网络系统的最小费用最大流问题

可以得到网络中的一个最大流。
•
用给顶点标号的方法来定义V1*.在标号过程中，有标
号的顶点是V1*中的点，没有标号的点不是V1*中的点。如果
vt有了标号，表示存在一条关于f 的增广链。如果标号过
程无法进行下去，并且vt未被标号，则表示不存在关于f
的增广链。这样，就得到了网络中的一个最大流和最小截
集。
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网络系统的最大流问题
设图D=(V，A，C)，点集S ,T V ,S ∩T=ф中，将 起点在S，终点在T 的所有弧构成的集合，记做（S，T）。
• 定义8.8 设一个网络D=（V，A，C）。如果点集V被剖分 为两个非空集合V1和V1，发点vs∈V1,收点vt∈V1,那么将弧 集（V1,V1）叫做是分离vs和vt的截集。
为标号未检查的点。(考虑前向弧)
2) 如 果 在 弧 （ vj ,vi ） 上 ， fji>0, 那 么 给 vj 标 号 （ -vi , l(vj)）,其中l(vj)=min[l(vi),fji].这时，vj成为标号未检
查点。(考虑后向弧)
于是vi成为标号已检查的点。重复以上步骤，如果所有的标
号都已经检查过，而标号过程无法进行下去，则标号法结束。这时
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网络系统的最大流问题
• 设μ是网络D中连接发点νs和收点vt的一条链。 定义链的方向是从vs到vt，于是链μ上的弧被
分为两类：一是弧的方向与链的方向相同，叫
做前向弧，前向弧的集合记做μ+。二是弧的方
向与链的方向相反，叫做后向弧，后向弧的集
合记做μ-。
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0
网络系统的最大流问题
在下图（图8.23与8.24合并图）中，(v4,v3)是饱和 弧，其他的弧是非饱和弧，并且都是非零流弧。
而未检查的点，其他都是未标号点。一般地，取一个标号
未检查点vi，对一切未标号点vj：
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网络系统的最大流问题
1) 如 果 在 弧 （ vi ,vj ） 上 ， fij<cij , 那 么 给 vj 标 号 （vi ,l(vj)），其中l(vj)=min[l(vi),cij -fij].这时，vj 成
净输入量）
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网络系统的最大流问题
• 任意一个网络上的可行流总是存在的。例如零流v(f )=0,
就是满足以上条件的可行流。 • 网络系统中最大流问题就是在给定的网络上寻求一个可行
流f ,使其流量v(f )达到最大值。 • 设流f={fij}是网络D上的一个可行流，我们把D中fij=cij的
弧叫做饱和弧，fij<cij的弧叫做非饱和弧，fij>0的弧为非 零流弧，fij=0的弧叫做零流弧。
网络D上的流，是指定义在弧集合A上的一个函数 f={f(vi,vj)}={fij} f(vi,vj)=fij叫做弧在(vi,vj)上的流量。
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网络系统的最大流问题
网络系统上流的特点： (1)发点的总流出量和收点的总流入量必相等； (2)每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于零； (3)每一个弧上的流量不能超过它的最大通过能力（即
网络中的最小费用最大流问题
一、引言 二、基本概念与基本定理 三、寻求最大流的标号法 四、最小费用最大流问题
网络系统的最大流问题
一、引言 在许多实际的网络系统中都存在着流量和
最大流问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城 市给排水系统的水流问题等等。而网络系统流最 大流问题是图与网络流理论中十分重要的最优化 问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的 作用。
• 定义8.9 设一个截集（V1, V1），将截集（V1,V1）中所有 的 弧 的 容 量 的 和 叫 做 截 集 的 截 量 ， 记 做 c(V1,V1), 亦 即 c(V1,V1)=∑cij , (vi ,vj)∈(V1,V1)
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网络系统的最大流问题
•
下面的事实是显然的：一个网络D 中，任何一个可行
(Cij,fij)
（3,3）
Vs
（1,1） （1,1）
（5,3）
（3,0）
Vt
（5,1）
V1
（2,1）
（2,2）
V3
图8.21 20
网络系统的最大流问题
例8.8 求图8.21的网络最大流，弧旁的权数表示（cij,fij）。
解：用标号法。 1.标号过程。
（1）首先给vs标号（0，+∞）
（2）检查vs :在弧(vs,v2)上,fs2=cs2=3,不具备标号条件。在
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网络系统的最大流问题
2.调整过程。
