直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理

直线与圆锥曲线的位置关系

知识梳理

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定

(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2

＋bx ＋c ＝0.

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 2．圆锥曲线的弦长

设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2

|x 2－x 1|＝1＋k

2

（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝

1＋1

k

2|y 2－y 1|＝

1＋

1

k

2

（y 1＋y 2）2－4y 1y 2，

|x 2－x 1|＝

||a ∆，|y 2－y 1|＝|

|a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解． (1)点差法

设而不求，借用中点公式即可求得斜率．

(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0

a 2y 0；

在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0

a 2y 0

；

在抛物线y 2

＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0

.

典型例题

题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用

例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2

＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条

变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 2

9－y

2

4＝1相交，则k 的取值范围是________．

题型二 中点弦问题

例2 过椭圆x 2

16＋y

2

4

＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．

变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________． 题型三 弦长问题

例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2

＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．

课堂练习

1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．

2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2

169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．

3. 已知椭圆x 2

＋2y 2

＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．

4．(四川文)过双曲线x 2

－y 2

3＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．

5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐

标为(1，－1)，则E 的方程为________．

课下作业

1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2

＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．

2．已知双曲线x 2

－y 2

4＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．

3．已知直线l 过抛物线y 2

＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．

4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．

5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2

－y 2

＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．

6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2

－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．

7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2

a 2＋y

2

b

2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．

8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29

－

x ·|x |

4

＝1交点的个数为________．

9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2

＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．

10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2

m

＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．

11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．

12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2.

(1)求椭圆M 的方程；

(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．

13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为2

2

.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.