截长补短类辅助线作法

截长补短类辅助线作法

“截长”就就是将三条线段中最长得那条线段一分为二，使其中得一条线段等于已知得两条较短线段中得一条，然后证明其中得另一段与已知得另一条线段得数量关系；

“补短”就就是将三条线段中一条已知得较短得线段延长至与另一条已知得较短得长度相等，然后证明延长后得线段与最长得已知线段得数量关系。注：1、截长补短类辅助线解决得一般就是三条线段之间得数量关系问题，特别要注意线段前系数不就是“1”得时候,一般会涉及到含特殊角得直角三角形２、具体在利用截长或者补短构造辅助线时要结合题目条件选择恰当得方法，并不就是所有题目截长与补短都可以

例题精讲

1、如图所示,就是边长为得正三角形，就是顶角为得等腰三角形,以为顶点作一个得，点、分别在、上,求得周长．

2、已知:如图，△AＢC中,,BD平分∠ＡBC,BC上有动点P.

（１）ＤP⊥ＢＣ时（如图１)，求证：;

（2）DＰ平分∠ＢDC时（如图２），BD、CD、CP三者有何数量关系？

3、已知中,,、分别平分与，、交于点，试判断、、得数量关系,并加以证明.

4、（2014初二上期末昌平区)如图，AD就是△ＡBC得角平分线，点Ｆ，E分别在边AC，ＡB上，且.

(1）求证：;

(2）如果,探究线段AＥ，AF,FD之间满足得等量关系，并证明。

5、如图所示,就是边长为得正三角形，就是顶角为得等腰三角形,以为顶点作一个得，点、分别在、上,求得周长.

6、如图所示，已知正方形ABCD中,M为CD得中点，E为MＣ上一点，且。求证：。

7、五边形AＢCＤE中，，，,求证：AD平分∠CＤE。

８、如图,在△ABC中，，D就是三角形外一点，且，．求证:

９、(2012初二上期中中关村中学)如图1所示：,AE、DE分别平分与，并交于Ｅ点、过点E得直线分别交ＡM、DN于Ｂ、Ｃ、ﻫ（１)如图2，当点B、C分别位于点AD得同侧时，猜想AD、ＡB、CD之间得存在得数量关系：_＿_＿_____、

（2）试证明您得猜想、

(3）若点B、C分别位于点AD得两侧时，试写出AD、AB、CD之间得关系，并选择一个写出证明过程、

10、(2012初二上期中北达资源中学)（1)如图,四边形ＡBPC中，，，，求证：．

（2）如图，四边形ABＣD中，，,P为四边形ABCD内一点,且，求证:。

11、(20０9山东临沂中考）数学课上，张老师出示了问题:如图１，四边形AＢＣD就是正方形，点E就是边BC得中点。∠AＥF=9０°，且EF交正方形外角∠DＣG得平分线CF于点F，求证：AE＝EF.

经过思考,小明展示了一种正确得解题思路:取AB得中点M，连接ＭＥ，则AM=E Ｃ，易证△AME≌△EＣF，所以AE=EF。

在此基础上，同学们作了进一步得研究:

（１)小颖提出：如图2,如果把“点Ｅ就是边BC得中点"改为“点E就是边BＣ上（除B，Ｃ外）得任意一点”，其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立，您认为小颖得观点正确吗？如果正确，写出证明过程;如果不正确,请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E就是BC得延长线上(除C点外）得任意一点，其她条件不变，结论“AＥ=EF”仍然成立.您认为小华得观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由。

12、(２０１3中考朝阳二模)在平行四边形ＡBCＤ中，E就是AD上一点，，过点E作直线EＦ，在ＥF上取一点G，使得，连接AG.

（1)如图１，当EF与AB相交时,若,求证：；

（2)如图２,当EF与AＢ相交时,若，请您直接写出线段EG、AG、ＢG之间得数量关系（用含α得式子表示）;

(３)如图3，当EＦ与CD相交时，且，请您写出线段ＥG、AG、BＧ之间得数量关系，并证明您得结论。

13、(2０15初二上期末昌平区）为等腰直角三角形，,点在边上(不与点、重合),以为腰作等腰直角，

（1）如图1，作于，求证:；

（２）在图1中，连接交于，求得值;

(3)如图2,过点作交得延长线于点,过点作，交于点，连接、当点在边上运动时，式子得值会发生变化吗?若不变，求出该值；若变化请说明理由、

随堂练习

1、已知等腰，，得平分线交于,则．

２、已知:如图，就是正方形，，求证:。

３、（2015中考顺义一模)如图，△ABC中,，点Ｐ就是三角形右外一点，且. (1）如图1,若，点P恰巧在∠AＢC得平分线上,,求PB得长;

(2）如图2，若，探究ＰA,PＢ,PC得数量关系,并证明;

（3)如图3，若,请直接写出PA,PB,PC得数量关系．

课后作业

1、如图,四边形ABCD中，AＢ∥DC，BE、CE分别平分∠AＢC、∠ＢCD，且点E在AD上。求证：。

2、（20１3黑龙江龙东地区中考）正方形ABCD得顶点A在直线MN上，点O

就是对角线ＡC、BD得交点，过点O作ＯE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于

点F。

(1)如图1,当Ｏ、B两点均在直线MN上方时，易证：ＡF＋BF=2OE（不需证明)

（2)当正方形ABCD绕点Ａ顺时针旋转至图２、图３得位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样得关系？请直接写出您得猜想,并选择一种情况给予证明。

3、(２015中考海淀一模）在菱形中，,点就是对角线上一点,连接,,将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交得延长线于点．

（1）依题意补全图形;

(2）求证：;

(3)用等式表示线段,,之间得数量关系:＿______＿_＿_＿_＿____＿____＿＿

____。

4、（2０１４黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、黑河中考）在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC＝9０°，ＡB=AC，直线MN过点Ａ且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°，且点Ｄ在直线MN上（不与点A重合）,如图1,DE 与AC交于点Ｐ，易证：ＢＤ＝DP。(无需写证明过程)

（1）在图2中,DE与CＡ延长线交于点P,BD=DＰ就是否成立？如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由；

（2）在图3中,ＤE与AC延长线交于点P，BD与DP就是否相等？请直接写出