从vt 开始，按照标号点的第一个标号，用反向追踪的方法， 找出一条从vs 到vt 的增广链μ={vs ,v1,v2 ,v3,vt }，如图8.22中双箭
线所示。
不难看出, μ+={(vs ,v1),(v3 ,vt)}, μ-={(v2 ,v1),(v3 ,v2)},
网络系统的最小费用最大流问题
取θ=l(vt)=1，在μ上调整f，得到 在μ+上， fs1+θ=1+1=2
在μ+上 ， f3t+θ=1+1=2
在μ-上 ， f21 -θ=1-1=0
在μ-上 ， f32 -θ=1-1=0
其他的fij 不变。
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网络系统的最大流问题
• 调整后的可行流f *，如图8.23所示，再对这个可行流重新进行标号
流f的流量v(f )都小于或等于这个网络中任何一个截集
(V1,V1)的截量。并且，如果网络上的一个可行流f*和网络 中的一个截集（V1*,V1*），满足条件v*(f*)=c(V1*,V1*),那 么f *一定是D上的最大流，而（V1*,V1*）一定是D的所有的
截集中截量最小的一个（即最小截集）。
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网络系统的最大流问题
增广链，如果链μ 满足以下条件： 1．在弧（vi ,vj）∈μ+上，有0≤fij<cij,即μ+中
的每一条弧是非饱和弧。
2．在弧（vi ,vj）∈μ-上，有0<fij ≤cij ,即μ-
中的每一条弧是非零流弧。
例如在图8.24中，链μ=（vs ,v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,vt）就是一条增广链。
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网络系统的最大流问题
令f'ij =
fij +θ，当(vi ,vj)∈μ+
fij -θ， 当(vi ,vj)∈μ-
fij ,
当(vi ,vj)|μ
• 再去掉所有的标号，对新的可行流f'={f'ij },重新 进行标号过程，直到找到网络D 的最大流为止。
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网络系统的最大流问题
V2 （4,3）
V4
过程，寻找增广链：
首先给vs标号（0，+∞），检查vs ,给v1标号（vs ,3）。检 查v1,在弧（v1,v3）上，f13=c13 ,弧（v2 ,v1）上，f21=0,均不符合标 号过程(1)的条件。因此标号过程无法进行下去，不存在从VS到Vt的增
广链，算法结束。
这 时 ， 网 络 中 的 可 行 流 f* 即 是 最 大 流 ， 最 大 流 的 流 量 V(f*)=fs1+fs2=5.同时，也找出D的最小截集（V1，V1），其中V1是标号的
的可行流就是最大流。但是，如果vt被标上号，表示得到一条增广
链μ，转入下一步调整过程。
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网络系统的最大流问题
2. 调整过程
首先按照vt和其他点的第一个标号，利用“反向追 踪”的办法，找出增广链 。例如，令vt的第一个标号是vk， 则弧（vk,vt）在μ上。再看vk的第一个标号，若是vi，则 弧(vi,vk)都在μ上。依次类推，直到vs为止。这时，所找 出的弧就成为网络D的一条增广链μ。取调整量θ= l(vt), 即vt的第二个标号，
集合，V1是未标号的集合。
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网络系统的最大流问题
V V 2
（4,3）
4
(Cij,fij)
（3,3）
Vs
(0，+∞)
（5,2）
（1,0） （1,0）
V1
（2,2）
(vs,3)
（5,3）
百度文库
（3,0）
Vt
（2,1）
V3
图8.23
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网络系统的最小费用最大流问题
四、最小费用最大流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问题 的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经常要考 虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输网络流，即 要考虑网络流的货运量最大，又要考虑总费用最小。 最小费用最大流问题就是要解决这一类问题。
的增广链 。如果没有增广链，那么f一定是最大流。如有增广链，
那么可以按照定理8.9，不断改进和增大可行流f的流量，最终可以
得到网络中的一个最大流。 14
网络系统的最大流问题
三、寻求最大流的标号法
•
从网络中的一个可行流f 出发（如果D中没有f，可
以令f 是零流），运用标号法，经过标号过程和调整过程，
v1 （5,2）
v3
fij
（10,5）
（3,2）
（11,6）
vs
（4,1）
（3,3）
vt
（8,3）
（5,1）
（17,2）
v2
v （6,3）
4
如图，在链（vs ,v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,vt)中， μ+={(vs ,v1),(v1,v2),(v2 ,v3),(v4 ,vt)}, μ-={(v4 ,v3)}.
