高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 必刷小题16 圆锥曲线
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章必刷小题16 圆锥曲线一、单项选择题√√故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.3.(2024·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p等于√A.3B.4C.5D.64.(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C 的方程为√解得a2＝16，b2＝9，√所以△PF1F2为等边三角形，6.(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是√x＝－1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，√作PM⊥x轴于点M，如图，则∠PF2M＝60°，由题意知F2(c,0)，由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，而|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2F1，8.(2023·连云港模拟)直线l：y＝－x＋1与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，圆M过两点A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是A.4B.10√C.4或10D.4或12可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－4，即y1＋y2＝－x1＋1－x2＋1＝－4，则x1＋x2＝6，可得AB的中点坐标为P(3，－2)，易知，直线l过抛物线焦点(1,0)，则|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝8，且AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝1×(x－3)，即y＝x－5，则可设圆M的圆心为M(a，b)，半径为r，所以b＝a－5，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，则16＋2(a－3)2＝r2，①又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a＋1|＝r，即(a＋1)2＝r2，②二、多项选择题 A.双曲线C 的实轴长为2B.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为mC.若(2,0)是双曲线C 的一个焦点，则m ＝2D.若双曲线C 的两条渐近线相互垂直，则m ＝2√√因为(2,0)是双曲线C的一个焦点，√√√对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝6，故B 正确；对于选项C，△F1PF2的周长为2a＋2c＝12，故C错误；对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝4，|F1F2|＝2c＝4，此时△F1PF2为等边三角形，故D正确.√√√根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.√√√由题意得a＝2，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，三、填空题13.(2023·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程__________ (答案不唯一)_____________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；y2＝4x设|NF|＝4t(t>0)，①得2a＝3p或6a＝p，由于0<p<2a，故2a＝3p，结合③，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.本课结束。
(完整word)高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义
高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义一、基础知识【理解去记】1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。
若焦点在y 轴上，列标准方程为：12222=+by a y (a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：12222=+by a x ，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为ca x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ace =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1. 椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.5.补充知识点： 几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为：12020=+byy a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。
第三章 圆锥曲线复习讲义(精心整理、好用、经典)
圆锥曲线复习讲义－学生版【基础知识】 一.椭圆与双曲线椭 圆双 曲 线定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=>1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程22221x y a b += 22221x y b a+= 22221x y a b -= 22221y x a b -= 图形焦点 (,0)F c ± (0,)F c ±(,0)F c ± (0,)F c ±焦距 C F F 221=对称轴关于x .y 轴对称，关于原点成中心对称顶点长轴：(-a ,0),(a ,0) 短轴：(0,-b ),(0,b )长轴：(-b ,0),(b ,0) 短轴：(0,-a ),(0,a )实轴：(-a ,0),(a ,0) 虚轴：(0,-b ),(0,b )实轴：(-b ,0),(b ,0)虚轴：(0,-a ),(0,a )轴 长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<< 22222221(1)c c a b be e a a a a+====+>渐进线无xab y ±= x ba y ±= a ,b ,c 2220c b a b a +=>>，2220b a c a c +=>>，M MPK K 1A A 2F F O yx二．抛物线的性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =->22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p-(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x = 2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤离心率1e = 1e = 1e = 1e = 三、弦长公式： ||14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2x 的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出AB x x -=+21，ACx x =21；（3）代入弦长公式计算。
第09讲 圆锥曲线中的定点、定值问题讲义——2024届高三数学一轮复习
第09讲 圆锥曲线中的定点、定值问题考点25 直接推理法求定点【常用方法】直接推理法求定点的一般步骤(1)一选(设参)：选择变量，定点问题中的定点，不随某一个量的变化而变化，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．(2)二求(用参)：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． (3)三定点(消参)：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 【典例分析25】1、已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32 ，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A (4，0)作关于x 轴对称的两条不同的直线l 1和l 2，l 1交椭圆于M (x 1，y 1)，l 2交椭圆于N (x 1，y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求出该定点坐标．考点26 逆推法求定点【常用方法】证明直线或曲线过某一定点(定点坐标已知)，可把要证明的结论当条件，逆推上去，若得到使已知条件成立的结论，则证明了直线或曲线过定点． 【典例分析26】2、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2 NM → ．(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP → ·PQ →＝1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3、如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切，其中a >1.(1)求椭圆的方程；(2)不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP ⊥AQ ，证明：动直线l 过定点，并且求出该定点坐标．考点27 变量法求定值【常用方法】求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典例分析27】1、已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为12 ，点D )23,1(是椭圆C 上一点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过椭圆C 的右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于点M ，N ．求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值．2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过椭圆左焦点F 的直线x －43y ＋3＝0与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO 的面积为34. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA 、MB 交椭圆分别于A 、B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证：直线AB 的斜率为定值．。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.11 圆锥曲线中求值与证明问题
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M， N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.
由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 显然直线MN的斜率不为0， 设直线 MN 的方程为 x＝my－4，且－12<m<12， 与x42－1y62 ＝1 联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，
a＝2，
⇒b＝1， c＝ 3，
∴椭圆 C 的方程为y42＋x2＝1.
(2)若点P为椭圆C上的动点，且在第一象限运动，直线AP的斜率为k，
且与y轴交于点M，过点M与AP垂直的直线交x轴于点N，若直线PN的 斜率为－25k ，求k值.
由题意知A(－1,0)，kAP＝k，
则直线lAP：y＝k(x＋1)，∴M(0，k)，
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若以AB为直径的圆经过坐标原点， 则O→A·O→B＝0，即 xAxB＋yAyB＝1－3－2 a2＝0， 所以a＝±1，满足要求.
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2.(2023·宁德模拟)若
A－1，－
22，B1，
22，C(0,1)，D
23，21四点中
恰有三点在椭圆 T：ax22＋by22＝1(a>b>0)上.
(1)求椭圆T的方程；
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由于
A－1，－
22，B1，
22两点关于原点对称，必在椭圆上，
则a12＋21b2＝1，且43a2＋41b2<1，
∴C(0,1)必在椭圆上，
即有b12＝1，则 b＝1，a2＝2， ∴椭圆 T 的方程为x22＋y2＝1.
