122BG AC AB BE ===，由BG AC ∥可得GBC ACB ABC EBC ∠=∠=∠=∠，故BCE BCG ∆∆≌， 从而EC GC =，2CD CE =．【练1】已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证CD =2CE【练2】如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．【解析】 如图所示，设AM 交DC 于H ，要证明AM CD ⊥，实际上就是证明90AHD ∠=︒，而条件BM ME =不好运用，我们可以倍长中线AM 到F ，连接BF 交AD 于点N ，交CD 于点O ．容易证明AM E FM B ∆∆≌EDCBA54321KE DCBAMECBAFNO H ABC EM则AE FB =，EAF F ∠=∠，从而AE FB ∥，90ANF ∠=︒而90CAD DAB ∠+∠=︒，90DAB ABN ∠+∠=︒，故CAD ABN ∠=∠ 从而CAD ABF ∆∆≌，故D F ∠=∠ 而90D DON FOH F ∠+∠=∠+∠=︒ 故90AHD ∠=︒，亦即AM CD ⊥二、 截长补短截长法与补短法，是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
全等三角形辅助线添加之截长补短
八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短
学习建议:本讲内容是三角形全等的判定——辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。
希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进而构造出全等的三角形。
1.如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？
2、如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD.
3、如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE－BE＝DF．
3.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE恰好平分∠ABC，判断AB的长与AD＋BC的大小关系并证明.
4.如图，在△ABC中，AB>AC ，1= 2，P为AD上任意一点.求证：AB-AC>PB-PC.
5.如图所示：在△ABC中，∠1= ∠2，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD．
6.如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，判断AC的长与AE+CD的大小关系并证明.
7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB 于G，判断CF与GB的大小关系并证明。
8.△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．。
全等三角形辅助线 - 角平分线截长补短倍长中线三垂直半角模型-教师
全等三角形辅助线的作法一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC∆底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．易错点：1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．图3图2图1FEDNDMEAB CAB CDCBA知识精讲题模一：角平分线类例1.1.1如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【答案】见解析【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ． ∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．例1.1.1-2如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，若E 在AD 上。
全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全学习资料
全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的 一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目典型例题精讲【例1】 如图，在 ABC 中， BAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ，求 ABC 的度 数.【解析】法一：如图所示，延长 AB 至E 使BE BD ，连接ED 、EC .由 AC AB BD 知 AE AC ,而 BAC 60，则AEC 为等边三角形.注意到 EADCAD , ADAD :,AE AC ,故AED 也 ACD .从而有DE DC , DEC DCE故 BED BDEDCEDEC 2 DEC .所以 DECDCE 20 ,ABCBECBCE 6020 80 法二：在AC 上取点 E ，使得 AE AB ，则由题意可知CE BD .在ABD 和AED 中，AB AE , BADEAD , AD AD ,则ABD 也AED ，从而BD DE ,进而有 DE CE , ECD EDC ,AED ECD EDC 2 ECD .注意到 ABD AED ，则:ABCACB1 ABC -23ABC — ABC2180BAC 120 ,故 ABC 80【例2】已知ABC中， A 60 , BD、CE分别平分ABC和.ACB, BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明. 【解析】BE CD BC ,理由是: :在BC上截取BF BE，连结OF ,利用SAS证得BEO也BFO , / -1 2,•/ A60 ,•BOC190 -2A 120 ,• DOE 120 ,••• A DOE180 , • AEO ADO 180 ,••• 1 3 180••• 2 4 180 1 2, • 3 4,利用AAS证得CDO 也CFO , • CD CF ,•BC BF CF BE CD .【答案】见解析.分别是/ BAC、/ ABC的角平分线，求证：BQ AQ AB BP .【例3】如图，已知在厶ABC内, BAC 60 ,40 , P、Q分别在BC、CA 上，并且AP、BQ【解析】延长AB至D，使BD BP，连DP.在等腰ABPD中，可得BDP 40 ,从而BDP 40 ACP ,△ADP ^△ACP (ASA ),故AD AC又QBC 40 QCB，故BQ QC , BD BP. 从而BQ AQAB BP.【答案】见解析.【解析】延长BA至F，使BF BC，连FD△BDF ^△BDC ( SAS),故DFB DCB , FD DC又AD CD，故在等腰ABFD中，DFB DAF故有BAD BCD 180Q【例4】如图，在四边形ABCD 中，BC BA , AD CD , BD 平分/ ABC，求证: C 180 .AC证：MN MB NC .【解析】延长NC 至E ，使得CE MBDBM 也 DCE .•••DE DM , 1 2.又•1 NDC 60 , • 2+ NDCEND 60在 MDN 与EDN 中，ND ND, MDNEDN60 , DEDMMND 也 END• MN EN NC MB【答案】见解析.••• BDC 是等腰三角形，且BDC 120 , •DBC ••• ABC 是等边三角形.• ABC ACB BAC 60• MBDABCDBCACB DCBDCN在DBM 和DCE 中，BDDC ,MB CEDCB 30DCE 90【例6】如图在△ ABC 中，AB AC , P 为AD 上任意一点， D求证： AB AC PB PC .C【解析】延长AC至F，使AF AB，连PD△ABP^△AFP (SAS)故BP PF由三角形性质知PB PC PF PC < CF AF AC AB AC【答案】见解析.