2
网络系统的最大流问题
v1
5
v3
Cij
10
3
11
vs
4
5
8
3
vt
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v2
6
v4
图8.23是一个网络
每一个弧旁边的权就是对应的容量（即最大通过能力）。要求指
定一个运输方案，使得从vs到vt的货运量最大，这是寻求网络系
统的最大流问题。 3
网络系统的最大流问题
二、基本概念与基本定理
定义8.5 设一个赋权有向图D =（V,A）,在v中指定一个发 点（或源点）vs和一个收点（或汇点）vt,其他的点叫做中 间点。对于D中的每一个弧（vi,vj）∈A,都有一个权 cij 叫做弧的容量。我们把这样的图 D 叫做一个网络系统，简 称网络，记做D =（V，A，C）。
（ 5 ） 在 v3,v4 中 任 意 选 一 个 ， 比 如 v3, 在 弧 （ v3,vt ） 上 ， f3t=1<c3t=2, 故 给 vt 标 号 (v3,l(vt)), 其 中 l(vt)=min[l(v3),(c3tf3t)]=min[1,1]=1.因为vt 被标上号，根据标号法，转入调整过程。
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网络系统的最小费用最大流问题
•
设 一 个 网 络 D= （ V ， A ， C ） ， 对 于 每 一 个 弧
(vi,vj)∈A,给定一个单位流量的费用bij ≥0，网络系
统的最小费用最大流问题，是指要寻求一个最大流f，
使流的总费用b(f )= ∑
bijfij 达到最小。
（Vi,Vj）∈A
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网络系统的最大流问题
（ 4 ） 检 查 v2 : 在 弧 （ v2,v4 ） 上 ， f24=3<c24=4, 故 给 v4 标 号 （v2 ,l(v4)），其中l(v4)=min[l(v2),(c24 -f24)]=min[1,1]=1.
在弧（v3 ,v2)上，f32=1>0,故给v3标号（-v2，l(v3)),其 中l(v3)=min[l(v2),f32]=min[1,1]=1。
网络系统的最大流问题
• 定理8.8 网络中的一个可行流f*是最大流的充要条 件是不存在关于f * 的增广链。
• 定理8.9 在一个网络D 中，最大流的流量等于分离 vs 和vt 的最小截集的截量。
•
定理8.8实际上提供了一个寻求网络系统最大流的方法：如
果网络D 中有一个可行流f，只要判断网络是否存在关于可行流f
网络系统的最大流问题
1．标号过程 在标号过程中，网络中的点或者是标号点（分为已
检查和未检查两种）或者是未标号点。每个标号点的标号 包含两部分：第一个标号表示这个标号是从哪一点得到的， 以便找出增广链。第二个标号是为了用来确定增广链上的
调整量θ。 标号过程开始，先给vs标号（0，+∞）。这时，vs是标号
弧 (vs,v1) 上 ,fs1=1<cs1=5, 故 给 v1 标 号 (vs , l(v1)), 其 中 l(v1)=min[l(vs),(cs1-fs1)]=min[+∞,5-1]=4.
（3）检查v1 :在弧（v1,v3）上,f13=c13=2,不具备标号条件.在
弧 (v2,v1) 上 ,f21=1>0, 故 给 v2 标 号 （ -v1, l(v2) ） , 其 中 l(v2)=min[l(v1),f21]=min[4,1]=1.
容量）。
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网络系统的最大流问题
定义8.6 网络上的一个流 f 叫做可行流，如果 f 满足以下条
件
（1）容量限制条件：对每一弧（vi ,vj）∈A,有 0 fij cij.
（2）平衡条件：
对于发点vs，有∑fsj -∑fjs =v (f ) 对于收点vt，有∑ftj -∑fjt =-v(f ) 对于中间点，有∑fij -∑fji =0 式中v(f )叫做这个可行流的流量，即发点的净输出量（或收点的