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(2)动直线y＝
2 2x
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
圆锥曲线复习课课件
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
高中数学讲义-圆锥曲线
高中数学讲义圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课 椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆1422=+y x 的离心率为______3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为______ 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
2023届高考数学一轮复习圆锥曲线定直线问题 讲义
圆锥曲线定直线问题方法提示：先猜后证一、分析定直线的类型：是否与坐标轴垂直 二、特殊化得到答案 三、按常规方法写解题过程典例例1.如图，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，其上顶点为A ．已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ QN λ=⋅．若在线段MN 上取一点R ，使得MR RN λ=-⋅，当直线l 运动时，点R 在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．例2.已知双曲线E ：()222104y x a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为355，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PNHN=，证明点H 恒在一条定直线上．对点训练1、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，,M N 分别为左右顶点，直线l ：1x ty =+与椭圆C 交于,A B 两点，当3t =-时，A 是椭圆的上顶点，且12AF F 的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线,AM BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上.2、设椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =. （1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上.3、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为14-.记R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .①求12k k 的值； ②求证点G 在定直线上.4、已知抛物线E ：24x y =，过x 轴上一点M （不同于原点）的直线l 与E 交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，与y 轴交于C 点.（1）若MA MC λ=，MB MC μ=，求λμ的值；（2）若(4,0)M ，过A ，B 分别作E 的切线，两切线交于点P ，证明：点P 在定直线方程上，求出此定直线.5、已知,A B 两点在抛物线2C :4x y =上，点()0,4M 满足MA BM λ=． （1）若线段122AB =AB 的方程；（2）设抛物线C 过A B 、两点的切线交于点N ．求证：点N 在一条定直线上．6、在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a>b>0)的离心率为12，右焦点F 到右准线的距离为3. （1）求椭圆C 的方程;（2）过点F 作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C 交于M ， N 两点，设点5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ①若AMN 的面积为35，求直线l 方程； ②过点M 作与)轴垂直的直线l "和直线NA 交于点P ，求证：点P 在一条定直线上.7、已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且经过点23.2⎛- ⎝⎭ (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)已知抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点重合，过点()0,2P -的动直线与抛物线2C 相交于A ，B 两个不同的点，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在定直线上．8、已知椭圆C 的离心率32e =1(2,0)A -，2(2,0)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．9、设椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>过点2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.圆锥曲线定直线问题解析方法提示：先猜后证四、分析定直线的类型：是否与坐标轴垂直 五、特殊化得到答案 六、按常规方法写解题过程典例例1.如图，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，其上顶点为A ．已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ QN λ=⋅．若在线段MN 上取一点R ，使得MR RN λ=-⋅，当直线l 运动时，点R 在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．【答案】（1）22143+=y x （2）1=-x【解析】（1）因为△F 1AF 2是边长为2的正三角形，所以1=c ，2=a ，3=b ，椭圆C 的方程为22143+=y x ；（2）由题意知，直线MN 的斜率必存在，设其方程为(4)=+y k x ，并设11(,)M x y ，22(,)N x y由22(4)143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x y x ，消去y 得2222(43)3264120+++-=k x k x k ，则2144(14)0∆=->k ，21223243-+=+k x x k ，212264-1243=+k x x k 由=⋅MQ QN λ得124(4)--=+x x λ，故1244+=-+x x λ设点R 的坐标为00(,)x y ，则由=-⋅MR RN λ得0120()-=--x x x x λ解得：1122122121201122243424()43114()831434+-+⋅-++++=====--+++-+++x x x x x x x x x x k x x x x k x λλ故点R 在定直线1=-x 上．例2.已知双曲线E ：()222104y x a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为355，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PNHN=，证明点H 恒在一条定直线上．【答案】（1）5=a （2）定值为45（3）43120--=x y【解析】（1）设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得223554⎧=⎪⎨⎪=+⎩c a c a ，解得5=a ． （2）证明：由(1)可知，直线25=33=a x ，点2(3,0)F ．设点5(,)3P t ，00(,)Q x y ，因为220⋅=PF QF ，所以005(3,)(3,)03----=t x y ，所以004(3)3=-ty x .因为点00(,)Q x y 在双曲线E 上，所以220054=x y ，即22004(5)5=-y x .所以220000002200000044(5)(3)5345555333-----=⋅===---PQ OQ x x y t y y ty k k x x x x x x ，所以直线PQ 与直线OQ的斜率之积是定值45.（3）证明：设点(,)H x y ，且过点5(,1)3P 的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则22114520-=x y ，22224520-=x y ，即22114(5)5=-y x ，22224(5)5=-y x .设==PM MH PN HN λ，则⎧=⎪⎨=⎪⎩PM PN MH HNλλ.即1122112255(,1)(,1)33(,)(,)⎧--=--⎪⎨⎪--=--⎩x y x y x x y y x x y y λλ，.整理，得121212125(1)31(1)(1)⎧-=-⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎩x x y y x x x y y y λλλλλλλλ，故2222122222125(1)3(1)⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩x x x y y y λλλλ，将22114(5)5=-y x ，22224(5)5=-y x 代入，得221224451-=⨯--x x y λλ．消去λ，1x ，2x ，得443=-y x ．所以点H 恒在定直线43120--=x y 上．对点训练1、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，,M N 分别为左右顶点，直线l ：1x ty =+与椭圆C 交于,A B 两点，当3t =-时，A 是椭圆的上顶点，且12AF F 的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线,AM BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】（1）当3t =-时，直线l 为31x y =+，令0x =，得3y =即椭圆的上顶点为(3，所以3b = 又12AF F 的周长为6，即226a c +=，又222a b c =+，解得2,1a c ==，所以椭圆C 的方程为22143x y += . （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，所以122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又()()2,0,2,0M N -，所以直线AM 的方程为()1122y y x x =++， 直线BN 的方程为()2222y y x x =--， 联立直线AM 、AN 的方程得()()()()212112212121212332221y x y ty ty y y x x y x y ty ty y y ++++===---- .