2011数学一模答案

合集下载

2011一模数学参考答案

2011年网上阅卷数学试题参考答案一、选择题: 1、A 2、C 3、B 4、C 5、C 6、C 7、B 8、C二、填空题：9. x=-1 10. 5.8×10-5 11. 4 12. 5 13．220 14. 35 15．4 3. 16. 5213 17. 382-π 18. x<-1或x>3 三、解答题:19．原式=3-2+1-2×1/2 (6分） =1 （8分） 20.原式=3(1)11()111(2)x x x x x x x x x +++-+⨯+++- （2分） =23111(2)x x x x x x x --+++⨯+- =2411(2)x x x x x -+⨯+- （4分） =2x x+- （6分）当3x =时，原式=53- （8分） 21.（1）16=a ，16.0=b（2）（3）抽取的学生中，成绩合格的男生人数共有3441614=++人，所以该校成绩合格以上的男生人数为3405005034=⨯人．22. 解：或列表如下：红黑白黑红白黑红白黑红一个球另一个球∴P(摸出两个球颜色相同)=39=13．（注：列表或画树状图正确6分，写出结果正确2分）23.(1)如图，延长AD 交FE 的延长线于N ，∵∠NDE=∠FCE=90°,∠DEN=∠FEC,又DE=EC,∴△NDE ≌△FCE ． (3分) ∴DN=CF ．又AB ∥FN,AN ∥BF ，∴四边形ABFN 是平行四边形． ∴BF=AD+DN=AD+FC ． (5分)(2)解:∵AB ∥EF,∴∠1=∠BEF,∵∠1=∠2,∴∠2=∠BEF ．∴EF=BF. (8分)∵EF=AD+CF=AD+(BC-BF)，∴EF+BF=AD+BC=1+7=8，∴EF=4． (10分)24．作DF ⊥AE ，则CD=EF ，DF=CE=30米. (2分）在Rt △BEC 中，tan ,BE BCE EC∠= ∴030tan10300.18 5.4,BE =⨯≈⨯= (5分）在Rt △DAF 中，tan ,AF ADF DF ∠=∴030tan 303017.3,AF =⨯== (8分） ∴EF=AB+BE-AF=30+5.4-17.3=18.1≈18, ∴CD=18米. 答：略. (10分）25.(1)BF 与⊙O 相切. (2分）连接OB 、OA 或连接BD.证切线. (6分）(2)求出直径为203. (10分） 26. 解：（1）图略（3分）， )02(1，-B . （5分）（2）图略（8分）路径长为2231802390ππ=⋅⋅. （10分） 27.（1）由题意得：y=20+2(40-x)=-2x+100．∴y 与x 的函数关系式为y=-2x+100； (4分）（2）z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x 2+136x-1800，∴z 与x 的函数关系式为z=-2x 2+136x-1800； (8分）（3）令z=480，得480=-2x 2+136x-1800，整理得x 2-68x+1140=0，解得x 1=30，x 2=38， (10分）将二次函数解析式变形为z=-2(x-34)2+512画出大致图象如图，（略） (11分）由图象可知，要使月销售利润不低于480万元，产品的销售单价应在30元到38元之间（即30≤x≤38）． (12分）28. (1)∵点B 坐标为（3，m ）(m ＞0)，∴OC=3，BC=m.∵AC=BC ，∴AC=m ，∴点A(3-m,0). (2分）由题意得：AO=0D, ∴点D(0,m-3). (3分）(2)设以P （1，0）为顶点的抛物线的解析式为y=k(x-1)2(k ≠0)， (4分）∵抛物线过点B 、D ，∴⎩⎨⎧m=k(3-1)2m-3=k(0-1)2 解得：⎩⎨⎧m=4k=1.(6分）所以二次函数的解析式为y=(x-1)2.即：y=x 2-2x+1. (7分） (3)连接QC ，作QE ⊥x 轴于点E ，，QF ⊥BC 于点F ，∵点B(3，m)在抛物线y=x 2-2x+1，则m=4，∴AC=BC=4. (8分） ∵点Q(x ，y)在抛物线y=x 2-2x+1，则QE= y=x 2-2x+1，QF=3-x. (9分）设四边形ABQP 的面积为s, 则S=S △ABC -S △QCP -S △QCB =12×4×4-12×2×(x 2-2x+1)-12×4(3-x)=-x 2+4x+1=-(x-2)2+5. (11分） ∴当x=2时，四边形ABQP 的面积最大. (12分）。

B0区2011届高三一模数学(理)试卷及答案

11 yA已知平面向量a ,b 的夹角为60 ° a = (J3,1), | b |=1，则| a+ 2b |=1. 2. 丰台区2011年高三年级第二学期统一练习(一)学(理科)2011.3 、本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 2已知集合 U =R , A={xx -5x • 6 _ 0}，那么 e u A 二 (A) {x x <2或 x a 3} (C) {x x 兰2 或 x>3} (、一 x-6的展开式中常数项是(A)-160(B) -20(B) {x 2 x 3} (D) {x 2 乞 x 空 3} (C) 20 (D) 1603.(A) 2(B 八7(C) 2、3(D) 2 74. 设等差数列：aj 的公差d 丰0,-4d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，贝U k -5. (A) 3 或-1 设(B) 3 或 1(C) 3(D) 1m , n 是两条不同的直线， a,Y 是三个不同的平面.有下列四个命题：若 m ■-,若〉—,其中正确命题的序号是 (A)①③(B)①②(C)③④(D)②③'3x6.已知函数f(x)=[In(x+1), x>0. x 兰0 2'若f(2-x )>f(x)，则实数x 的取值范围是(A) (」：，T) -(2, ：：)(B)(」：，-2) -(1, ：：)(C) (-1,2)(D) (一2,1)7•从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M (x, y)，则点M 取自阴影部分的概率为2y 二 x1i二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分. 9.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角a 的终边与单位圆交于点 A ,4点A 的纵坐标为一，则cos a_.5 —10 .双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为_,渐近线方程为11. 已知圆 M : x 2+y 2-2x-4y+1=0,则圆心 M 到直线x一4t 3,( t 为参数) ly=3t+1,的距离为12. 如图所示，过O O 外一点A 作一条直线与O O 交于C, D 两点，AB 切。

2011年考研数一模拟1答案

数一模考1答案一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）A 二、填空题（9）13a =（10）29(4)π- （11）1. （12）3712（13））3 （14）1- 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）求极限lim x x x x x →+∞++【解】：lim x x x x x →+∞++lim)11limlim211x x x x x x x x x x xx x x xx x x xx xx++-=+++++===++++++根式有理化（16）求微分方程⎩⎨⎧===+1)0(',2)0()'(''22y y yy y 的解【解】：令dy dp py p y =='''，则得到 y p dydpp=+22 令u p =2, 得到y u dydu=+为关于y 的一阶线性方程. 且1)]0('[)0(0|22====y p x u解得 yce y u -+-=1所以 2)0(121)0(0|1--+-=+-===ce ce y x uy , 0=c .于是 1-=y u , 1-±=y pdx y dy±=-1, 112c x y +±=-, 2211c x y +±=- 2)0(=y , 得到121=c , 得解 121+±=-x y （17）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足23()()()2axf x f x x a =+为常数，又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围的图形S 的面积值为2，求函数(),y f x =并问a 为何值时，图形S x 绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. 【解】由题设知，当0,x =/时2()()32xf x f x ax '-= 即()3,2d f x adx x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 根据此并由()0f x x =在点处的连续性，得23(),[0,1]2axf x Cx x =+∈又由已知条件得1232100312()()|222Cax Cx dx ax x =+=+⎰C a 2121+=即 .4a C -=因此.)4(23)(2x a ax x f -+=旋转体的体积为21122003()()(4)2V a f x dx ax a x dx ππ⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰π)31631301(2++=a a 11()()0153V a a π'=+=得 5.a =-又因 1()015V a ''=>故5a =-时，旋转体体积最小.（18）就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-sin 2π在开区间(0,)2π内根的个数，并证明你的结论. 【解】设()sin ,2f x x x π=-则()f x 在]2,0[π上连续.由()1cos 0,2f x x π'=-=得()f x 在)2,0(π内的02cos x arc π=唯一的驻点由于当0(0,),()0,x x f x '∈<时0(,)2x x π∈当时，()0.f x '>所以()f x 在],0[0x 上单调减少，在]2,[0πx 上单调增加，因此0x 是()f x 在(0,)2π内的唯一的最小值点，最小值为000()sin .2y f x x x π==-又因，故在(0,)()2f x π内的取值范围为).0,[0y00(,0),0k y k y k ∉<≥故当即或时，原方程在)2,0(π内没有根；当0k y =时，原方程在)2,0(π内有唯一根0x ；当)0,(0y k ∈时，原方程在00(0,)(,)2x x π和内各恰有一根，即原方程在)2,0(π内恰有两个不同的根。

