第五讲：有限差分法原理

有限差分法

有限差分法finite difference method用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。

是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。

把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。

此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。

另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。

此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。

因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。

前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。

只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。

最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。

另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。

此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

龙格库塔龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。

有限差分法的基本原理

f (x) ≈
2h
中心二阶差商
′′
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
f (x) ≈
h2
O(h) O(h)
2
O(h )
2
O(h )
其中，h表示网格间距，O(hn)表示截断误差与hn成正比。可以看出，中心差商比前向或后向差商具有更高的精度。
误差分析
有限差分法求得的数值解与真实解之间存在误差，这些误差主要来源于以下几个方面：
常用差分格式
有限差分法中最重要的步骤是构造合适的差分格式来近似微分项。根据泰勒展开式，可以得到以下常用的一阶和二阶差分格式：
差分格式
表达式
截断误差
前向一阶差商
′
f (x+h)−f (x)
f (x) ≈
h
后向一阶差商
′
f (x)−f (x−h)
f (x) ≈
h
中心一阶差商
′
f (x+h)−f (x−h)
截断误差：由于使用有限项级数来近似无穷级数而产生的误差；舍入误差：由于计算机对小数进行四舍五入而产生的误差；
离散误差：由于对连续区域进行离散化而产生的误差；稳定性误差：由于数值格式的稳定性不足而导致误差的累积或放大。
为了减小误差，一般可以采取以下措施：
选择更高阶或更精确的差分格式；减小网格间距或时间步长；选择合适的初始条件和边界条件；选择稳定且收敛的数值格式。
+
。 2
h)
为了验证上述方法的正确性，我们取M = 10, N = 100，则原问题可以写为如下形式：
则该问题对应的递推关系式为：
⎧ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,

第五章有限差分法知识讲解课件

的 m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。从这些表可以看出，一般地说，随着
差分阶数的增大和对应差商精度的提高，差分表达式所包含的项数将增多。
表 5-1
j
n0 1 2 34
1 -1
aj 1
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
表 5-3 j
n0 1 2345 aj
1 -3 4 -1 2 2 -5 4 -1 3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如 n 阶前差
分为
∆n y = ∆(∆n−1 y) = ∆[∆(∆n−2 y)]
⋯⋯ = ∆{∆⋯[∆(∆y)]} = ∆{∆⋯[∆( f (x + ∆x) − f (x)]}
n 阶的向后差分、中心差分的型式类似。
（5-6）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差
二阶差商多取中心式，即
∆2 y ∆x 2
=
f (x + ∆x) − 2 f (x) + (∆x) 2
f (x − ∆x) 。
（5-9）（5-10）（后的二阶差商。以上是一元函数的差分与差商。多元函数 f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
应地，上式中的 ∆y 、 ∆x 分别称为函数及自变量的差分， dy //#######为函数对 dx
自变量的差商。在导数的定义中 ∆x 是以任意方式趋近于零的，因而 ∆x 是可正可负的。在差
分方法中， ∆x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式：向前差分向后差分中心差分

有限差分法基本原理

以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差
分方程的修正方程式。
∂T ∂t
=β
∂ 2T ∂x 2
+ ET
ET
=
∆t∂ 2T 2∂t 2
n i
+
β
∆x2∂ 4T 12∂x 4
n i
+ O(∆t 2 , ∆x2 )
上式中的 ET 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误
差。显然 ET与 ∆x 、∆t 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应的偏微分方程是相容的。
T
(i,
n)
=
lim
∆x→0,∆t →0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不稳定的。
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：

有限差分法基本原理

该方法基于差分原理，即用离散点的差商来代替微商，将微分方程转化为差分方程，以便于通过代数方法求解。
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格上的流动，如计算流体动力学（CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通过将连续的物理量离散化为有限个离散点上的数值，并建立代数方程来近似描述物理量随时间和空间的变化规律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法，因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会产生数值色散误差，导致波的传播速度发生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分近似公式，将微分方程转化为差分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性，确保计算过程中误差不会累积放大。

5 第五章静电场边值问题的解法之有限差分法

⑵超松弛迭代法
φ i(, kj + 1) = φ i(, kj ) + α
4
+ 1) ( k + 1) (k ) (k ) 2 (k ) [φ i(−k1, j + φ i , j − 1 + φ i + 1, j + φ i , j + 1 − Fh − 4φ i , j ]
式中：
α
——加速收敛因子 (1 < α < 2)
边界条件的离散化处理
其中
K = εa εb
1 ϕ0 = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − Fh2 ) 3. 差分方程组的求解方法 4
⑴高斯——赛德尔迭代法
φ i(, kj + 1) =
1 ( k + 1) 1) (k ) (k ) 2 [φ i −1, j + φ i(, kj + − 1 + φ i + 1, j + φ i , j + 1 − Fh ] 4
将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式
ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = Fh
2
1 ϕ0 = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − Fh2 ) 4
ϕ0 =
1 (ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 ) 4
当场域中 ρ = 0，得到拉普拉斯方程的五点差分格式
ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = 0
差分格式为：若场域离散为矩形网格，