由122634t y y t +=-+得122634ty y t =--+代入上式，得222212212122222993332343439632343434t ty y ty y y x t t t t t x ty y y y y t t t --++++++====----++++++，解得4x =，所以点Q 在定直线4x =上.2、设椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =. （1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由已知得22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）设()11,M x y ，()()2212,N x y y y >，:1MN l x my =+，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=，所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()111:22A M y l y x x =++，()222:22A N yl y x x =--， 所以()()()122121122121222P x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()12212121212222my y y y y y y y y y +++-=-++，又因为()121223my y y y =+， 所以()()()()2121212124242P y y y y x y y y y ++-==-++；所以点P 在直线4x =上．3、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为14-.记R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .①求12k k 的值； ②求证点G 在定直线上.【答案】（1）221,(2)4x y x +=≠±，（2）1234k k =-，点G 在直线4x =上，证明见解析【解析】（1）因为直线AR 与BR 的斜率之积为14-，所以1224y y x x ⋅=-+-，即221,(2)4x y x +=≠± 故曲线C 221,(2)4x y x +=≠±（2）易知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x my =+由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，()224230m y my ++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m -=+ ()12122824x x m y y m +=++=+，()2212121224414m x x m y y m y y m -+=+++=+ ()2121212212121222334441622244444y y y y m k k m x x x x x x m m -+=⋅===--+---++-+++设121200(2),(2)22AM BNy y l y x l y x x x --==+==-+-，记直线AM 与BN 的交点()00,G x y则()()120012002222y y x x x x --+=-+-， 即()()()()12210122222y x y x x x x --+⋅+-()()()()211221222222y x y x x x ⎡⎤++-=-⎢⎥-+⎣⎦，()()()()()()211221120122112212222212(2)13)23(y x y x y my y my x y x y x y my y my +-+-=-=---+-++-+()()212122122122221122882864232244424y my y y y y my y y mm m m y y y y y y y =-+-+++-+-++++=+==，故04x =即点G 在直线4x =上.4、已知抛物线E ：24x y =，过x 轴上一点M （不同于原点）的直线l 与E 交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，与y 轴交于C 点.（1）若MA MC λ=，MB MC μ=，求λμ的值；（2）若(4,0)M ，过A ，B 分别作E 的切线，两切线交于点P ，证明：点P 在定直线方程上，求出此定直线.【答案】（1）1（2）交点P 在直线2y x =上【解析】（1）设(),0M n ，()0,C C y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由MA MC λ=，MB MC μ=得，()()11,,C x n y n y λ-=-，()()22,,C x n y n y μ-=-，所以1n x n λ-=，2n x nμ-=， 设l ：()y k x n =-， 联立()24y k x n x y⎧=-⎨=⎩，则2440x kx kn -+=，()24440k kn ∆=-⨯>，所以20k kn ->，则124x x k +=，124x x kn =， 所以()22121222441n n x x x x n nk knn nλμ-++-+===. （2）设(),P x y ，24x y =，即2y 4x =，有x y'2=.过A 的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x x y =-，所以过B 的切线方程为22224x x x y =-两方程联立得122x x x +=，124x x y =，由（1）知124x x k +=，1216x x k =，所以2x k =，4y k =， 所以2y x =，即交点P 在直线2y x =上.5、已知,A B 两点在抛物线2C :4x y =上，点()0,4M 满足MA BM λ=． （1）若线段122AB =AB 的方程；（2）设抛物线C 过A B 、两点的切线交于点N ．求证：点N 在一条定直线上． 【答案】（1）24y x =+；（2）见解析 【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:4AB l y kx =+与24x y =联立得24160x kx --=，()()22441616640k k ∆=---=+>， 12124,16x x k x x +==-，()222212121?41?4+4AB k x x x x k k =++-=+，又122AB =221?44122k k ++=解得：222,7k k ==-（舍），所以直线的方程24y x =+ （2）证明：过点A 的切线：()211111111224y x x x y x x x =-+=-，①， 过点B 的切线：2221124y x x x =-，②，联立①②得点12,42x x N +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点N 在定直线4y =-上．6、在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a>b>0)的离心率为12，右焦点F 到右准线的距离为3. （1）求椭圆C 的方程;（2）过点F 作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C 交于M ， N 两点，设点5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ①若AMN 的面积为35，求直线l 方程；②过点M 作与)轴垂直的直线l "和直线NA 交于点P ，求证：点P 在一条定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）①3(1)y x =-，②见解析 【解析】（1）由题意：2222123c a a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22143x y +=（2）①当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，此时331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意;当直线l 斜率存在时，设方程为(1)y k x =-.由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,M x y N x y .由题意，>0∆， 且221212228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++ 所以()()2212121212212||1||434k k y y k x x k x x x x k +-=-=⋅+-=+因为5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭， AMN ∆的面积为635所以1215631225y y ⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，即2212||13345k k k +=+，解得3k =所以直线l 的方程为3(1)y x =-.②当直线l 的斜率不存在时，直线NA 的方程为：2250x y --=.令32y =，得4x =，所以直线NA 与l '的交点坐标3(4,)2．当直线l 的斜率存在时，由①知，221212228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++ 由直线NA 的方程为：225522y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭- 令1y y =，得()()()121222255511522221y x k x x k x x y k x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=- ()()()121222544121kx x x x k k x k x -+++-=-()()33222241258441342341k k k k k x k k k x --⋅++-++=- ()()()()33222222412584414134234411k k k k k x k x k k k x k x --⋅++--++===--所以直线NA 与l '的交点P 的坐标为1(4,)P y ， 综上所述，点P 在一条定直线4x =上，7、已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且经过点23.2⎛- ⎝⎭ (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)已知抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点重合，过点()0,2P -的动直线与抛物线2C 相交于A ，B 两个不同的点，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在定直线上．