2011年高考数学一模答案

乌鲁木齐地区2011年高三年级第一次诊断性测验文理科数学试题参考答案及评分标准1．选（A ）【解析】由图可知，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,2,3A =，{}3,5,6B =∴{}0,4,5,6,7,8U A =ð，(){}5,6U A B = ð，故选A ．2．选（A ）【解析】∵图象关于坐标原点对称的函数是奇函数，()33x x -=-，3y x =是奇函数；而33xx -≠-，33x x -≠，3x y =是非奇非偶函数；函数3log y x =中0x >，3log y x =是非奇非偶函数；()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数．3．选（A ）【解析】∵22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴1z i =- ，故选A ． 4．选（B ）【解析】①②正确，对于③，l 与m 还可能是异面直线；对于④m 与β还可能斜交，平行或m β⊂，③、④错误.5．选（B ）【解析】依题意知，对任意12,,x x x ∈R ，都有()()()1211f x f x f x -≤≤≤≤ 令2x π=-，12f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而()111f x -≤≤-，∴1()1f x =-，12,2x k k ππ=-∈Z 同理22,2x n n ππ=+∈Z ，则122()1x x k n π-≥--π≥，选B ．6．选（D ）【解析】由题意知()11012312n n n q q q q q q--=⋅⋅⋅⋅= ，即()1102n n -=解得5n =，故选D ．7．(文科)选（A ）【解析】由2320x x +->得2230x x --<，解之，得13x -<< (理科)选（C ）【解析】∵()411rr n rr n T C x -+=- ，依题意有451n -⨯=，∴21n =2143r -=-，6r =，于是，展开式中含31x的项是第7项. 8．选（C ）【解析】由框图可知，该程序的功能是计算54s n =+++ 到首次不少于14的n 的值，即(),s n 由以下运算得：()()()0,505,5154,41→+-→+-()93,31→+-()122,21→+-，所以输出1n =，故选C .9．选（D ）【解析】由已知得sin A B ==，算得()sin sin C A B =+=，而sin sin a A b B ==，又1a b -=，故1a b ==，又由sin sin c aC A=，解得c =D ．10．选（C ）【解析】的八面体，且该八面体可看作两个相同的四棱锥组成的，不妨在各棱长为2的正四棱锥1O —2345O O O O 中求该球的半径．球心O 为正方形2345O O O O 的中心，半径为OF ，F 一定在正三角形134O O O 中线1O E 上，在1Rt OOE ∆中，111,244O O OE O E ===，由11OO OE OF O E ⋅=⋅，解得OF =，∴该球的表面积243S OF ππ=⋅=，故选C ．11．选（A ）【解析】画出2x y -=与ln y x =的图象，不妨设01a b <<<，易知2ln aa -=-，2ln b b -=，所以()ln ln 220b a b a ----=-<，即()ln 0ab <，于是01ab <<12．选（B ）【解析】设()()()1122,,,,,1A x y B x y P t -，则()11,1PA PB x t y ⋅=-+()22,1x t y ⋅-+()()2121212121x x t x x t y y y y =-++++++ (*)曲线24x y =在其上点()()1122,,,A x y B x y 处的切线方程分别为()112x x y y =+…①()222x x y y =+…②，解由①②组成的方程组，得1212,24x x x xx y +==，又依题意知1212,124x x x x t +==-，∴12122,4x x t x x +==-，又2114x y =，2224x y = ∴()21212214x x y y ==，()222212122121224824444x x x x x x t y y t +-++=+===+将它们代入(*)式得22421210PA PB t t t t ⋅=--⋅+++++= ，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解析】由已知得12b a =，∴214b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故22254a b a +=，即2254c a =，∴e =14．(文科) 填1-．【解析】sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，4π⎛⎫- ⎪⎝⎭4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π，即1-≤sin cos x x + ∴sin cos x x +的最小值为1-． (理科)填①②③．【解析】∵()cos sin sin xF x tdt tx πππ--===⎰，其中,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴①②③正确；而()()s i n c o s2s i n 4F x f x x x x π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦4π⎛⎫- ⎪⎝⎭4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π，即1-≤()()F x f x + ∴()()F x f x +的最小值为1-．15．填25．【解析】∵在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.1， ∴0.12000b=，解得200b =，设分层抽样的方法在全校抽取n 名学生参加社区服务，则有102000200200n =+，解得50n =，50151025x =--=．16．填[]0,8b ∈．【解析】如图，若()4,250,30,3x y x y x y x b ⎧⎫-+≥-≥≥-+⎨⎬⎩⎭(){}22,25x y x y ⊆+≤，则直线43y x b =-+，在直线43y x =-与直线483y x =-+之间平行移动，故08b ≤≤．三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）由已知得60,120αβ=︒=︒，则60βα-=︒，则sin()βα-=. …6分（Ⅱ） OC OA OB λμ=+ ，222222cos60OC OA OB OA OB λμλμ∴=++︒221λμλμ∴=++≤2222223()22λμλμλμ+++=+，22λμ+≥23．由题意知当且仅当3λμ==时，22λμ+取最小值23． …12分18．（本小题满分12分）（文科）（Ⅰ）取AD 的中点O ，连结,NO BO ，N 是SA 的中点，O 是AD 的中点，//NO SD ∴. 又SD ⊥ 底面ABCD ，NO ∴⊥底面ABCD ，MC ⊂平面ABCD ，NO MC ∴⊥, 又ABCD 是正方形，M 、O 分别是AB 、AD 的中点，由平面几何知识可得：BO MC ⊥,NO BO O = ,MC ∴⊥平面NOB ,NB ⊂平面NOB ，∴NB MC ⊥…6分（Ⅱ）取线段SD 的中点P 即可.设SC 的中点为Q ，连结,PQ MQ ，12PQ CD ∴=且PQ 1//2CD ；又1//2AM CD 且12AM CD =； //PQ AM ∴且PQ AM =APQM ∴是平行四边形， //AP MQ ∴，AP ⊄平面SMC ，MQ ⊂平面SMC ，//AP ∴平面SMC . …12分（理科）（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0)D A B ，(0,1,0),(0,0,2)C S ，111,,0,,0,122M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111,,0,,1,1,22CM BN ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111101022CM BN ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⨯-+-⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CM BN ∴⊥=，即NB MC ⊥. …6分（Ⅱ）易知平面SAD 的一个法向量是(0,1,0)DC =,设平面SMC 的法向量为(,,)a b c =n ，又 11,,2,(0,1,2)2SM SC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,120220a b c b c ⎧+-=⎪∴⎨⎪-=⎩，令1c =，则2,1b a == (1,2,1)∴=n ，于是cos ,DC DC DC ⋅<>===n n n. …12分 19．（本小题满分12分）（文科）（Ⅰ）甲、乙两人可能被排在1,2号；1,3号；1,4号；1,5号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4 号；3,5号；或4,5号共10种情形．其中甲、乙两人至少有一个被安排在偶数号的情形有：安排在1,2号；1,4号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4号；或4,5号共7种情形；甲、乙两人的演出序号被安排在不相邻的演出序号有：1,3号；1,4号；1,5号；2,4号；2,5号；或3,5号共6种情形．记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”为事件A ，则7()10P A =； …6分（Ⅱ）记“甲、乙两人的演出序号不相邻”为事件B ，由（Ⅰ）的分析可知63()105P B ==． …12分（理科）ξ可能的取值为1,2,3,4,5，则12161(1)3C P C ξ===；114211654(2)15C C P C C ξ===；1114321116541(3)5C C C P C C C ξ===； 11114322111165432(4)15C C C C P C C C C ξ===； 111114*********654321(5)15C C C C C P C C C C C ξ===. ξ的分布列为：1412171234531551553E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …12分20．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵()ln f x x ax =-，∴()f x 的定义域为()0,+∞，()11axf x a x x-'=-= 当a ≤0时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上无极值点；当0a >时，()0f x '=，∴()10,x a=∈+∞， ()f x '、()f x 随的变化情况如下表：从上表可以看出，当0a >时，()f x 有唯一的极大值点x a=； …6分（Ⅱ）当0a >时，()f x 在1x a =处取得极大值1ln 1f a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，此极大值也是最大值．要使()f x ≤1-恒成立，只需1ln 1f a a⎛⎫=--⎪⎝⎭≤1-∴a ≥1， ∴a 的取值范围是[)1,+∞．…12分 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）设点M 的坐标为(,)x y ，因为点A的坐标是(0)，所以直线AM 的斜率为AM k x =≠，同理，直线BM 的斜率为BM k x =≠,1(5x =-≠，整理得M 的轨迹E 的方程为：221(5x y x +=≠ …6分（Ⅱ）（文科）设直线l 的斜率为k ，方程为 (2)y k x =+=解得：1k =±.①当1k =时，直线l 为：2y x =+，代入2215x y +=得：2620150x x ++=，解得：1,2106x -±=，1,226y ±=，于是，可以得到C ，D 两点的坐标，不妨设1122(,),(,)C x y D x y故CD ==3； ②当1k =-时，同理可得：CD =若k 不存在，则原点到直线l 的距离为2，与已知矛盾．综上：CD = …12分（理科）设对角线的方程为：(2y k x =+），依题意知k 存在，且0k ≠．由22(2),1.5y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：222(15)40k y ky k +--=，得1,2y =．又依题意知，等腰梯形的中位线的长即为12215y y k -===+，tan k θ=124sin sin y y θθ-===+≤=当且仅当14sin .sin θθ=即30θ= 或150 时等号成立． …12分 22．（本小题满分10分）（Ⅰ）∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴ADB ACB ∠=∠，CDF ABC ∠=∠ 又∵AB AC =，∴ACB ABC ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠，而ADB EDF ∠=∠∴EDF CDF ∠=∠ …6分（Ⅱ）∵ADB ACB ∠=∠，ACB ABC ∠=∠∴ADB ABC ∠=∠，又BAD FAB ∠=∠ ∴ABD ∆∽AFB ∆ ∴AB AD AF AB=，即2A B A F A D =⋅ …10分 23．（本小题满分10分）根据题意，设直线l的参数方程为：cos sin x t y t θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩化成普通方程得：224x y +=，将cos sin x t y t θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入224x y +=得：222cos )sin 4t t θθ+=，化简整理得：260t t θ++=，12t t θ+=-，126t t = 由题意得： 2AB MA MB =，而222121212()()4ABt t t t t t =-=+-，126MA MB t t ==即：240cos 246θ-=，解得：cos 2θ=±，1sin 2θ∴=，tan 3k θ==±所求直线l的方程为：y x =，或y x =+． …10分 24．（本小题满分10分）令()21f x x x =++-，∵()()()()21221321211x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩ ∴()min 3f x =由题意，223a a -<，解得，13a -<<，于是{}13a a a ∈-<< …10分以上各题的其它解法，限于篇幅，从略.请相应评分.。