有限差分法

1.6.1 差分格式
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结束
如图，以二维场为例，在一由边界区域L界定的二维区域界定的二维区域D 如图，以二维场为例，在一由边界区域界定的二维区域电位函数φ满足拉普拉斯方程且给定为第一类边界条件：内，电位函数φ满足拉普拉斯方程且给定为第一类边界条件
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∇ 2ϕ = + 2 ∂x ∂y 2
启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数 N=0 N=N+1 按超松弛法进行一次迭代，求 ϕi(,N+1) j
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结束
Y N
所有内点相邻二次迭代值的最大误差是否小于 W 打印 N，ϕ(i, j ) 迭代解程序框图停机
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结束
例一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位ϕ4＝100。求槽内电位分布。解： •二维场第一类边值问题。 •将二维场域划分成正方形网格，步距h＝a/4。 •场域内任一点电位ϕ应满足二维拉普拉斯方程的差分计算格式。
α
4
k+ k) [ϕ i(− 1,1j ) + ϕ i(,kj+ 1 ) + ϕ i(+ 1, j + ϕ i(,kj )+ 1 − 4ϕ i(,kj ) ] −1
迭代收敛的速度与 α 有明显关系：有明显关系：迭代收敛的速度与收敛的速度
收敛因子（α ）迭代次数（ N） 1.0 >1000 1.7 269 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 174 143 122 133 171 2.0 发散
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chapter 5 有限差分法

差分原理
二阶差商多取中心式，即：
Δ2 y f ( x + Δx) − 2 f ( x) + f ( x − Δx) = 2 Δx (Δx) 2
多元函数 f (x, y, …) 的差分与差商也可以类推，如一阶向前差商为：
Δf f ( x + Δx, y,⋅ ⋅ ⋅) − f ( x, y,⋅ ⋅ ⋅) = Δx Δx
Δy f ( x + Δx) − f ( x) = Δx Δx Δy f ( x) − f ( x − Δx) = Δx Δx 1 1 f ( x + Δx) − f ( x − Δx) Δy 2 2 = Δx Δx Δy f ( x + Δx ) − f ( x − Δx ) = Δx 2 Δx
10
R = DΔ (φ ) − D (φ )
这里 φ 为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解 ξ 。如果当Δx、Δt →0时，差分方程的截断误差的某种范数也趋于零，即
Δx → 0 Δt → 0
lim R = 0
则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方 18 程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。
函数差分和差商的定义：设有函数 f (x )，自变量 x 的增量为 Δx，若取
x = xi + jΔx, j = 0,±1,±2,⋅ ⋅ ⋅
对应的函数值 f ( xi + jΔx) ，则 f (x ) 在 xi 处的n阶差分可表达为
Δ f ( xi ) =
n
j = − J1
∑c
J2
j
f ( xi + jΔx)
20
5.5 收敛性与稳定性

有限差分法基本原理PPT课件

uin1

uin

a
t x
(uin

un i 1
)

ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin uin1 uin 0
t
x

ui0 u (xi )
uin 1

uin

a
t x
(uin1

uin )

ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
限差分方程的解是收敛T的(i。, n)

lim
x0,t
0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。
在数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
T n1 i
Ti n

t x 2
(Ti
n 1

2Ti n

Ti
n 1
),
S

t x 2
Ti n1

STi n1

(1
2S )Tin

STi
n 1
上式T中i n 近似数值

有限差分法

有限差分法有限差分法finite difference method微分方程和积分微分方程数值解的方法。

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。

此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。

另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。

此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。

因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。

前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。

只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。

关于差分格式的构造一般有以下3种方法。

最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。

另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。

此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

有限差分方法基础ppt课件

t

x
0
(x,0) (x)
这里 (x) 为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：
（2-7）

n1 i

n i

n i 1

n i 1
0
t
2x

0 i

(xi )
（2-8）
初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。
图1-3 均匀和非均匀网格实例2
22
第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）
差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。
FTCS格式的截断误差为
Rin O(t, (x)2 )
FTFS和FTBS格式的截断误差为
Rin O(t, x)
3种格式对 t 都有一阶精度。
（2-12）（2-13）
30
第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）
25
第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为 O(t) ,
用空间中心差商代替空间导数时的误差为 O((x)2 ) ，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
表2