【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析. 【解析】（1）由题意可知222222231,44c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =，故椭圆的方程为2212x y +=． （2）证明：由已知可得抛物线2C 的标准方程为24y x =，设点Q ，A ，B 的坐标分别为(),x y ，()11,x y ，()22,x y ， 由题意知B PA PB AQQ=，不妨设A 在P ，Q 之间，设PA AQ λ=，(0)λ>，又点Q 在P ，B 之间，故PB BQ λ=-，PB BQ >，1λ∴>，由PA AQ λ=可得()()1111,2,x y x x y y λ+=--解得11xx λλ=+，121yy λλ-+=+，点A 在抛物线上，22()411y x λλλλ-+∴=⨯++，即()2(2)41y x λλλ-=+，()1λ≠-，①由PB BQ λ=-可得()()2222,2,x y x x y y λ+=---解得21xx λλ=-，221y y λλ+=-， 点B 在抛物线上，22()411y xλλλλ+∴=⨯--， 即()2(2)41y x λλλ+=-，()1λ≠，②． 由-②①可得()842y x λλ=-，0λ≠，0x y ∴+=，∴点Q 总在定直线0x y +=上8、已知椭圆C 的离心率3e =1(2,0)A -，2(2,0)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】（1）2214+=x y （2）4=x【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)+=>>y x a b a b， ∵ 2=a ，3=e ∴3=c 21=b ， ∴椭圆C 的方程为2214+=x y ．（2）取0=m ，得3P ，3(1,)Q ， 直线A 1P 的方程是3363=+y x ，直线A 2Q 的方程是332=y x 它们交点为13)S ．若3(1,P ，3(1,Q ，由对称性可知2(4,3)-S ，若点S 在同一条直线上，由直线只能为l ：4=x ．以下证明对于任意的m ，直线A 1P 与A 2Q 的交点S 均在直线l ：4=x 上，事实上，由22114=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x my x y ，得22(4)230++-=m y my ， 记11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则12224-+=+m y y m ，12234-⋅=+y y m ，记A 1P 与l 交于点00(4,)S y ，由011422=++y y x ，得10162=+y y x ，设A 2Q 与l 交于点''0(4,)S y ，由022422=--’y y x ，得'20222=-y y x ，∵'121221121200121212626(1)2(3)46()22(2)(2)(2)(2)--+-+-=-==+-+-+-y y y my y my my y y y y y x x x x x x 2212121244=0(2)(2)---++=+-m mm m x x ， ∴'00=y y ，即00(4,)S y 与''00(4,)S y 重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线l ：4=x 上．9、设椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>过点2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.【答案】（1）22142=y x ， （2）220+-=x y【解析】（1）由题意：2222222211⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩c a b c a b，解得24=a ，22=b ．所求的求椭圆C 的方程22142+=y x ． （2）方法一：设点(,)Q x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题设，||PA 、||PB 、||AQ 、||QB 均不为0，且⋅=⋅AP QB AQ PB ， 又P 、A 、Q 、B 四点共线，可设=-PA AQ λ，(0,1)=≠±PB BQ λλ，于是141-=-x x λλ，141-=-yy λλ①241+=+x x λλ，241+=+yy λλ②由于11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，将①②分别带入C 的方程22142+=y x ， 整理得：222(24)4(22)140+--+-+=x y x y λλ ③222(24)4(22)140+-++-+=x y x y λλ ④由④－③得8(22)0+-=x y λ．∵0≠λ，∴220+-=x y ．即点(,)Q x y 总在直线220+-=x y 上． 方法二：设点(,)Q x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由题设，||PA 、||PB 、||AQ 、||QB 均不为0，又P 、A 、Q 、B 四点共线，可设=-PA AQ λ，(0,1)=≠±PB BQ λλ， 于是：1241-=-x x λλ，1211-=-y y λλ；121+=+x x x λλ，121+=+y y y λλ．从而2212241-=-x x x λλ ① 221221-=-y y y λλ ②又点A ，B 在椭圆上，即221124+=x y ③ 222224+=x y④①＋2×②并结合③，④得220+-=x y ，即点(,)Q x y 总在直线220+-=x y 上．。
2023届高考数学一轮复习圆锥曲线角度关系证明 讲义
圆锥曲线角度问题方法提示角度的证明往往转为斜率问题或者坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或者考虑用向量进行计算。
典例例1、如图，已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2分别交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .例2、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点0(2)P ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知点E (0，2)，以OE 为直径的圆与抛物线C ∶x 2=2py (p >0)交于点M ，N (异于原点O )，MN 恰为该圆的直径，过点E 作直线交抛物线与A ，B 两点，过A ，B 两点分别做拋物线C 的切线交于点P . （1）求证∶点P 的纵坐标为定值；（2）若F 是抛物线C 的焦点，证明∶∠PF A =∠PFB .综合练习1、已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.2、椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，经过点()0,1A -2（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆E 交于，PQ 两点，点()2,0M ，O 为坐标原点，证明：OMP OMQ ∠=∠.3、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>5，1(,0)F c-，2(,0)F c分别为椭圆的左、右焦点，点4(,)3c在椭圆上．（1）求C的方程；（2）若直线(1)y k x=-与椭圆C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否在点D，当k变化时，总有ODA ODB∠=∠？若存在求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．4、已知椭圆C中心为原点，离心率12，焦点()1,0F.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点()0,1且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在点Q，使得当k变动时，总有OQA OQB∠=∠？说明理由.5、在直角坐标系xOy中，曲线2:4C x y=与直线(0)y kx a a=+>交与M，N两点．（1）当0k=时，分别求C在点M和N处的切线方程；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM OPN∠=∠？说明理由．6、已知椭圆C 的中心为原点，离心率12，焦点(1,0)F ，斜率为k 的直线l 与C 交于,A B 两点．（1）若线段AB 的中点为(1,),M m P 为C 上一点，且,FA FP FB ,成等差数列，求点P 的坐标；（2）若l 过点(0,)(03),n n y <轴上是否存在点Q ，使得当k 变动时，总有OQA OQB ∠=∠说明理由．7、如图，已知点F 为抛物线E ：y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |=3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G (-1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线.8、设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，直线l 不与x 轴重合，求OMAOMB∠∠的值.9、已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的短轴长是222．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知()0,1C ，若直线1:3l y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，是否存在常数λ，使AMC ABC λ=⋅∠∠恒成立，并说明理由．圆锥曲线角度问题解析方法提示角度的证明往往转为斜率问题或者坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或者考虑用向量进行计算。