北京市西城区2011年高三一模试卷 (理数)

北京市西城区2011年高三一模试卷数学（理科） 2011. 4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，则A B 等于（A ）(2,5)（B ）[2,5)（C ）{2,3,4}（D ）{3,4,5}2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A ）2xy =（B ）2y x x =-（C ）2y x = （D ）3y x =3. 设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则（A ）a b c <<（B ）b c a <<（C ）c a b <<（D ）b a c <<4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos 2θ等于（A ）31-（B ）32-（C ）32 （D ）31 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）76.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称（B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成中心对称（C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数（D ）两个函数的最小正周期相同7．已知曲线1:(0)C y x x=>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么（A ）312,,2x x x 成等差数列（B ）312,,2x x x 成等比数列（C ）132,,x x x 成等差数列（D ）132,,x x x 成等比数列8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是（A ）①②（B ）②③（C ）③（D ）③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为_____. 10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA =4PC =，圆心O 到BC圆O 的半径为_____. 11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =______.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.OABDC正(主)视图俯视图侧(左)视图13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n nn n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .17.（本小题满分13分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.A BCD F E18. （本小题满分14分）已知函数2(1)()a x f x x-=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）19. （本小题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于,A B 两点，其中点A 在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（Ⅱ）若1FA AP λ= ,2BF FA λ= ,1211[,]42λλ∈，求2λ的取值范围.20.（本小题满分13分）定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++- 为有限项数列{}n a 的波动强度.（Ⅰ）当(1)n n a =-时，求12100(,,,)a a a τ ；（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤；（Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.北京市西城区2011年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2 10. 2 11. 415±12. 12 13. 60，48 14.62；1或5 注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ……………………2分因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . …………………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o30=A . ……………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， ……………………7分所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. ……………………9分因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ……………………11分所以10≤ac ，（当a c == ……………………12分所以ABC ∆面积的最大值为3. ……………………13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233p p -⨯⨯-=，分所以1134p -=，14p =. ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯= . ……………………11分X ……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………13分17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，从而AC ⊥平面BDE . ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=所以3=DBED. 由3=AD可知DE =AF ………………6分则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，所以(0,BF =-，(3,0,EF =-， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z ==n . …………………8分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-，所以cos ,CA CA CA ⋅〈〉===n n n . …………………9分因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为1313. ………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .则(3,,0)AM t t =-，因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， …………………11分即4(3)20t t -+=，解得2=t . …………………12分此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. …………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x-'=，（0x ≠）， ……………3分在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. ……………8分（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分解()0g x '=，得1ea x -=，所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. ……………10分当1e1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………11分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………12分当11<e <e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-，所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………13分e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =.19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知(,0)2pF ,设11(,)A x y ，则2112y px =，圆心坐标为112(,)42x p y +，圆心到y 轴的距离为124x p+， …………………2分圆的半径为1121()2224FAx p px +=⨯--=， …………………4分所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分（Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ= ,2BF FA λ=,得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………6分所以1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分由221y y λ=-，得222221y y λ=.又2112y px =，2222y px =，所以 2221x x λ=. …………………10分代入221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2px λλλ+=+，整理得122p x λ=， …………………12分代入1112p x x λ-=-，得122222p p pλλλ-=-，所以12211λλλ=-， …………………13分因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2pAB x my =+，将2px my =+代入22y px =，得2220y pmy p --=，所以212y y p =-（*）， …………………6分由1FA AP λ= ，2BF FA λ=，得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………7分所以，1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分将122y y λ-=代入（*）式，得2212p y λ=， …………………10分所以2122p px λ=，122p x λ=. …………………12分代入1112p x x λ-=-，得12211λλλ=-. …………………13分因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：12100122399100(,,,)||||||a a a a a a a a a τ=-+-++- ………………1分222299198=+++=⨯= . ………………3分（Ⅱ）证明：因为(,,,)||||||a b c d a b b c c d τ=-+-+-，(,,,)||||||a c b d a c c b b d τ=-+-+-，所以(,,,)(,,,)||||||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+-----. ……………4分因为()()0a b b c -->，所以a b c >>，或a b c <<. 若a b c >>，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+--+--||||c b c d b d =-+---当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =-+---=-<，当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =-+---=-≤，当d b c >>时，上式()0c b d c d b =-+---=，即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ-≤. ……………………6分若a b c <<，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d b a c d c a b d ττ-=-+--+--，||||0b c c d b d =-+---≤.（同前）所以，当()()0a b b c -->时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立. …………………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.（ⅰ）证明23a a >.若231a a a >>，则由引理知交换32,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若2a a a >>３１，则1212212121(,,)||||||||(,,)a a a a a a a a a a a a a a ττ=-+->-+-=３３３３，与已知矛盾.所以，321a a a >>. ………………………9分（ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤- ，证明1i i a a +>.若i i i a a a >>+-11，则由引理知交换1,+i i a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若i i i a a a >>-+11，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ--+--+=，与已知矛盾.所以，1+>i i a a . …………………11分（ⅲ）设121n a a a ->>> ，证明1n n a a ->. 若1n n a a ->，考查数列121,,,,n n a a a a - ，则由前面推理可得122n n n a a a a -->>>> ，与121n a a a ->>> 矛盾.所以，1n n a a ->. …………………12分综上，得证.同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列. ……………………13分。

2011大连高考数学一模试题及答案

辽宁省大连市2011年高三第一次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

．第I 卷一．选择题1．下列命题中的假命题是（）A ．0lg ,=∈∃x R x B ．1tan =∈∃x R x ，　C ．0,2>∈∀x R x D ．03,>∈∀x R x 2．i 为虚数单位，则复数ii z 1-=的虚部是（） A ．i 2 B ．i 2-C ．2D ．－23．如果等比数列{}n a 中，2476543=⋅⋅⋅⋅a a a a a ，那么=5a （） A ．2B ．2C ．2±D ．2±4．已知平面向量()(),2,4,3,1-=-=b a　若b a -λ与a 垂直，则实数=λ（）A ．－1B ．1C ．－2D ．25．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自原参加2010年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆，如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是（）A ．51 B ．52 C ．53D ．546．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为（）A ．314B ．326+C ．3212+D ．3216+7．函数()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤<≤-+=20cos 2022πx x x x x f 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为（） A ．3 B ．27C ．4D ．298．要得到函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的导函数()x f '的图像，只需将()x f 的图像 A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（橫坐标不变） B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的21倍（橫坐标不变）C ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（橫坐标不变）D ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的21倍（橫坐标不变）9．函数()x f 在定义域R 内可导，若()()x f x f -=2，且当()1,∞-∈x 时，()()0'1<-x f x ，设()0f a =，()3,21f c f b =⎪⎭⎫⎝⎛=，则（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<10．已知等差数列{}n a 满足9,352==a a ，若数列{}n b 满足n b n a b b ==+11,3，则{}n b 的通项公式为=n b （）A ．12-nB ．12+nC ．121-+n D ．221+-n11．已知双曲线116922=-y x ，过其右焦点F 的直线交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则PQMF 的值为（）A ．35 B ．65C ．45D ．8512．已知定义域为D 的函数()x f ，苦对任意D x ∈，存在正数M ，都有()M x f ≤成立，则称函数()x f 是定义域D 上的“有界函数”。

2011考研数一真题答案及详细解析

所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
00) e一1 sinx
解由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值，则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�

2011年考研数学一真题及答案解析

y(2) 0 ， y(3) y(4) 0 ， y(3) 0, y(4) 0 ，故（3，0）是一拐点。
n

2、
设数列
an
单调减少，lim n
an
0 ，Sn

ak n
k 1
1,2

无界，则幂级数 an x 1n
n1

0
1

1
3

0
，所以 1 , 3
2011 年考研数一真题及答案解析
一、选择题
1、曲线 y x 1x 22 x 33 x 44 的拐点是（）
（A）（1，0）（B）（2，0）（C）（3，0）（D）（4，0）
【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
散。可知收敛域为0, 2 。
3、设函数 f (x) 具有二阶连续导数，且 f (x) 0 ， f (0) 0 ，则函数 z f (x)ln f ( y)
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）
（A） f (0) 1，f (0) 0 (B) f (0) 1，f (0) 0
的收敛域为（
）
（A） (-1，1] （B） [-1，1) （C） [0，2) （D）(0，2]
【答案】 C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，
综合性较强。
n