【例7】如图，四边形ABCD中，AB// DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上.求证：BC AB DC .A【解析】在BC上截取BF AB，连接EF••BE 平分/ABC ,A ABE FBE又••• BE BE ‘•••△ABE 也/E BE (SAS), /• A BFE .TAB//CD, • A D 180•BFE CFE 180 , • D CFE又• DCE FCE , CE 平分/ BCD, CE CE z.ZDCE 也E CE (AAS ) , • CD CF• BC BF CF AB CD【例8】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与/ ABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DM MN •在AD上截取AG AM ,•••DG MB ,•••/ AGM 45•••/DGM / MBN 135，•/ ADM / NMB ,• DGM 也MBN , • DM MN .【答案】见解析.见解析.证：AE BC CE .AB AD , AD丄CD , AB丄BM , BM DFABM也ADFAFD AMB , DAF BAMAB// CDAFD BAF EAF BAE BAE BAMAMB EAM , AE EM BE BM BE DF，使得BM DF，连接AM •EAM【例9】已知：如图, ABCD是正方形，FAD FAE ,求证: BE DF AE .【解析】延长CB至M【例10】如图所示, 已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE 2 DAM .求B C【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1) 通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等.(2) 通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等•我们用(1)法来证明.【答案】延长AB到F，使BF CE，则由正方形性质知AF AB BF BC CEF面我们利用全等三角形来证明AE AF •为此，连接EF交边BC于G •由于对顶角BGF CGE，所以Rt A BGF 也CGE AAS ,1从而BG GC - BC, FG EG , BG DM2于是Rt A ABG 也Rt A ADM SAS ,1所以BAG DAM BAE EAG , AG 是2【解析】延长DE至F，使得EF BC ,连接AC.-ABC AED180 , AEF AED 180 , / • ABC AEFAB AE,BC EF ,•••△\BC也zAEF •• EF BC,AC AFBC DE CD , • CD DE EF DF•••公DC 也zADF ,••• ADC ADF即AD平分/CDE.EAF的平分线【例11】五边形ABCDE中，AB AE , BC DE CD , ABC AED 180，求证：AD 平分/ CDE •HDMEC【例12】若P 为 ABC 所在平面上一点，且 APB BPC CPA 120，则点P 叫做 ABC 的费马点.(1) 若点P 为锐角 ABC 的费马点，且 ABC 60 , PA 3 , PC 4，则PB 的值为 _________________ (2) 如图，在锐角 ABC 外侧作等边 ACB',连结BB'. 求证：BB'过 ABC 的费马点 P ，且BB ' PA PB PC .【解析】(2)证明：在 BB '上取点P ，使 BPC 120 , 连结AP ，再在PB'上截取PE PC ，连结CE .•/ BPC 120 , ••• EPC 60 , ••• PCE 为正三角形， ••• PC CE , PCE 60 , CEB ' 120 ,•/ ACB '为正三角形， • AC B C , ACB ' 60 , • PCAACE ACE ECB ' 60 , • PCA ECB ',• ACP 也 B'CE , • APC B'CE 120 , PA EB', • APB APC BPC 120 , • P 为ABC 的费马点， • BB'过 ABC 的费马点P , 且 BB ' EB ' PB PE PA PB PC .【答案】见解析.2.3课后复习【作业1】已知，AD平分/ BAC, AC AB BD【解析】延长AB至点E,使AE AC，连接DEAD 平分/ BAC, ••• EAD CADAE AC , AD AD ,•公ED也△CD(SAS), E CAC AB BD , • AE AB BDAE AB BE , • BD BE, …BDE-ABC E BDE ,• ABC 2 E , • ABC2 C .【答案】见解析.【作业2】如图，△ ABC中，AB2AC , AD 平分/ BAC，且AD BD，求证：CD丄AC .C【解析】在AB上取中点F,连接FD .则△ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DF 丄AB,故AFD 90△ADF ^△ADC ( SAS)ACD AFD 90 ，即：CD丄AC【答案】见解析.【作业3】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.【解析】如图所示，延长AC到E使CE BM .在BDM与CDE中，因为BD CD , MBD ECD90 , BM CE ,所以BDM羞? CDE , 故MD ED.因为BDC -120 , MDN60°，所以BDM NDC60 .又因为BDM CDE，所以MDN EDN60在MND与END中，DN DN , MDN EDN60,DM DE , 所以MND也END , 则NE MN，所以AMN的周长为2.【答案】见解析.【作业4】已知：AC平分/ BAD, CE丄AB, B D 180，求证：AE AD BE.【解析】在AE上取F，使EF EB，连接CF••CE 丄AB二CEB CEF 90•EB EF , CE CE ,/•JCEB ^/CEF••• B CFE•B+ D 180 , CFE CFA 180• D CFA••AC 平分/BAD•DAC FAC•/ AC AC•△DC 也/FC (SAS)•AD AF•AE AF FE AD BE【答案】见解析.。
华师大版全等三角形辅助线做法之截长补短.doc
图中有角平分线, 角平分线平行线, 线段垂直平分线, 三角形中两中点,可向两边作垂线。
等腰三角形来添。
常向两端把线连。
连接则成中位线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线加乖线，三线合一试试看。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中有中线，延长中线等中线。
全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”. 2） 遇到三角形的中线，倍氏中线，使延氏线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”・3） 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4） 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5） 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延氏，是之与特定线段和等，再利用三佑形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类 的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三的形各顶点的线段连接起来，利用三伯形 而积的知识解答.三角形辅助线做法一、倍长中线（线段）造全等1、（“希望杯”试题）已知，如图AABC 中，AB=5, AC=3,则中线AD 的取值范围是A2、 如图，Z\ABC 中，BD=DC=AC, E 是DC 的中点，求证：AD 平分ZBAE.3、 （ 09崇文二模）以 MBC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt \ABD 和等腰Rt *CE ,ZB AD = ZCAE = 90°, M 、N 分别是OE 的中点.探究：AM 与。