一轮复习圆锥曲线
高考一轮复习圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题
第一课时 定点问题题型一 直线过定点问题例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.(1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1). 则AG→＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1). 由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去). 所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3<n <3. 易知直线P A 的方程为y ＝t9(x ＋3)， 所以y 1＝t9(x 1＋3).易知直线PB 的方程为y ＝t3(x －3)， 所以y 2＝t3(x 2－3).可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 229＋y 22＝1， 故y 22＝－（x 2＋3）（x 2－3）9，②由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ，得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－2mnm 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9.代入③式，得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0. 解得n ＝－3(舍去)或n ＝32. 故直线CD 的方程为x ＝my ＋32， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.训练1 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问：直线l 是否过定点？证明你的结论. 解 (1)由|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，代入椭圆方程有1a 2＋94b 2＝1，解得b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，k 1＋k 2＝y 1－32－y 1－32x 1＋1＝1，解得x 1＝－4，与椭圆无交点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2－12＝0，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， Δ＝48(4k 2－m 2＋3)>0. 由k 1＋k 2＝1，整理得(2k －1)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋m －52(x 1＋x 2)＋2m －4＝0，即(m －4k )(2m －2k －3)＝0.当m ＝k ＋32时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当m ＝4k 时，Δ＝4k 2－m 2＋3>0有解，此时直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0).题型二 圆过定点问题例2 (2021·湖南三湘名校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率为22，它的上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 (1)由题意得，e ＝c a ＝22. 又a 2＝b 2＋c 2， 所以a ＝2b ，c ＝b . 又|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，a >b ≥1，所以b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝169.当AB ⊥y 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 可得两圆交点为Q (－1，0).由此可知，若以线段AB 为直径的圆过定点，则该定点为Q (－1，0). 下证Q (－1，0)符合题意. 设直线l 的斜率存在，且不为0， 其方程设为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13，代入y 22＋x 2＝1，并整理得(k 2＋2)x 2－23k 2x ＋19k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 23（k 2＋2），x 1x 2＝k 2－189（k 2＋2）， 所以QA →·QB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k 2(x 1＋x 2)＋1＋19k 2＝(1＋k 2)·k 2－189（k 2＋2）＋⎝⎛⎭⎪⎫1－13k 2·2k 23（k 2＋2）＋1＋19k 2 ＝0.故QA→⊥QB →，即Q (－1，0)在以线段AB 为直径的圆上.综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(－1，0).感悟提升 1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k ＝0或k 不存在时.2.圆过定点问题，一般从圆的直径所对的圆心角为直角入手，利用垂直关系找到突破口，从而解决问题.训练2 (2022·江西红色七校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2 2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的定义可得2a ＝22， 则a ＝2，∵椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22， ∴c ＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为y 22＋x 2＝1.(2)当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为x ＝my －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，T (t ，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －13，y 22＋x 2＝1消去x 并整理，得(18m 2＋9)y 2－12my －16＝0，Δ＝144m 2＋64(18m 2＋9)＝144(9m 2＋4)>0恒成立， 则y 1＋y 2＝12m 18m 2＋9＝4m 6m 2＋3，y 1y 2＝－1618m 2＋9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ， 则TA ⊥TB ，TA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13，y 1，TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13，y 2，则TA →·TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13(y 1＋y 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132＝－16（m 2＋1）－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13×12m18m 2＋9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132－（12t ＋20）m 2＋1618m 2＋9＝0， ∵点T 为定点，∴t 为定值，与m 无关， ∴12t ＋2018＝169，解得t ＝1，此时TA →·TB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－169＝0，符合题意. 当直线l 与x 轴重合时，AB 为椭圆C 的短轴，易知以AB 为直径的圆过点(1，0). 综上所述，存在定点T (1，0)，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T .圆锥曲线中的“伴侣点”问题在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0，这一对点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这对特殊的点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.圆锥曲线的“伴侣点”在我们研究圆锥曲线的性质中具有重要的地位，蕴涵着圆锥曲线许多有趣的性质. 例 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，设A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0(0<m <a )是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C ，D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E .证明：直线DE 垂直于x 轴. 证明 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 则直线l 的方程为y ＝y 1x 1－m(x －m ). 