【解析】 Sn ak n 1,2 无界，说明幂级数 an x 1n 的收敛半径 R 1；
所以有 f (0) 1，f (0) 0

2011中考北京东城一模数学答案

北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）13．（本小题满分5分）解:4sin 45(3)4︒+-π+-=22422⨯-+1+4 ………………………………………4分=5． …………………………………… 5分 14．（本小题满分5分）解：由①得：x ≤2. --------1分由②得：x-3＞-4,x＞-1. --------2分∴原不等式组的解集为 -1＜x ≤2. --------3分 ∴原不等式组的整数解为 0,1,2. --------5分 15．（本小题满分5分） 1)1213(22-÷-+-x x xx x x=xx x x x x x1]12)1)(1(3[2-⨯--+---------2分=213-+x x=12+-x x . --------3分当13-=x 时，3133312-=-=+-x x .--------5分16．（本小题满分5分）证明：∵AC 是∠DAE 的平分线， ∴∠1=∠2. -------1分又∵AD ∥EC ，∴∠2=∠3. ------2分 ∴∠1=∠3.∴AE=CE. --------3分在△ABE 和△CBE 中，， ∠AEB=∠CEB ，，∴△ABE ≌△CBE. --------4分 ∴AB=CB. ------5分17．（本小题满分5分）解：设小明家2月份用气x 立方米，则去年12月份用气(x +10) 立方米．-------1分根据题意，得%251096109690⨯+=+-x x x ． ----------------3分解这个方程，得x ＝30． ---------------4分经检验，x ＝30是所列方程的根．答：小明家2月份用气30立方米． -----------------5分 18．（本小题满分5分）证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D.又AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF.---------2分（2）在Rt △ABE 中，sin ∠BAE=53，AE=4,可求 AB=5. ---------3分又∵∠BAE=∠DAF ，ABCDE2 31ABCDEF∴ sin ∠DAF=sin ∠BAE=53.在Rt △ADF 中，AF=524, sin ∠DAF =53,可求DF=518-------4分∵ CD=AB=5. ∴CF=5-518=57． …………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.（本小题满分5分）解：（1）0.6；36；------------2分（2）72°；补全图如下：------------4分（3）1500×0.6＝900.答：学生中“比较了解”的人数约为900人 ------------5分 20.（本小题满分5分）（1）证明：在⊙O 中，OD ⊥AB ，CB ⊥AB ，∴AM ＝MB ，OD ∥BC . …………………1分 ∴AD ＝DC . ……………2分（2）∵DE 为⊙O 切线，∴OD ⊥DE ……………3分∴四边形MBED 为矩形.∴DE ∥AB. ……………4分 ∴MB=DE =2，M D=BE ＝EC =1.连接OB.在R t △OBM 中，OB 2=OM 2+BM 2. 解得 OB=25 . …………………5分21．（本小题满分5分）解：（1）∵点A (1,6),B (a ,3)在反比例函数y =xk 2的图象上，∴ k 2=1×6=6. --------1分 ∴ a ×3=6，a =2.60%比较了解不太了解2%18%MOA BCDE∴B (2，3).由点A (1,6),B (2,3)也在直线y=k 1x+b 上，得⎩⎨⎧=+=+,32,611b k b k 解得k 1=-3.∴k 1=-3， k 2=6. -----------------2分 (2) 设点P 的坐标为（m,n ）. 依题意，得21×3（m +2+m -2）=18，m =6. -----------------3分∴ C （6,3），E （6,0）. ∵ 点P 在反比例函数y =x6的图象上，∴ n =1. ------------------4分 ∴PE ：PC =1：2 . ------------------5分22．（本小题满分5分）解：（1）设AD =x ，由题意得，BG=x －2，CG=x-3. 在Rt △BCG 中，由勾股定理可得 222(2)(3)5x x -+-=. 解得 6x =. --------------2分（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EAF=60°，∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4. 连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形. ∴ EF=4.∴ ∠FEG=∠EFG= 30°. ∴ EG=FG.在△EFG中，可求，E G =∴△EFG 的周长＝. --------------5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）GF EDCBA解：由方程(m -1)x 2-(2m -1)x +2+xm=0可得)1(22)1(4)12()12(2-⨯-⨯--±--=m m m m x =)1(2)32(12)1(2)32()12(2-+±-=--±-m m m m m m111-=m x ，.22=x∵21,x x 均为正整数，m 也是整数， ∴m =2. ----------3分（2）由（1）知x 2-3x +2+x2=0.∴x 2-3x +2= -x2.画出函数y = x 2-3x +2，y = -x2的图象，---------6分由图象可知，两个函数图象的交点个数是1. ---------7分24. （本小题满分7分）（1）△EPF 为等边三角形. --------------1分（2）设BP=x ，则CP ＝6－x.由题意可 △BEP28x .△CFP的面积为2)2x -.△ABC的面积为. 设四边形AEPF 的面积为y. ∴y =-28x 2)2x --=2-+-.自变量x 的取值范围为3＜x ＜6. --------------4分（3）可证△EBP ∽△PCF.∴B P B EC FC P=.设BP=x ，则 (6)8x x -=.解得 124,2x x ==.∴ PE 的长为4或 --------------7分25．（本小题满分8分）解：（1）依题意，可知 C(0,8),则B(4,0) 将A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax 2+bx +8，⎩⎨⎧=++=+-.08416,0824b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a配方得y，顶点D （1,9）. ---------3分（2）假设满足条件的点存在，依题意设，由求得直线的解析式为，它与轴的夹角为．过点P 作PN ⊥y 轴于点N.依题意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°. ∵PN=2，∴ON=332或23．∴存在满足条件的点，的坐标为（2，332 ）和(2，23)．-----------6分（3）由上求得．当抛物线向上平移时，可设解析式为．当时，．当时，．或．由题意可得m 的范围为．∴ 抛物线最多可向上平移72个单位． -----------8分228y x x ∴=-++2(1)9x =--+P (2)P t ，(08)(19)C D ，，，C D 8y x =+x 45 P P (80)(412)E F -，，，228(0)y x x m m =-+++>8x =-72y m =-+4x =y m =720m ∴-+≤12m ≤072m ∴<≤。

平谷区2011一模试卷答案

平谷区2010～2011学年度第二学期初三第一次统一练习数学试卷参考答案及评分参考 2011.4二、填空题（本题共16分，每小题4分） 13．解：︒+⎪⎭⎫⎝⎛----30tan 6213220111=3362321⨯+-- …………………………………………………………………….4分 =1- ………………………………………………………………………………………5分14．解：由3(2)8x x --≤ 得，1x -≥………………………………………………….1 分由1522x x -> 得，2x <……………………………………………………. 2分 12x -<∴≤. ……………………………………………………………………4分∴ 不等式组的整数解是.1,0,1- . ………….. ……………………………………………5分15．证明：AC DF ∥，ACE DFB ∴∠=∠.………………………………1分 ∴ACB DFE ∠=∠． …………………………….2分又BF EC =，BF CF EC CF ∴-=-，即BC EF =．………..3分在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,EF BC DFE ACB D A …………………………………………………………………4分 ABC DEF ∴△≌△．………………………………………………………………………5分16．解：4)1)(1()1(22--+--x x x=4)1()12(222---+-x x x …………………………….…………………………...2分=142--x x …………………………………………….……………………………..4分∴ 原式=1)4(2--x x =213=-…………………….………………………………5分ABC FED17．解：设服装厂原来每天加工x 套演出服．……………………………………….1分根据题意，得603006092x x-+=． ………………………………………………….2分解得 20x =．………………………………………………………………………3分经检验，20x =是原方程的根．………………………………………………………..4分答：服装厂原来每天加工20套演出服．……………………………………………….5分 18．解：（1）(54)，……………………………………………………………………….2分（2）设(4)P x x -+，，连接OP PC ，，过P 作PE OC ⊥于E ，PN OA ⊥于N ，……………………………………3分因为222(4)OP x x =+-+， 222(4)(10)PC x x =-++-， 222OP PC OC +=，所以22222(4)(4)(10)10x x x x +-++-++-=. 2980x x -+=，11x =，28x =．………………………………………………………………….4分所以P 坐标(13)，或(84)-，．………………………………………………………....5分四、解答题（本题共20分，第19题5分，20题5分，第21题6分，第22题4分） 19．解：作DF ⊥BC 于F ,EG ⊥BC 于G. ……………………………………………1分 ∵∠A =90°，AD ∥BC ∴ 四边形ABFD 是矩形. ∵ BC =5,AD :BC =2:5.∴ AD=BF=2. ………………………………………..2分 ∴ FC=3.在Rt △DFC 中， ∵ ∠C =45°， ∴ DC=23.…………………………………………3分在Rt △BEC 中， ∴ EC =225……………………………………………….……………………………....4分 ∴ DE =2222523=-……………………………………………………………….5分20．解：（1）证明：连结OM ，则OM OB =． ∴ 12∠=∠．∵ BM 平分ABC ∠．∴ 13∠=∠．∴ 23∠=∠． ∴ OM BC ∥． ∴ AMO AEB ∠=∠．…………………………..1分在ABC △中，∵ AB AC =，AE 是角平分线，∴ AE BC ⊥．………………………………………………………………………..….2分 ∴ 90AEB ∠=°． ∴ 90AMO ∠=°． ∴ OM AE ⊥．∴ AE 与O ⊙相切．………………………………………………………………………3分（2）解：在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线，∴12BE BC ABC C =∠=∠，． ∵14cos 3BC C ==，，∴2=BE ,.31cos =∠ABC在ABE △中，90AEB ∠=°，∴6cos BEAB ABC==∠．………………………………………………………………….4分设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-． ∵OM BC ∥，∴AOM ABE △∽△．∴ OM AO BE AB =． ∴ 626r r -=．解得32r =．∴ O ⊙的半径为32．………………………………………………………….5分21．解：（1）总话费125元………….1分（2）72°……………………..2分（3）基本话费50；………….3分长途话费45；……………4分短信费 25………………...5分（4）……………………………6分OGE C MF 12 3P N M H O22．解：（1）(2分) （2）（画图正确给1分）（2）图2（图案设计不唯一）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=OD=OC ．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE x =，则30ED x =-，15DH =．由BE=OD ，得22223015(30)x x +=+-，22515604x ∴==，22153030.2314BE ⎛⎫∴=+≈< ⎪⎝⎭，即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． ············································· 4分或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得31BE =，H 是CD 的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则22313061AE =-3061DE =∴ 318.2615)61-(3022<≈+=DO ，如此装三个这个转发装置，能达到预设要求．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）把(10)，，和(30)-，分别代入 )0a (23bx ax y 2≠-+=解方程组，得 .1b ,21a ==………………1分∴ 抛物线解析式为23212-+=x x y …...2分∵ 反比例函数x k=1y 的图象经过点（1，2），∴ k =2. ∴ x2y 1= ……………….…...3分(2)正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象 ……………………….4分由图象可知，这两个相邻的正整数为1与2. ………………………………………5分 (3)由函数图象或函数性质可知：当2＜x ＜3时，对y=23212-+x x ，y 随着x 的增大而增大，对y 2=xk（k ＞0），y 2随着x 的增大而减小.因为A （x 0,y 0）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，所以当x 0=2时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，得y 2＞y. 即2k ＞2322212-+⨯， A D CB图1 P QM N解得k ＞5. …………………………………………………………………………6分同理，当x 0=3时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，得y ＞y 2，即2333212-+⨯＞3k，解得k ＜18. 所以k 的取值范围为5＜k ＜18. ………………………………………………7分 24．解：（1）正确画出图形………………………………………….…………..1分EF EB =． ……………………………………………2分证明：如图（1），在直线m 上截取AM AB =，连结ME ． BC kAB =，1k =，BC AB ∴=．90ABC ∠=，45CAB ACB ∴∠=∠=.m n ∥，45MAE ACB CAB ∴∠=∠=∠=，90FAB ∠=．AE AE =，MAE BAE ∴△≌△． ···························· 3分 EM EB ∴=，AME ABE ∠=∠．……………………………4分90BEF ABC ∠=∠=，180FAB BEF ∴∠+∠=． 180ABE EFA ∴∠+∠=．又180AME EMF ∠+∠=，EMF EFA ∴∠=∠．EM EF ∴=.EF EB ∴=．…………………….………………………………..5分（2）1EF EB k=．说明：如图(2)，过点E 作EM m ⊥，EN AB ⊥，垂足为M N ，．．m n ∥，90ABC ∠=，90MAB ∴∠=． ∴四边形MENA 为矩形．ME NA ∴=，90MEN ∠=．90BEF ABC ∠=∠=,MEF NEB ∴∠=∠．MEF NEB ∴△∽△． ···················································································· 6分 ME EF EN EB ∴=．AN EF EN EB∴=．在Rt ANE △和Rt ABC △中，tan EN BCBAC k AN AB∠===， 1EF EB k∴=． ………………………………………………………………………………7分图(2)A B CMENmn F F MnmCBAE图（1）25．解：（1）∵ 抛物线k k x k kx y ++++=22)2(32经过坐标原点,∴ k k +2=0. 解得 1,021-==k k .∵ 0≠k ，∴ 1-=k ∴ x x y 322+-=…1分∴ ()3,3B. ………………………….2分（2）令0=y ，得x x 322+-=0，解得 32,021==x x . ∴ ()0,32A ………..3分 ∴点A 关于y 轴的对称点A '的坐标为()0,32-. 联结B A '，直线B A '与y 轴的交点即为所求点P.可求得直线B A '的解析式：233+=x y . ∴ ()2,0P ……………………………4分（3）到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点有四个．如图，由勾股定理得4===AC PA PC ，所以△P AC 为等边三角形．易证x 轴所在直线平分∠P AC ，BP 是△P AC 的一个外角的平分线．作∠PCA 的平分线，交x 轴于1M 点，交过A 点的平行线于y 轴的直线于2M 点，作△P AC 的∠PCA 相邻外角的平分线，交2AM 于3M 点，反向延长C 3M 交x 轴于4M 点．可得点1234M M M M ，，，就是到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点．可证△AP 2M 、△AC 3M 、 △PC 4M 均为等边三角形．可求得：①332331==OP OM ，所以点M 1的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,332；…………5分 ②42==AM AP ，所以点M 2的坐标为()4,32；………………………………....6分 ③点M 3与点M 2关于x 轴对称，所以点M 3的坐标为()4,32-；………………..…..7分 ④点4M 与点A 关于y 轴对称，所以点4M 的坐标为()0,32-．综上所述，到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点的坐标分别为谢谢大家。