期勺位置关系及数量关系.（1）如图①当为直角三角形时，AM 与庞的位置关系是,线段AM 与OE 的数量关系是；D E Cl^M C 3 题（1） 3 题（2）（2）将图①中的等腰RtAABD绕点A沿逆时针方向旋转b（（X°v90）后，如图②豚，（1）问中得到的两个结5、已知：D 是AB 中点，ZACB=90° ,求证：CD=-AB o26、已知：Z1=Z2, CD=DE, EF//AB,求证：EF=AC。
全等三角形中的截长补短.教师版
全等三角形中的截长补短中考要求知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．重、难点板块一、全等与角度【例10】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.D CBAE D CB A【解析】 如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=，则AEC ∆为等边三角形.注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=.ED CB A【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =， 则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =， 进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
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1 全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换
中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对
折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特
定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
三角形辅助线做法
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、倍长中线（线段）造全等
1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是
_________.
2、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.
3、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．
（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，
线段AM 与DE 的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒
θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
4、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD。
4题5题6题7题8题
5、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
1
2
CD AB
=。
6、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC。
7、已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
8、在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．
9、已知：ABC
∆中，AM是中线．求证：
1
()
2
AM AB AC
<+．
二、借助角平分线造全等
1、如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
2、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
3、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
4、P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：
PC-PB<AC-AB
5、已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE
6．（5分）如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
7、.如图1，BD是等腰ABC
RtΔ的角平分线，
90
=
∠BAC.（1）求证BC=AB+AD；
（2）如图2，BD
AF⊥于F，BD
CE⊥交延长线于E，求证：BD=2CE；
2
3 8、已知，如图1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD +∠BCD =180°。
9、如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，则∠B 与∠ADC 互补.为什么？
10、如图在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＋∠ABC ＝180度，CE ⊥AD 于E ，猜想AD 、AE 、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，
11、如图,四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=12
（AB+AD ），求∠ABC+∠ADC 的度数。
12、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞
PB-PC
13、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD
14、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.
（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.
15、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考
这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、
CE 相交于点F 。
请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是
否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
16、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC
17、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，0
40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
18、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 上一个动点，若060B ∠=，AB=BC ，且060DEC ∠=，判断AD+AE 与BC 的关系并证明你的结论。
三、平移变换
例1 、AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .
例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.。