把直线l 的方程代入双曲线方程，整理得(b 2x 21－a 2y 21－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2y 21m 2－a 2b 2(x 1－m )2＝0， 由b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2(点C 在双曲线上)，上面方程可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2[(y 21＋b 2)m 2＋b 2x 21－2b 2mx 1]＝0， 又因为b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2， 所以a 2(y 21＋b 2)＝b 2x 21，代入上式，方程又可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －b 2x 21m 2－a 2b 2x 21＋2a 2b 2mx 1＝0，由已知，显然a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2≠0，于是x 1x 2＝－x 21m 2＋a 2x 21－2a 2mx 1a 2－2mx 1＋m 2，因为x 1≠0，得x 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2ma 2－2mx 1＋m 2(*) 同理，直线BC 的方程为y ＝y 1x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2m ， 所以只要把(*)中m 换成a 2m，就可以得到x 3＝－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＋a 2x 1－2a 2a 2m a 2－2a 2m x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2m a 2－2mx 1＋m 2， 所以x 2＝x 3，故直线DE 垂直于x 轴.1.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点.(1)解 若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1，2)，可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x .若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1，2)，可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y .综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明 因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x .易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)，将直线BP 的方程代入y 2＝4x ，消去y ，得 k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0.设P (x 1，y 1)，则x 1＝（k ＋2）2k 2，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫（k ＋2）2k 2，2k ＋4k . 用－2k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为2k ＋4k －2＋2k（k ＋2）2k 2－（k －1）2＝2k 3＋4k－k 4＋2k 3＋4k ＋4＝2k－k 2＋2k ＋2，故直线PQ 的方程是 y －2＋2k ＝2k －k 2＋2k ＋2·[x －(k －1)2]. 在上述方程中，令x ＝3，解得y ＝2， 所以直线PQ 恒过定点(3，2).2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点B (4，0)作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P ′.证明：直线P ′Q 经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标.(1)解 由椭圆的定义，可知 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（23）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝4.解得a ＝2.又b 2＝a 2－(3)2＝1.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为 x ＝my ＋4(m ≠0).设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1).由⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x ，可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0. ∵Δ＝16(m 2－12)>0，∴m 2>12. ∴y 1＋y 2＝－8mm 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4.∵k P ′Q ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）.∴直线P ′Q 的方程为 y ＋y 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）(x －x 1).令y ＝0，可得x ＝m （y 2－y 1）y 1y 1＋y 2＋my 1＋4.∴x ＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4＝2m ·12m 2＋4－8m m 2＋4＋4＝24m－8m＋4＝1.∴D (1，0).∴直线P ′Q 经过x 轴上定点D ，其坐标为(1，0).3.如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.(1)求kk 1的值；(2)当k 变化时，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)， 直线l 与直线l 1的交点为(0，1)，所以l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0， 由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，①由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，所以kk 1＝yy 0－（y ＋y 0）＋1xx 0＝（x ＋1）（x 0＋1）－（x ＋x 0＋2）＋1xx 0＝1. (2)证明 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，所以x M ＝－8k 4k 2＋1，所以y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k4＋k 2 ＝8－8k 48k （3k 2－3）＝－k 2＋13k ， 直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8（k 2＋1）3（4k 2＋1）＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.所以当k 变化时，直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53. 4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1的左、右焦点，且C 1与C 2相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33. (1)求椭圆C 1的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx －13与椭圆C 1交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.解 (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 2m 2－y 2＝1，解得m 2＝1， ∴a 2＝m 2＋1＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 22＋y 2b 2＝1，解得b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，整理得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， ∴x 1＋x 2＝12k 9＋18k 2，x 1x 2＝－169＋18k 2， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0.由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，则定点必在y 轴上. 设定点为M (0，y 0)，则MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0) MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0) ＝x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝x 1x 2＋k 2x 1x 2－k 3(x 1＋x 2)－y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k （x 1＋x 2）－23＋19＋y 20 ＝(1＋k 2)x 1x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋y 0(x 1＋x 2)＋y 20＋23y 0＋19 ＝18（y 20－1）k 2＋9y 20＋6y 0－159＋18k 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 20－1＝0，9y 20＋6y 0－15＝0，解得y 0＝1， ∴M (0，1)，∴以线段AB 为直径的圆恒过定点(0，1).。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
2024高考数学专项复习圆锥曲线基础知识手册
圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ2024高考数学专项复习第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.13 圆锥曲线中定点与定值问题