2011考研数学一真题及答案解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分）设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)．【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<．故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=．所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4．【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+，故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+．因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根．当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=．令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++，即(),0x R g x '∈>．又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >．当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞，所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点；当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++，亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑．先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭．当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭，故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====．令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．（23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑；求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n．方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。

2011年九年级第一次模拟考试答案

2011年九年级第一次模拟考试数学试题参考答案及评分说明说明：1．各校在阅卷过程中，如考生还有其它正确解法，可参照评分标准按步骤酌情给分．2．坚持每题评阅到底的原则，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．3．解答右端所注分数，表示正确做到这一步应得的累加分数．只给整数分数．一、选择题（每小题2分，共24分）二、填空题（每小题3分，共18分）13．－1/3；14．5； 15．1/3； 16．x=5，y=1； 17．4л；18．243三、解答题（共78分）19．解：去分母：方程两边都乘以x(x+3)得：x+3=5 x…………………………………………………………………………4分移项合并得：4x=3 ……………………………………………………………………5分系数化1得：x=3/4 ……………………………………………………………………6分经检验：x=3/4 是原方程的根，………………………………………………………7分所以原方程的根是x=3/4.………………………………………………………………8分20．解：（1）先将等腰Rt△ABC向上平移4个单位，再向右平移6个单位后，可使点A平移到点O的位置. ……………………………………………………………………………2分图（略）……………………………………………………………………………3分（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°………………………………………………………………………4分又∵⊙O的半径为2 ，∴S扇形=（45л×22）/360 …………………………………………………………5分 =1/2л……………………………………………………………………………6分（3）图（略）………………………………………………………………………………8分21．解：（1）“3点朝上”的频率为：1/10 ………………………………………………………1分“5点朝上”的频率为：1/3；………………………………………………………2分（2）小明的说法不正确，因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近.小强的说法也不正确，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次. …………………………………………………………………………………………6分（3）开始……………8分 ∴P=1/3…………………………………………………………………………………………9分22．解：（1）将A （1，4）代入函数k y x 中，k =4，所以y =4/x ………………………1分（2）∵S △ABD =1/2BD ·AE =1/2m （4－n ） =4，……………………………………………2分 B （m ，n ）在函数y =4/x 的图象上，所以mn =4， ………………………………3分 ∴m =3，n =4/3 ， ………………………………………………………………………4分即：点B （3，4/3）………………………………………………………………………5分（3）设直线AB 的解析式为：y =kx +b∵直线AB 经过A （1，4），B （3，4/3）∴ ………………………………………………………………………6分解得：k =－4/3，b =16/3……………………………………………………………………7分 ∴直线AB 的解析式为：y =－4/3x +13/6…………………………………………………8分（4）10/3 ……………………………………………………………………………………9分23.解：（1）路线1：l 12=AC 2=25+π2； ……………………………………………………………1分路线2：l 22=（AB +BC ）2=49． ………………………………………………………2分 ∵l 12＜l 22，∴l 1＜l 2（填＞或＜）， ………………………………………………………3分 ∴选择路线1较短． ………………………………………………………………………4分（2）l 12=AC 2=AB 2+ 2=h 2+（πr ）2， …………………………………………………5分 l 22=（AB+BC ）2=（h+2r ）2， …………………………………………………………6分 l 12－l 22=h 2+（πr ）2－（h +2r ）2=r （π2r －4r －4h ）=r [（π2－4）r －4h ]；r 恒大于0，只需看后面的式子即可．……………………………………………………7分当时，l 12=l 22；当r ＞时，l 12＞l 22；当r ＜时，l 12＜l 22．……10分24．（1）同意． ………………………………………………………………………………1分连接EF ， …………………………………………………………………………………2分 ∵∠EGF =∠D =90°，EG =AE =ED ，EF =EF ．∴Rt △EGF ≌Rt △EDF …………………………………………………………………3分 ∴GF =DF …………………………………………………………………………………4分 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 k +b =43k +b =4/3（2）由（1）知，GF =DF ．设DF = x ，BC =y ，则有GF = x ，AD =y ．∵DC =2DF ，∴CF =x ，DC = AB = BG =2x ，∴BF =BG +GF =3x ． …………………………………………………………………………5分在Rt △BCF 中，BC 2+CF 2=BF 2 ，即y 2+x 2=(3x )2 ．…………………………………………6分.2AD y y AB x∴=∴== …………………………………………………………7分（3）由（1）知，GF DF =．设DF x BC y ==，，则有.GF x AD y ==，DC n DF = ·，DC AB BG nx ∴===．(1)1CF n x BF BG GF n x ∴=-=+=+，（）． …………………………………………8分在Rt BCF △中，222BC CF BF +=，即222[1][(1)]y n x n x +-=+（）． …………9分AD y yAB nx n ∴=∴==⎝． ……………………………………………10分 25．解: (1)在△ACD 是中，∵∠OAC =60°，OC =CA ，∴△ACO 是等边三角形， ……………………………………………………………1分 ∴∠AOC =60°， ……………………………………………………………………2分（2）∵CP 与⊙O 相切，OC 是半径，∴CP ⊥OC ， …………………………………………………………………………3分 ∴∠P =90°－∠AOC =30°， ………………………………………………………4分 ∴PO =2CD =8， ……………………………………………………………………5分（3）由等积三角形的判定方法知，需先确定M 的运动位置，再求弧长，①当点M 运动到点C 关于直径AB 的对称点M 1时，连结AM 1，OM 1，易得S △M 1AO = S △CAO ，∠AOM 1=60°， ……………………6分 ∴弧AM 1=4/3л ……………………………………………………………………7分 ②当点M 运动到点C 关于圆心O 的对称点M 2时，连结AM 2，OM 2，易得S △M 2AO = S △CAO ，∠AOM 2=120°， …………………8分 ∴弧AM 2=8/3л ………………………………………………………………………9分 ③当点M 运动到点C 关于直径AB 的对称点M 13时，连结AM 3，OM 3，易得S △M 3AO = S △CAO ，∠BOM 3=60°， ……………………10分 ∴弧AM 2M 3=16/3л …………………………………………………………………11分所以，动点M 经过的弧长为：4/3л，8/3л，16/3л. ……………………………………12分26．解：（1）∵y =ax 2＋x ＋c 的图象经过A （－2，0），C （0，3）.∴c =3，a =－1/4∴所求解析式为：y =－1/4x 2＋x ＋3 …………………………………………1分（2）（6，0） …………………………………………………………………………2分（3）在Rt △AOC 中，∵AO =2，OC =3∴AC=根号13 ………………………………………………………………………………3分① 当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（－2－根号13）；…………………4分②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（根号13－2）；……………………5分③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；……………………………6分④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），在Rt△P4OC中，设P4O=x，则(x+2)2=x2+32解得：x=5/4∴P4（5/4，0）；………………………………………………………………………7分(4) 如图,设Q点坐标为(x，y) ，因为点Q在y=－1/4x2＋x＋3 上，即：Q点坐标为(x，－1/4x2＋x＋3)…………………………………………………8分连接OQ，S四边形ABQC= S△AOC+ S△OQC+ S△OBQ=3+3/2x+3(－1/4x2＋x＋3)=－3/4x2＋3/2x＋12…………………………∵a＜0，∴S四边形ABQC最大值=75/4，……………………11分Q点坐标为（3，15/4）…………………………12分。