《有限差分法初步》课件

改进方向
高阶有限差分法
通过引入高阶差分方案，可以提高有限差分法的精度，减少数值误差。
并行算法优化
进一步优化并行算法，提高有限差分法的计算效率。
自适应网格技术
采用自适应网格技术，根据问题求解的需要动态地调整网格的密度和分布，以提高计算效率和精度。
边界条件处理技术
研究和开发更有效的边界条件处理技术，减少有限差分法的误差累积。
离散化原理
离散化原理是有限差分法的基础，它通过将连续的问题离散化，将连续的函数和微分转化为离散的数值和差分，从而将原问题转化为有限差分方程组进行求解。
离散化原理的应用范围广泛，可以用于求解微分方程、积分方程以及偏微分方程等。
离散化原理的关键在于选择合适的离散点，以确保离散化的结果能够近似反映原问题的真实情况。
《有限差分法初步》ppt课件
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点01
有限差分法是一种数值计算方法，通过将偏微分方程离散化，将其转化为差分方程进行求解。
02
它将连续的空间离散为有限个点，并使用离散点的差分近似表示原方程中的导数。
对学习者在学习过程中可能遇到的问题进行了详细解答，帮助解决疑惑，提高学习效果。
展望
深入研究
鼓励学习者在掌握有限差分法的基础上，进一步探索该方法的理论和应用，提高自己的学术水平。
实际应用
提倡将有限差分法应用于实际问题中，通过实践加深对该方法的理解和掌握，提高解决问题的能力。
交流与合作
04
有限差分法的实现
编程语言的选择
Python
Python是一种易于学习且功能强大的编程语言，适合初学者和科学计算。

有限差分法基本原理-较好

如折射、反射、散射等现象。
电磁波控制
03
在电磁场模拟中，有限差分法还可以用于研究电磁波的调控技
术，如波导、滤波器等器件的设计和优化。
有限差分法在气候模拟中的应用
气候模型
气候模拟是有限差分法的另一个重要应用领域，用于研究地球气候系统的演变和预测。
大气环流模型
通过有限差分法，可以建立大气环流模型，模拟大气中温度、湿度、风速等变量的变化和传播。
有限差分法的稳定性分析
稳定性定义
有限差分法的稳定性是指当时间步长趋于无穷小时，数值解的误差不会发散，而是趋于零。
稳定性条件
为了确保有限差分法的稳定性，需要满足一定的条件，例如CFL条件（Courant-Friedrichs-Lewy条件）等。
不稳定性分析
对于某些初始条件和参数，有限差分法可能会出现数值不稳定的情况，需要进行不稳定性分析并采取相应的措施。
3
边界条件处理
在流体动力学应用中，有限差分法需要考虑复杂的边界条件，如固壁、滑移边界等，以实现准确的数值模拟。
有限差分法在电磁场模拟中的应用
麦克斯韦方程
01
有限差分法可以用于求解电磁场中的麦克斯韦方程，以模拟电
磁波的传播和散射等行为。
电磁波传播
02
通过有限差分法，可以模拟电磁波在复杂介质中的传播特性，
THANKS FOR WATCHING
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未来研究方向与展望
研究方向展望
针对有限差分法的局限性和不足，未来的研究可以关注如何改进算法，提高计算精度和稳定性，以及如何拓展该方法的应用范围。
随着计算机技术的不断发展和数值计算方法的进步，有限差分法有望在未来得到更广泛的应用和更深入的研究，为解决各种科学和工程问题提供更加有效的数值计算方法。

有限差分法的原理与计算步骤

一、有限差分法的原理与计算步骤
1.原理
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

2. 计算步骤
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
（3）逼近求解。

换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程
二、有限差分法的程序流程图。

有限差分法

4
•计算内点o点的新值。即o点的新值就是围绕该点的4个点的电位的平均值。
•当所有的内点都计算完后，用他们的新值代替旧值，完成一次迭代。再进行下一次迭代。直到每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围。 •这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下一次迭代时的初值。如（j，k）点在第n＋1次迭代时按下式计算：
•考虑1，3两点x1=xo+h, x3=xo-h 1 2 2 1 3 3 h h ........ 1 o h 2 3
x o 2! x o 3! x o 1 2 2 1 3 3 3 o h x 2 h 3! x 3 h ........ 2! x o o o 如果h足够小，忽略三次以上项，将上二式相减
•迭代次数N分别为1，2，3，4时各网格内点的数值解如图。
•若规定各网格内点相邻两次迭代值的绝对误差应小于10 －5，得到各内点的电位数值解如图。此时N＝13。
•从结果看电位分布关于y轴有对称性。实际计算可只一半区域，而将网格划分得更细。以得到更理想到数值解。
1 2＋ 3 4 4 o＝h 2 F
二维场的拉普拉斯方程的差分形o＝0
•边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把点函数f(s)的值赋予各边界结点。 3．差分方程的解法 •设将场域划分如图. •边界上的值分别为 f1,………f16。 •在各内点上作出差分，泊松方程变成下列差分方程组
3 1 x o 2h 上式用o点的中心差商代替该点的偏导数。
步距越小，误差越小。
2 2 x 同理