高中数学数列解题方法总结

高中数学数列解题方法总结

类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）−−−−

→解决方法

累加法

例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列

的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥

∴213243113

521

n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪

-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=

类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−

→解决方法

累积法 例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

解析：1232

112321

n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=

⋅⋅⋅⋅ 123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-2

1

n =

+ 又1a 也满足上式；21

n a n ∴=+ *

()n N ∈

类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−

→解决方法

待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1

B

t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。

例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。 解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+

1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。

1231n n a -∴=⋅-

类型四：()

110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0

可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组

A B C

αββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n n

a a α++是以21a a α+为首项， A β

为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。

例4、 在数列{}n a 中， 12a =，24a =，且1132n n n a a a +-=-()2n ≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：令11(),(2)n n n n a a a a n αβα+-+=+≥

得方程组3

2

βααβ-=⎧⎨

⋅=-⎩ 解得1,2;αβ=-=

()()1122n n n n a a a a n +-∴-=-≥

则数列{}1n n a a +-是以21a a -为首项，以2为公比的等比数列

11222n n n n a a -+∴-=⨯=

212

323

43112222n n n a a a a a a a a ---=⎧⎪-=⎪⎪∴-=⎨⎪

⎪-=⎪⎩ 112(12)2212n n n a a --∴-=

=-- ()*2n n a n N ∴=∈

类型五：)(1n f ka a n n +=+ （0≠k 且1≠k ）

一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。 （1）若b an n f +=)(，则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++

∴

A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1

∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2

)1(1-+-=k a k b B

∴}{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列

∴ 1

1)(-⋅++=++n n k B A a B An a

∴

B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 （2）若n q n f =)(（≠q 0，1），则等式两边同时除以1

+n q 得

q q a q k q

a n n n n 1

1

1+•=++ 令n

n n q a C =

则q C q k C n

n 1

1+=+ ∴}{n C 可归为b ka a n n +=+1型 例6 设在数列{}n a 中， 11a =，()11

2122

n n a a n n -=+-≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：设 n n b a An b =++ ()11

12n n a An B a A n B -∴++=+-+⎡⎤⎣

⎦ 展开后比较得20426

1022

A

A A

B B ⎧+=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+-=⎪⎩ 这时()11462n n n n b b a n -=≥=-+n 2且b

{}n b ∴是以3为首项，以12为公比的等比数列1

132n n b -⎛⎫

∴=⋅ ⎪

⎝⎭

即113462n n a n -⎛⎫

⋅=-+ ⎪

⎝⎭

，1

13462n n a n -⎛⎫

∴=⋅+- ⎪⎝⎭

例7 在数列{}n a 中， 12a =，()1

1222n n n a a n +-=+≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：

()11222n n n a a n +-=+≥