2011年北京市西城区数学一模试题及答案

北京市西城区2011年初三一模试卷数学录入 by iC 2011.051.2-的相反数为( ) A. 2B. 2-C.21D. 21-2.上海世博是我国第一次举办的综合类世界博览会。

据统计自2010年5月1日开幕至5月31月结束，累计参观人数约为8 030 000人。

将8 030 000用科学记数法表示应为( )A. 410803⨯B. 5103.80⨯C. 61003.8⨯D. 710803.0⨯3.以方程组⎩⎨⎧-=+-=12x y x y 的解为坐标点（x ，y ）在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.右图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最小是( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 85.有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是( )325-=-- 3233=+ 325a a a =- 826a a a =⋅A.21B.41 C.61 D.81 6.某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 7，7B. 8，5.7C. 7，5.7D. 8，67.如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠60A ，︒=∠30B ，若6==CD AD ，则AB 的长等于( ) A. 9B. 12C. 336+D. 188.点A 在半径为3的⊙O 内，3=OA ，P 为⊙O 上一点，当OPA ∠取最大值时，P A 的长等于( )A.23B.6C.23 D. 329.分解因式：=+-y xy y x 962_________________.10.甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小方从路灯甲走到距路灯乙底部4米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部。

全国2011年高考全国数学试卷1及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试1数学(理科)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1) 复数212ii +-的共轭复数是 (A) 35i - (B) 35i (C) i - (D) i(2) 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是(A)y=x 2(B)y=|x|+1(C)y=-x 2+1 (D)y=2-|x|(3) 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 (A ） 120(B) 720 (C) 1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 (B) 12 (C) 23 （D ）34(5) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半周重合，始边在直线y=2x 上，则cos2θ= （A ）45-(B) 35- (C) 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（A ）（B ）（C ）（D ）（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （C ）（B ） 2 （D ）3（8）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （C ） -20 （B ） 20 （D ）40（9）由曲线y ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为（A ）310 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||10,3p a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:||1,3p a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:||10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:||1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,p p （B ）13,p p （C ）23,p p （D ）24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π,且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在(0,)2π单调递减（B ）()f x 在3(,)44ππ单调递减（C ）()f x 在(0,)2π单调递增（D ）()f x 在3(,)44ππ单调递增（12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

数学_2011年某校高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2011年某校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1. 设集合I ={−2, −1, 0, 1, 2}，A ={1, 2}，B ={−2, −1, 1, 2}，则A ∪(C I B)=( )A 1B 1，2C 2D 0，1，22. 函数f(x)=2√3x+12lg(1−x)的定义域是（）A (−13, +∞)B (−13, 1)C (−13,13) D (−∞,−13)3. 若p:|x +1|>2，q:x >2，则¬p 是¬q 成立的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4. 设a >1，函数y =a |x|的图象形状大致是（）A B C D5. 如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A (12+4√3)πB (20+4√3)πC 20πD 28π6. 已知a →=(1, 2)，b →=(3, −1)且a →+b →与a →−λb →互相垂直，则实数的λ值为（）A −611B −116C 611D 116 7. 过点(√3，−2)的直线l 经过圆x 2+y 2−2y =0的圆心，则直线l 的倾斜角大小为（）A 30∘B 60∘C 150∘D 120∘8. 在△ABC 中，已知a =2bcosC ，那么这个三角形一定是（）A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰直角三角形9. f(x)={a x ，(x >1)(4−a2)x +2，(x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A (1, +∞)B [4, 8)C (4, 8)D (1, 8)10. 2008年3月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过2000元的免征个人工资、薪金所得税，超过2000元的部分需征税，设全月总收入金额为x元，前三级税率如下表：级数全月应纳税金额税率当全月总收入不超过4000元时，计算个人所得税的一个算法框图如上所示，则输出①，输出②分别为（）A 0.05x，0.1xB 0.05x，0.1x−225C 0.05x−100，0.1xD 0.05x−100，0.1x−22511. 若不等式组{x−y+5≥0y≥a0≤x≤3表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A a<5B a≥8C a<5或a≥8D 5≤a<812. 对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[−2.2]=−3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log21]+[log22]+[log23]+...+[log264]的值为（）A 21B 76C 264D 642二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13. 已知数列{a n}，其前n项和S n=n2+n+1，则a8+a9+a10+a11+a12=________．14. 函数y=x+√1−2x的值域________．15. 已知tan(α+β)=25,tan(β−π4)=14，则cosα+sinαcosα−sinα的值为________．16. 分别在区间[1, 6]和[2, 4]内任取一实数，依次记为m和n，则m>n的概率为________．三、解答题（本大题共5小题，共计70分）17. 已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2−mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m 的取值范围．18. 已知函数f(x)=lg 1+x 1−x（1）求证：对于f(x)的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f(a)+f(b)=f(a+b 1+ab )；（2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明．19. 为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图．已知前4组的频数从左到右依次是等比数列{a n }的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{b n }的前六项．（1）求等比数列{a n }的通项公式；（2）求等差数列{b n }的通项公式；（3）若规定视力低于5.0的学生属于近视学生，试估计该校新生的近视率μ的大小．20. 一个四棱锥S −ABCD 的底面是边长为a 的正方形，且SA =a ，SB =SD =√2a ．（1）求证：SA ⊥平面ABCD ；（2）若SC 为四棱锥中最长的侧棱，点E 为AB 的中点．求直线SE 与平面SAC 所成角的正弦值．21. 已知向量a →=(sin(ωx +φ)，2)，b →=（1, cos(ωx +φ)），ω>0，0<φ<π4．函数f(x)=(a →+b →)•(a →−b →)，若y =f(x)的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点M(1, 72)． (I)求函数f(x)的表达式；(II)当−1≤x ≤1时，求函数f(x)的单调区间．四、选考题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．本题满分10分．22. 选修4−1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．OE 交AD 于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AC AB =35，求AF DF 的值．23. 选修4−4：几何证明选讲在曲线C 1:{x =1+cosθy =sinθ（θ为参数）上求一点，使它到直线C 2:{x =−2√2+12t y =1−12t（t 为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．24. 选修4−5：不等式选讲已知|x −4|+|3−x|<a（1）若不等式的解集为空集，求a 的范围（2）若不等式有解，求a 的范围．2011年某校高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. B3. A4. A5. C6. C7. D8. C9. B10. D11. D12. C13. 10014. (−∞, 1]15. 32216. 35 17. 解：化简条件得A ={1, 2}，A ∩B =B ⇔B ⊆A ，…根据集合中元素个数集合B 分类讨论，B =φ，B ={1}或{2}，B ={1, 2}当B =φ时，△=m 2−8<0∴ −2√2<m <2√2，…当B ={1}或{2}时，{△=01−m +2=0或4−2m +2=0， ∴ m 无解…当B ={1, 2}时，{1+2=m 1×2=2… ∴ m =3．…综上所述，m =3或−2√2<m <2√2．…18. 解：（1）证明：∵ f(x)=lg 1+x 1−x∴ f(a)+f(b)=lg 1+a 1−a +lg 1+b 1−b =lg(1+a 1−a ×1+b 1−b )=lg 1+a+b+ab 1−a−b+abf(a +b 1+ab )=lg 1+a +b 1+ab 1−a +b 1+ab =lg 1+a +b +ab 1−a −b +ab ∴ 对于f(x)的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f(a)+f(b)=f(a+b 1+ab )；（2）函数f(x)=lg 1+x 1−x 的定义域为(−1, 1)∵ f(−x)=lg 1−x 1+x =lg(1+x 1−x )−1=−lg 1+x 1−x =−f(x)∴ 函数f(x)是奇函数．19. 估计该校新生近视率为91%．20. 证明：（1）∵ SA =a ，SB =SD =√2a ．又∵ 四棱锥S −ABCD 的底面是边长为a 的正方形，由勾股定理可得SA ⊥AB ，SA ⊥AD又∵ AB ∩AD =A∴ SA ⊥平面ABCD ； …．解：（2）作EF ⊥AC 交于 F ，连接SF ，∵ EF ⊂平面ABCD ，SA ⊥平面ABCD∴ EF ⊥SA ，又∵ SA ∩AC =A∴ EF ⊥平面SAC （ 8分）∴ ∠ESF 是直线SE 与平面SAC 所成角．在Rt △ESF 中EF =14BD =√24a ，SE =√52a ∴ sin∠ESF =EF SE =√1010…． 21. 解：(1)f(x)=(a →+b →)•(a →−b →)=a →2−b →2=sin 2(ωx +φ)+4−1−cos 2(ωx +φ)，=−cos(2ωx +2φ)+3由题意得周期T =2π2ω=4，故ω=π4… 又图象过点M(1, 72)，所以72=3−cos(π2+2φ)即sin2φ=12，而0<φ<π4，所以2φ=π6∴ f(x)=3−cos(π2x +π6) (2)当−1≤x ≤1时，−π3≤π2x +π6≤2π3 ∴ 当−π3≤π2x +π6≤0时，即x ∈[−1, −13]时，f(x)是减函数当0≤π2x +π6≤2π3时，即x ∈[−13, 1]时，f(x)是增函数 ∴ 函数f(x)的单调减区间是[−1, −13]，单调增区间是[−13, 1]22. 解：（1）证明：连接OD ，得∠ODA =∠OAD =∠DAC ，…∴ OD // AE ，又AE ⊥DE ，…∴ DE ⊥OD ，又OD 为半径∴ DE 是的⊙O 切线 …（2）过D 作DH ⊥AB 于H ，则有∠DOH =∠CABcos∠DOH =cos∠CAB =AC AB =35，…设OD =5x ，则AB =10x ，OH =3x ，DH =4x ，∴ AH =8x ，AD 2=80x 2，由△AED ∽△ADB ，得AD 2=AE ⋅AB =AE ⋅10x ，∴ AE =8x ，…又由△AEF ∽△DOF ，得AF:DF =AE:OD =85，∴ AF DF =85．… 23. 解：直线C 2化成普通方程是x +y −2√2−1=0 …设所求的点为P(1+cosθ, sinθ)，…则C到直线C2的距离d=√2−1|√2…=|sin(θ+π4)+2|…当θ+π4=3π2时，即θ=5π4时，d取最小值1…此时，点P的坐标是(1−√22, −√22)…24. 解：（1）不等式|x−4|+|3−x|<a的解集为⌀⇔|x−3|+|x−4|<a的解集为⌀．又∵ |x−3|+|x−4|≥|x−3−(x−4)|=1，∴ |x−3|+|x−4|的最小值为1，|x−3|+|x−4|<a的解集为⌀．只须a小于等于|x−3|+|x−4|的最小值即可，a≤1，故a的范围为：(−∞, 1]．（2）若不等式有解，则a的范围为（1）中a的范围的补集．即a的范围为：a>1．。

