(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、添加平行线构造“A ”“X ”型

例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值.

解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则

∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.

解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，

∴BE ：EF=5：1.

解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，

解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，

∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.

变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点,

连结BE 并延

长交AC 于F,

求AF ：CF 的值.

解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，

，

1==AE DE FE

PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC

BC DQ

BF ，

EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2

1

==；TC BT EF BE =，

DC BT 2

5=

例2：如图，在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，

DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：

（证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）

例3：如图，△ABC 中，AB

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。. 方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）. 方法二：过D 作DN//EC 交BC 于N. 例4：在△ABC 中，D 为AC 上的一点，E 为CB 延长线上的一点，BE=AD ，DE 交AB 于F 。求证：EF ×BC=AC ×DF

证明：过D 作DG ∥BC 交AB 于G ，则△DFG 和△EFB 相似，

∴

∵BE ＝AD,∴ 由DG ∥BC 可得△ADG 和△ACB 相似，∴ 即 ∴EF ×BC ＝AC ×DF.

例5：已知点D 是BC 的中点，过D 点的直线交AC 于E,交BA 的延长线于F,

求证：

CE

BD

CF BF =EC

AE

BF AF =

DG DF BE EF =DG DF AD EF =

DG AD BC AC =DG BC

AD AC

=

分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 .

（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分

别构成两个三角形.）

例6：已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·C D

分析：本题的重点在于如何解决“2”倍的问题；让它归属一条线段，

找到这一线段2倍是哪一线段.

例7: 如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED

且交AB的延长线于F点.求证：AE：EC=AF：BF.

分析：利用前两题的思想方法，借助中点构造中位线，利用平行

与2倍关系的结论，证明所得结论.找到后以比例式所在三角

形与哪个三角形相似.

例8：在∆ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP²=PE·PF

分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明.

二、作垂线构造相似直角三角形

例9：如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为E 、F ，

求证：

证明：过B 作BM ⊥AC 于M ，过D 作DN ⊥AC 于N ∴ AM ：AE=AB ：AC （1）

（1）+（2）得

例10：∆ABC 中，AC=BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点

（不是中点），MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC 、BC 于M 、N ，求证：

证明：过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥CB 于F ，则CEPF 为矩形

∴ PF EC ∵ ∠A ＝∠B=45° ∴Rt ΔAEP=Rt ΔPFB ∴ ∵ EC=PF ∴ （1） 在ΔECP 和ΔCNM 中CP ⊥MN 于Q

∴ ∠QCN+∠QNC=90°又 ∵ ∠QCN+∠QCM=90° ∴∠MCQ=∠CNQ

∴Rt ΔPEC ∽Rt ΔMCN ∴ 即 （2） 由（1）（2）得

三、作延长线构造相似三角形

例11. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

分析：因为问题涉及四边形AHCD ，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。

解：延长BA 、CD 交于点P ∵CH ⊥AB ，CD 平分∠BCD

∴CB=CP ，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA ：AB=1：2 ∴PA ：PB=1：3

∵AD ∥BC ∴△PAD ∽△PBC

2AC AF AD AE AB =⋅+⋅CN CM PB PA ::=AM AC AE AB ⋅=⋅)(AN AM AC AN AC AM AC AF AD AE AB +=⋅+⋅=⋅+⋅BCM

ADN ∆≅∆=

//EC

PE PF PE PB PA ==CN EC CM EP =CN CM EC EP =CN

CM PB PA =

91：

：∴△△=PBC PAD S S PBC PCH S S △△∵2

1=72：∴四边形△==AHCD PAD S S 21=AHCD S 四边形∵6=PAD S △∴54=PBC S △27

2

1

==PBC HBC S S △△∴