【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式

复数的向量表示及复数的三角形式

基础概念

一、基础知识概述

由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义．

二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示：

复数集C 与复平面内的向量集合OZ （O 为原点）一一对应． 说明：

（1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数；

（2）向量OZ 的模r 就是复数bi a Z +=（a 、R b ∈）的模，即2

2||||b a r bi a Z +=

=+=．

2、复数的三角形式及运算：

（1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作Z arg ． 说明：

不等于零的复数Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差π2的整数倍． （2）复数的三角形式：)sin (cos θθi r +叫做复数bi a Z +=的三角形式，其中02

2

≥+=

b a r ，r

a =

θcos ，r

b =

θsin ．

说明：

任何一个复数bi a Z +=均可表示成)sin (cos θθi r +的形式．其中r 为Z 的模，θ为Z 的一个辐角．

（3）复数的三角形式的运算：

设)sin (cos θθi r Z +=，)sin (cos 1111θθi r Z +=，)sin (cos 2222θθi r Z +=．则 1）乘法：)]sin()[cos(21212121θθθθ+++=⋅i r r Z Z ；

2）除法：

)0()]sin()[cos(221212

12

1≠---=

Z i r r Z Z θθθθ；

3）乘方：)sin (cos θθn i n r Z n n +=； 4）开方：)1,,2,1,0()]2sin(

)2[cos(

-=+++=

n k n

k i n

k r Z n

n π

θπ

θ．

3、复数的几何意义：

（1）复数模的几何意义：||||OZ Z =，即Z 点到原点O 的距离，一般地||21Z Z -即1Z 点到2Z 点的距离．

（2）复数加、减法的几何意义：

图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．

即21Z Z Z +=，122

1

Z Z Z Z Z -=．

（3）复数乘、除法的几何意义：

设)sin (cos 1111θθi r Z +=，则1ZZ 的几何意义是把Z 的对应向量OZ 按逆时针方向旋转一个角1θ（如果01<θ，就要把OZ 按顺时针方向旋转一个角||1θ，再把它的模变为原来的1r 倍，所得向量OP 即表示积1ZZ ，如图，01≠Z ，

1

Z Z 的几何意义是把Z 的对应向量OZ 按

顺时针方向旋转一个角1θ（如果01<θ，就要把OZ 按逆时针方向旋转一个角||1θ，再把它的模变为原来的

1

1r 倍，所得的向量即表示商

1

Z Z ．

4、复数的指数形式：

把模为1，辐角为θ（以弧度为单位）的复数θθsin cos i +用记号θi e 表示，即

θθθ

sin cos i e

i +=，由此任何一个复数)sin (cos θθi r Z +=就可以表示为θ

i re Z =形式，

我们把这一表达式叫做复数的指数形式． 三、难点知识剖析

复数的几何意义的理解是本讲的难点．

由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法．

复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程． 如圆：r Z Z =-||0；

线段中垂线：||||21Z Z Z Z -=-；

椭圆：|)|2(2||||2121Z Z a a Z Z Z Z ->=-+- ； 双曲线：|)|2(2||||||2121Z Z a a Z Z Z Z -<=--- ．

典型例题

例1、已知πα<<0，且2

π

α≠，复数i Z -=αtan ．

（1）求Z 的三角形式；

（2）若2||

α

αi i Z -=

-=

， 1）当2

0π

α<

<时，则

0||cos 1

>=Z α， 而)2

3sin()23cos(cos sin απ

απαα+++=-i i ， ∴此时三角形式为)]2

3sin()2

3[cos(cos 1απαπα

+++i ．

2）当

παπ

<<2

时，则

0||cos 1

>=-Z α

，

而)2

sin(

)2

cos(

cos sin απ

απ

αα+++=+-i i ，