数学_2011年上海市黄浦区高考数学一模试卷(文理合卷)_(含答案)

2011年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文理合卷）一、选择题（每小题4分，满分16分）1. 函数f(x)=cos 2x −sin 2x(x ∈R)的最小正周期T =( ) A 2π B π C π4D π22. 已知关于x 、y 的二元一次线性方程组的增广矩阵是[13−λ1+λλ22λ]，则该线性方程组有无穷多组解的充要条件是λ=( )A 2B 1或2C 1D 0 3. 给出下列命题：(1)函数y =sinx +√3cosx 的图象可由y =sinx 的图象平移得到；(2) 已知非零向量a →、b →，则向量a →在向量b →的方向上的投影可以是a →⋅b→|b →|；(3)在空间中，若角α的两边分别与角β的两边平行，则α=β；(4)从总体中通过科学抽样得到样本数据x 1、x 2、x 3...x n (n ≥2, n ∈N +)，则数值S =√(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2¯¯¯n−1（x ¯为样本平均值）可作为总体标准差的点估计值．则上述命题正确的序号是[答]( )A (1)、(2)、(4)B (4)C (2)、(3)D (2)、(4) 4. 若数列{a n }满足a 1=2，a n+1=1+a n 1−a n(n ∈N ∗)，则该数列的前2011项的乘积a 1⋅a 2⋅a 3•…•a 2010⋅a 2011=( ) A 3 B −6 C −1 D 235. （文科）若函数y =4x 和y ＝|x −a|的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A a >−4B a ≤−4C a ≤4D a >4二、填空题（每小题4分，满分56分） 6. 函数y =lg(x+1)x的定义域是________．7. 已知函数y =f(x)与函数y =f −1(x)互为反函数，若函数f −1(x)=x−a x+a(x ≠−a, x ∈R)的图象过点(1, 3)，则f(4)=________．8. 已知命题A ：若x >1，则x +4x−1≥5且8−6x −32x ≤2成立．命题A 的逆否命题是________；该逆否命题是________．（填“真命题”或“假命题”）9. 已知全集U ={−2, −1, 0, 1, 2}，集合A ={x|log 2(x 2−12)=−1, x ∈R}，B ={x|4x −3⋅2x +2=0, x ∈R}，则A ∩(C u B)=________． 10. 不等|x|−5|x|+1>−2的解集是________．11. 方程sinx +cosx =−1的解集是________．12. 已知角α的顶点在原点，始边与平面直角坐标系x 轴的正半轴重合，点P(−2, √3)在角α的终边上，则sin(α+π3)=________．13.如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB 1与BC 1所成的角是________（结果用反三角函数值表示）．14.如图所示，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱的长度都为4，点D 是B 1C 1的中点，则异面直线AB 1与A 1D 所成的角是________（结果用反三角函数值表示）． 15. 已知某圆锥体的底面半径r =1，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为2π3的扇形，则该圆锥体的体积是________．16. 已知e 1→、e 2→是两个不共线的平面向量，向量a →=2e 1→−e 2→，b→=e 1→+λe 2→(λ∈R)，若a → // b →，则λ=________．17. （理科）一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为________（用数值作答）．18. （文科）一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌花色各不相同的概率为________（用数值作答）．19. 下面是用区间二分法求方程2sinx +x −1=0在[0, 1]内的一个近似解（误差不超过0.001）的算法框图，如图所示，则判断框内空白处应填入________，才能得到需要的解．20. 在数列{a n}中，如果对任意n∈N+都有a n+2−a n+1a n+1−a n=p（p为常数），则称数列{a n}为“等差比”数列，p叫数列{a n}的“公差比”．现给出如下命题：（1）等差比数列{a n}的公差比p一定不为零；（2）若数列{a n}(n∈N+)是等比数列，则数列{a n}一定是等差比数列；（3）若等比数列{a n}是等差比数列，则等比数列{a n}的公比与公差比相等．则正确命题的序号是________．21. （文科）计算limn→∞C22+C32+C42+⋯+C n2n3=________．22. （理科）若关于x的方程√4−x2−kx+2k=0有2个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．23. 若数列{a n}满足a1=2，a n+1=1+a n1−a n(n∈N+)，则可得该数列的前2011项的乘积a1⋅a2⋅a3...a2010⋅a2011=________．三、解答题（共6小题，满分78分）24. 如图所示，已知三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD点M、N、G、H分别是棱AB、AD、DC、CB的中点．（1）求证M、N、G、H四点共面；（2）已知DC＝1，CB=√2，AD=√6，AB是球M的大圆直径，点C在球面上，求球M的体积V．25. 定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a, b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)=f(b)−f(a)b−a，则称函数y=f(x)是[a, b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x4是[−1, 1]上的平均值函数，0就是它的均值点．（1）判断函数f(x)=−x2+4x在区间[0, 9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；（2）若函数f(x)=−x2+mx+1是区间[−1, 1]上的平均值函数，试确定实数m的取值范围．26. 已知a、b∈R，向量e1→=(x, 1)，e2→=(−1, b−x)，函数f(x)=a−1e1→e2→是偶函数．（1）求b的值；（2）若在函数定义域内总存在区间[m, n](m<n)，使得y=f(x)在区间[m, n]上的函数值组成的集合也是[m, n]，求实数a的取值范围．27. 如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx(A>0, ω>0, x∈[0, 8]的图象，且图象的最高点为S(6, 4√3)．赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定∠MNP=120∘．（1）求实数A和ω的值以及M、P两点之间的距离；（2）连接MP，设∠NPM=θ，y=MN+NP，试求出用θ表示y的解析式；（3）（理科）应如何设计，才能使折线段MNP最长？（文科）求函数y的最大值．28. （理科）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，S n=12a n a n+1(n∈N+)，其中Sn是数列{a n}的前n项的和．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）已知p(≥2)是给定的某个正整数，数列{b n}满足b n=1，b k+1b k =k−pa k+1(k=1, 2, 3…,p−1)，求b k；（3）化简b1+b2+b3+...+b p．29. （文科）在数列{a n}中，如果对任意n∈N+都有a n+2−a n+1a n+1−a n=p（p为非零常数），则称数列{a n}为“等差比”数列，p叫数列{a n}的“公差比”．（1）已知数列{a n}满足a n}=−3⋅2n+5(n∈N+)，判断该数列是否为等差比数列？（2）已知数列{b n}(n∈N+)是等差比数列，且b1=2，b2=4公差比p=2，求数列{b n}的通项公式b n；（3）记S n为（2）中数列{b n}的前n项的和，证明数列{S n}(n∈N+)也是等差比数列，并求出公差比p的值．2011年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文理合卷）答案1. B2. C3. D4. A5. D6. (−1, 0)∪(0, +∞)7. −568. 若x+4x−1<5或8−6x−32x>2，则x≤1成立,真命题9. {−1}10. (−∞, −1)∪(1, +∞)11. {x|x=(2n−1)π或x=2nπ−π2, n∈Z}12. −√211413. acrcos1414. arccos√6415. 2√2π316. −1217. 23442518. 16942519. f(a)⋅f(x0)<020. （1）、（3）21. 1622. k≤023. 324. 连接MH，NG，∵ M、N、G、H分别是棱AB、AD、DC、CB的中点，∴ MH // AC，NG // AC，∴ MH // NG，根据两条平行线可以确定一个平面，∴ ∵ M、N、G、H四点共面．设球半径为R，∵ AB是球M大圆直径，点c在球面上，∴ MA＝MB＝MC＝R，且∠ACB＝90∘，∴ BC⊥AC，∵ AD⊥平面BCD，∴ AD⊥BC，∵ AC∩AD＝A，∴ BC⊥平面ACD，∴ BC⊥CD，∴ BD2＝BC2+CD2＝3，∵ AD=√6，∴ AB2＝3+6＝9，∴ AB＝3，∴ 球半径=32，∴ 球体积V=92π．25. 解：（1）由定义可知，关于x的方程−x2+4x=f(9)−f(0)9−0在(0, 9)内有实数根时，函数f(x)=−x2+4x在区间[0, 9]上是平均值函数．解−x2+4x=f(9)−f(0)9−0⇒x2−4x−5=0，可得x=5，x=−1．又−1∉(0, 9)，∴ x=5，所以函数f(x)=−x2+4x在区间[0, 9]上是平均值函数，5是它的均值点．（2）∵ 函数f(x)=−x2+mx+1是区间[−1, 1]上的平均值函数，∴ 关于x的方程−x2+mx+1=f(1)−f(−1)1−(−1)在(−1, 1)内有实数根．由−x2+mx+1=f(1)−f(−1)1−(−1)⇒x2−mx+m−1=0，解得x=m−1，x=1．又1∉(−1, 1)∴ x=m−1必为均值点，即−1<m−1<1⇒0<m<2．∴ 所求实数m的取值范围是0<m<2．26. 解（1）由已知可得，f(x)=a−1|2x−b|，且函数的定义域为D=(−∞,b2)∪(b2,+∞)．又y=f(x)是偶函数，故定义域D关于原点对称．于是，b=0．又对任意x∈D有f(x)=f(−x)因此所求实数b=0．（2）由（1）可知，f(x)=a−1|2x|(D=(−∞, 0)∪(0, +∞)．考察函数f(x)=a−1|2x|的图象，可知：f(x)在区间(0, +∞)上增函数．f(x)在区间(−∞, 0)上减函数因y =f(x)在区间[m, n]上的函数值组成的集合也是[m, n]，故必有m ，n 同号． ①当0<m <n 时，f(x)在区间[m, n]上是增函数有{a −12m =m a −12n =n ，即方程x =a −12x，也就是2x 2−2ax +1=0有两个不相等的正实数根，因此{2a >0△=4a 2−8>0，解得a >√2．②当m <n <0时，f(x)区间[m, n]上是减函数有{a +12m =na +12n =m ，化简得(m −n)a =0，解得a =0．综上所述，所求实数a 的取值范围a =0或a >√2． 27. 解（1）结合题意和图象，可知{2πω4=6Asin6ω=4√3，解此方程组，得{ω=π12A =4√3，于是y =4√3sin π12xx ∈[0,8]．进一步可得点M 的坐标为{x =8y =4√3sin 8π12=6．所以，MP =√(8−16)2+(6−0)2=10(km)．（2）在△MNP 中，∠MNP =120∘∠NPM =θ，故MN sinθ=NP sin(60∘−θ)=MP sin120∘．又MP =10，因此，y =√3√3∘−θ)(0∘<θ<60∘)．（3）（文）把y =√3√3∘−θ)进一步化为：y =√3∘+θ)(0∘<θ<60∘)．所以，当θ=30∘时y max =√3=20√33(km)．（理）把y =√3+√3∘−θ)进一步化为：y =√3∘+θ)(0∘<θ<60∘)．所以，当θ=30∘时y max =√3=20√33(km)．可以这样设计：连接MP ，分别过点M 、P 在MP 的同一侧作与MP 成30∘角的射线，记两射线的交点为N ，再修建线段NM 和NP ，就可得到满足要求的最长折线段MNP 赛道． 28. 解：（1）∵ s n =12a n ⋅a n+1，(n ∈N ∗)， ∴ s n−1=12a n−1⋅a n ．∴ a n =12a n (a n+1−a n−1)，即a n+1−a n−1=2(n ≥2)．∴ a 2，a 4，a 6，…a 2n 是首项为a 2，公差为2的等差数列； a 1，a 3，…a 2n−1是首项为a 1，公差为2的等差数列．又a 1=1，s 1=12a 1a 2，可得a 2=2．∴ a 2n =2n ，a 2n−1=2n −1(n ∈N ∗)．所以，所求数列的通项公式为：a n =n ．（2）∵ p 是给定的正整数(p ≥2)，b k+1b k=k−p a k+1(k =1, 2, 3,…p −1)，∴ 数列{b k }是项数为p 项的有穷数列． b 1=1，b k+1b k=k−pk+1(k =1, 2, 3,…p −1)，∴ b 2=(−1)p−12，b 3=(−1)2(p−1)(p−2)3⋅2，b 4=(−1)3(p−1)(p−2)(p−3)4⋅3⋅2，…，归纳可得b k =(−1)k−1(p−1)(p−2)(p−3)…(p−k+1)k!(k =1,2,3,…p)．（3）由（2）可知b k =(−1)k−1(p−1)(p−2)(p−3)…(p−k+1)k!(k =1,2,3,…p)，进一步可化为b k =−1p (−1)k C p k(k =1,2,3,…p)．所以，b 1+b 2+b 3+...+b p−1+b p=−1p[(−1)C p 1+(−1)2C p 2+(−1)3C p 3+⋯+(−1)p C p p ]=−1p [C p 0+(−1)C p 1+(−1)2C p 2+(−1)3C p 3+⋯+(−1)p C p p −1]=−1p [(1−1)p −1]=1p ．29. 解：（1）因为数列{a n }满足a n =−3⋅2n +5(n ∈N +)，所以a n+2−a n+1a n+1−a n=−3⋅2n+2+5+3⋅2n+1−5−3⋅2n+1+5+3⋅2n −5=2(n ∈N +)；所以，数列{a n }是等差比数列，且公差比p =2．（2）因为数列{b n }是等差比数列，且公差比p =2，所以，b n+1−b n b n −b n−1=2(n ≥2)，即数列{b n −b n−1}是以(b 2−b 1)为首项，公比为2的等比数列；b n −b n−1=(b 2−b 1)⋅2n−2=2n−1(n ≥2)；于是，b n −b n−1=2n−1，b n−1−b n−2=2n−2，…，b 2−b 1=2；将上述n −1个等式相加，得 b n −b 1=2+22+23+...+2n−1=2(1−2n−1)1−2=2n −2；∴ 数列{b n }的通项公式为b n =2n (n ∈N +)．（3）由（2）可知，s n =b 1+b 2+b 3+...+b n =2+22+23+...+2n =2n+1−2；于是，s n+2−s n+1s n+1−s n=2n+3−2−2n+2+22n+2−2−2n+1+2=2(n ∈N +)；所以，数列{s n}是等差比数列，且公差比为p=2．。