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章§8.13 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题(1)求C的方程；(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图，设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，所以线段MN的中点是定点(0,3).思维升华求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).跟踪训练1 (2024·郑州质检)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点.(1)求椭圆C的方程；又a2＝b2＋c2，则a＝2，(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB 为直径的圆恒过点M ？由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2<t<2)，若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k不恒为0，题型二 定值问题例2 在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的两个顶点坐标为B(－2,0)，C(2,0)，直线AB，AC的斜率乘积为(1)求顶点A的轨迹Γ的方程；依题意，过点P(1,0)与曲线Γ交于点M，N的直线斜率存在且不为零，设直线MN的方程为x＝my＋1(m≠0)，即有2my1y2＝3(y1＋y2)，又(x1y2＋x2y1)＋2(y2－y1)＝(my1＋1)y2＋(my2＋1)y1＋2(y2－y1)＝2my1y2＋3y2－y1＝3(y1＋y2)＋3y2－y1＝2(y1＋3y2)，(x1y2－x2y1)＋2(y2＋y1)＝(my1＋1)y2－(my2＋1)y1＋2(y2＋y1)＝y1＋3y2，思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.如图所示，过点F作F A⊥MN，垂足为A，MN交x轴于点E，因为|MF|＝|MN|，所以△MNF是等边三角形，因为O是FB的中点，所以|DF|＝|DN|，MD⊥DF，所以|MN|＝8，|AN|＝4，(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P，Q两点，且∠PGQ＝，证明：点F到直线PQ与到直线l1的距离之比为定值.由(1)可知抛物线C的方程是x2＝8y，由题意知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，即(x1＋x0)(x2＋x0)＝－64，得x2－8kx－8m＝0，其中Δ＝64k2＋32m>0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－8m，所以－8m＋32k2＋16k2＝－64，所以m＝6k2＋8.设点F到直线PQ和直线l1的距离分别为d1，d2，所以点F到直线PQ与到直线l的距离之比是定值，定值为3.知识过关(1)求实数k的取值范围；化简整理得(1－4k2)x2－24kx－52＝0，Δ＝(－24k)2＋4×(1－4k2)×52＝208－256k2，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，(2)证明：当k变化时，点D的纵坐标为定值.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C在第一象限交于A，B两点，直线x＝3交线段AB于点Q，且S△F AQ∶S△FBQ＝|F A|∶|FB|，证明：直线l过定点.由已知得，双曲线C的右焦点为F(3,0)，直线x＝3过双曲线C的右焦点.所以sin∠AFQ＝sin∠BFQ，所以直线AF与直线BF的倾斜角互补，k AF＋k BF＝0.显然直线l的斜率存在且不为0，所以(kx1＋m)(x2－3)＋(kx2＋m)(x1－3)＝0，整理得2kx1x2＋(m－3k)(x1＋x2)－6m＝0.化简得k＋m＝0，即m＝－k，所以直线l的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过点(1,0)，所以直线l过定点.能力拓展3.(2023·深圳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2,0).(1)求抛物线C的标准方程；∵抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2,0)，故抛物线C的标准方程为y2＝8x.(2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值.∵点A的横坐标为2，即y2＝8×2，解得y＝±4，故A点的坐标为(2,4)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知设AB：m(y－4)＝x－2，即x＝my－4m＋2，代入抛物线C的方程得y2＝8(my－4m＋2)，即y2－8my＋32m－16＝0，则y1＋4＝8m，故y1＝8m－4，∴x1＝my1－4m＋2＝m(8m－4)－4m＋2＝8m2－8m＋2，即B(8m2－8m＋2,8m－4)，设AC：－m(y－4)＝x－2，即x＝－my＋4m＋2，同理可得y2＝－8m－4，则x2＝－my2＋4m＋2＝－m(－8m－4)＋4m＋2＝8m2＋8m＋2，即C(8m2＋8m＋2，－8m－4)，∴直线BC的斜率为定值.(1)证明：k BF·k BG为定值；因为BG∥P A，(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，设G(x1，y1)，F(x2，y2)，约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点(1,0)；当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为x＝m，其中m≠2，。
高考数学一轮复习讲义 第58课时 圆锥曲线的综合问题 理
高考数学一轮复习讲义第58课时圆锥曲线的综合问题理(或)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式：＝、涉及垂直关系问题，一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设、，是直线与圆锥曲线的两个交点，为坐标原点，则，解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形、常用此法简化运算、基本知识方法在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的、如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决、可从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况、解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值、典例分析：考点一弦长问题问题1、设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于、两点，为坐标原点，若，求的值、考点二焦点弦问题问题2、过抛物线（）的焦点作一条直线交抛物线于、，两点，设直线的倾斜角为、求证：；考点三范围与最值问题问题3、（湖北）已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是、(Ⅰ)求曲线的方程；（Ⅱ）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由、问题4、(浙江)如图，椭圆：()的离心率为，其左焦点到点的距离为、不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分、(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求的面积取最大时直线的方程、考点四定点定值问题问题5、(陕西)已知动圆过定点, 且在轴上截得的弦的长为、(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程；(Ⅱ)已知点, 设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点, , 若轴是的角平分线, 证明直线过定点、问题6、(山东)已知直线与椭圆: 交于，两不同点，且的面积,其中为坐标原点、（Ⅰ）证明和均为定值；（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；（Ⅲ）略、考点五探索性问题问题7、（湖北）直线：与双曲线：的右支交于不同的两点、、（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由、课后作业：（南通九校联考）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若，则满足条件的直线有条条条无数条已知双曲线: ，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有条条条条（北京海淀区）若不论为何值，直线与直线总有公共点，则的取值范围是直线与椭圆公共点的个数是随变化而改变椭圆与直线交于两点，的中点为，且的斜率为，则的值为已知椭圆，则以为中点的弦的长度是若直线和椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为过椭圆的一个焦点的直线交椭圆于、两点,求面积的最大值中心在原点，焦点在轴上的椭圆的左焦点为，离心率为，过作直线交椭圆于两点，已知线段的中点到椭圆左准线的距离是，则已知椭圆（）的右焦点为，过作直线与椭圆相交于、两点，若有，求椭圆离心率的取值范围、抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦、，求证：交抛物线的对称轴上一定点、走向高考：（福建）已知双曲线(，)的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（江西）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 (安徽)已知直线交抛物线于两点、若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为（全国Ⅰ）已知椭圆的左、右焦点分别为，、过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为、（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；（Ⅱ）求四边形的面积的最小值、。
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直线与圆锥曲 线一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax By C 0 (A, B 不同时为0)代入圆 锥曲线C 的方程F (x, v) =0,消去y (也可以消去x)得到关丁一个变量的一元二次方程，即联立三、中点弦所在直线的斜率.22222-2 ;若椭圆方程为土号1(a b 0)时，相应结论为k —^-°(y 0 0),即kgk °p土 ；aab' by °b'2222若双曲线方程为七，1时，相应结论为k %~°(y 0 0),即kck op 旦^；a bb y ° bI 复习提问Ax By C 0 F (x, y) 0消去y 后得ax 2bx c 0(1) 当a 0时，即得到一个一元一次方程，贝U l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平■行;若 C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平■行(2)当a 0时， 0,直线l 与曲线C 有两个不同的交点;公共点(切点)； 0,直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式0,直线l 与曲线C 相切，即有唯相交弦AB 的弦长2 2(1)若椭圆方程为 1 土 1(a a b b 0)时，以P(x °,y °)为中点的弦所在直线斜率kb 2x。
a 2y(y 。
即 k*°p(2) P2(x 0,y 0)是双曲线 —2~ a 2yb 21部一点，以 P 为中点的弦所在直线斜率k 孕(y °a V 。
k*°pABk 2^ 7(x i x^74x 1x 21j I y i y 2(3)) P (x °,y 。
)是抛物线y 2 2px 部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率n题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0;另一方法就是数形结合，如直 线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。
(2) 直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与 圆锥曲线相切。
例1.已知两点M(1,5), N( 4, 5),给出下列曲线方程：①4x 2y 1 0②x 2+y 2=3③— 寸 14422_ x 2 ................................ ........................................ ................... ..........................④— y 2 1在曲线上存在点P,满足PM PN 的所有曲线方程是(填序号)。
2----------------------------------练1:对于抛物线C ： y 2 4x ,我们称满足y 。
2 4x 。
的点M(x °,y 。
)在抛物线的部，若点 M(x °,y 。
)在抛物线的 部，则直线l :y °y 2(x x 。
)与抛物线C 的位置关系是 。
练2：设抛物线y 2 8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有共点点，则直线 l 的斜率的取值围是_2 例2.如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，过y 轴正万向上一点 C (0, c) (c>0)任作一条直线，与抛物线y x相交于A, B 两点，一条垂直于 x 轴的直线分别与线段 AB 和直线l : y=- c 交于P, Q 两点。
uuu uuu(1)若OAgOB 2,求C 的值；(2)若p 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线。
若方程为x 22py 时，相应结论为kX 。
--------- 0pk— (y 0。
);y2a . . .. ........的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过F 2作直线PF 2的垂线交直线x 一于点Q,求证：直线PQ 与椭圆C 只有一个 c公共点。
练2: (14理)在平面直角坐标系 xoy 中，点M 到点F (1,0 )的距离比它到y 轴的距离多1 ,记点M 的轨迹为C, (1) 求点M 的轨迹方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (-2 , 1)分别求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公 共点，三个公共点时 k 的相应取值围。
、中点弦问题练1: （12理）2x 如图所小，F 1( c,0) , F 2(c,0)分别是椭圆C ：— a2% 1(a b 0)的左右焦点，过F 1作直线x 轴b 2 1例1 ：已知过点M (-,」)的直线l 与椭圆 —y 22 2 2求直线l 的方程。
1 (x)y ,、 一，，， 一 .，一练1: (14理)过点M (1,1 )作斜率为 —的直线与椭圆 c ： -y J 1(a b 0)相交于A, B 两点，若 M 是线段2 a 2 b 2AB 中点，贝U 椭圆 C 的离心率等于 。
2练2:已知椭圆方程 —y 2 1。
(1)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；(2)过点P (2,1 )的直线l 与椭圆2相交，求被l 截得的弦的中点的轨迹方程。
22x y例2：如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 一 匕 1 ,过坐标原点的直线交椭圆于P, A 两点，其中点42P 在第一象限，过 P 作-轴的垂线，垂足为 C,连接AC,并延长交椭圆于点 B,设直线PA 的斜率为k,求证：对任意 k>0,都有 PMPB2练1：已知曲线C ： X 2七 1(m 0,m 1),过原点斜率为 k 的直线交曲线 C 于P, Q 两点，其中P 在第一象限, m且它在y 轴上的射影为点 N,直线QN 交曲线C 于另一点H,是否存在 m 使得对任意带你 k>0,都有P8 PH?若存在，求m 的值，不存在，说明理由。
uuuu 1交于A, B 两点，且OM 1 uuu uuu-(OA OB) (O 为坐标原点)，22 2x V例3已知椭圆C: 一—— 1 ,试确TE m的围，使碍对于直线l ： y=4x+m,椭圆C上有两个不同的点关于N条直线对4 3称。
1 ___练1:如图所小，已知椭圆E经过点A （2,3）,对称轴为坐标轴，焦点F i , F2在x轴上，离心率e 一，（1）求椭圆2 E的方程；（2）求F1AF2的角平分线所在直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出，不存在，说明理由。
练2:已知A, B, C是椭圆W — y2 1上的三点，O是坐标原点。
（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABg菱4形时，求此菱形面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABg否可能为菱形，说明理由。
2 213.已知椭圆C ：与。
1(a b 0)的离心率为一，右焦点为F,右顶点A 在圆F ： (x 1)2 y 2 r 2(r 0)上。
a b 2 (1) 求椭圆C 和圆F 的方程。
(2)已知过点A 的直线l 与椭圆C 交于另一点B,与圆F 交于另一点P,请判断是否存在斜率不为 0的直线l ,使点P 恰好为线段AB 的中点，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。
二、弦长与面积问题。
在弦长有关的问题中，一般有三类问题： (1) 弦长公式(2) 与焦点相关的弦长计算，利用定义 (3) 涉及面积的计算问题例1.过抛物线y 2 2px(p 0)的焦点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于点 A, B 两点，若线段 AB 的长为8,贝U P 为多少？(1)求椭圆C 的方程;上)，且AG BH ,求k 的值。
1,过椭圆C 的左焦点F 且倾斜角为 g 的直线l 与椭圆C 交于A, B,求弦长 AB 。
2练1:已知椭圆C: 4 寸2练2：已知圆M (x 、、2)2 y 2-，若椭圆C:32y b 21(a b 0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为⑵已知直线l : ykx ，若直线l 与椭圆 C 分别交于A, B 两点，与圆 M 分别交于 G H 两点(其中点 G 在线段AB例2：已知椭圆C: — y 2 1,过点(m,0)作圆x 2 y 2 1的切线l 交椭圆G 于A,B 两点。
4(1) 求椭圆G 的焦点坐标和离心率。
(2) 将AB 表示为m 的函数，并求 AB 的最大值。
练1已知椭圆C ： 二土 1(a b 0)经过点M(1,3),其离心率为-(1)求椭圆C 的方程。
a b22.... ........ …1 ....................................... ............................. ....................................... ....................... (2)设直线l : y=kx+m (k /与椭圆C 相交于A, B 两点，以线段 OA OB 为邻边作平形四边形 OAPB 其中顶点P在椭圆C 上，O 为坐标原点，求 OP 的取值围。
'1(a b 0)的右顶点A (2,°)离心率为乎‘ O 为坐标原点。
(1) (1)求椭圆C 的方程。
2,…一 x 2.已知椭圆C:—a(2)已知P是(异于点A)为椭圆C上一个动点，过O作线段AP垂线l交椭圆C于点E, Db如图所示，求取值围。
(2)设点M在线段AB±运动，原点O关于点M的对称点C,求四边形OACB面积的最小值。
(12)在平面直角坐标系x o y中，椭圆G的中点为坐标原点，左焦点为点，且PFO 45o。
( 1)求椭圆G的标准方程(2)已知直线11 : y kx m与椭圆G交于A, B两点，直线12:DE I_I的APx2例3:已知F I,F2是椭圆——42—1的左右焦点,3AB是过点F1的一条动弦，求△ AB F2的面积最大值。
练1: (14新课标理)已知点 A (0, -2 )，椭圆E: x2 V2 」3-,, 一.................. — J 1(a b 0)的离心率为——，F是椭圆E的右焦点, a2 b2 2........................ 2,3 .............直线AF的斜率为---- ，O为坐标原点。
(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当AOPQ面积最大时，求l的方程。
已知抛物线y2 4x的焦点为F ,过点F的直线交抛物线于A, B两点。
uuur(1)若AFuuu2FB ,求直线AB的斜率;223C 2: —^ ^~2 1的左右焦点分别为 F 3, F 4，离心率为e 2,已知ee —，且F 2F 4a b2(1)求C i, C 2的方程 (2)过F i 作C i 的不垂直于y 轴的弦AB,M 为AB 的中点，当直线 OM 巨C 2交于P, Q 两点时，求四边形APBC®积的最小值。