数学_2011年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2011年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，复数1−i 1+i的虚部为（）A −1B 1C iD −i2. 若A ={x ∈R||x|<2}，B ={x ∈R|3x <1}，则A ∩B =( ) A (−2, 2) B (−2, −1) C (0, 2) D (−2, 0)3. 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（）A (2, 0)B (1, 0)C (0, −4)D (−2, 0)4. 图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量a →−b →=( )A e 1+3e 2B −e 1−3e 2C e 1−3e 2D −e 1+3e 2 5. 已知α∈(0, π)，且sinα+cosα=√22，则sinα−cosα的值为（）A −√2B −√62C √2D √62 6. 已知椭圆x 216+y 225=1的焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若连结F 1、F 2、P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是（） A 165B 3C 163D 2537. 若多项式x 10=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+...+a 10(x −1)10，则a 8的值为（） A 10 B 45 C −9 D −458. 已知a 、b 、c 成等差数列，则直线ax −by +c =0被曲线x 2+y 2−2x −2y =0截得的弦长的最小值为（） A √2 B 1 C 2√2 D 29. 已知α,β∈[−π2，π2]，且αsinα−βsinβ>0，则下列结论正确的是（） A α3>β3 B α+β>0 C |α|<|β| D |α|>|β|10. 设x ，y 满足约束条件{x −y +2≥04x −y −4≤0x ≥0y ≥0，若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为6，则log 3(1a +2b )的最小值为（）A 1B 3C 2D 411. 对于非空数集A ，若实数M 满足对任意的a ∈A 恒有a ≤M ，则M 为A 的上界；若A 的所有上界中存在最小值，则称此最小值为A 的上确界，那么下列函数的值域中具有上确界的是（）A y=√x+2B y=(−√3，√2)C y=12x D y=lnx12. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，D和E分别为棱AC、AB上的动点（不包括端点），若C1E⊥B1D，则线段DE长度的取值范围为（）A [√22，√32] B [√33，1) C [√22，1) D [√23，√22]13. 设函数f(x)={x−[x],x≥0f(x+1),x<0，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[−1.2]=−2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx+k(k>0)与函数y=f(x)的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（）A (14，13] B (0,14] C [14，13] D [14，13)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分；共20分．14. 已知直线l1:ax+2y+1=0与直线l2：(3−a)x−y+a=0，若l1⊥l2，则实数a的值为________．15. 在三棱锥P−ABC中，∠ABC=90∘，PB丄平面ABC，AB=BC=2√2，PB=2，则点B到平面PAC的距离是________．16. 用直线y=m和直线y=x将区域x2+y2≤6分成若干块．现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m的取值范围是________．17. 已知△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且满足5a2=c2+b2，BE与CF分别为边AC、AB上的中线，则BE与CF夹角的余弦值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．18. （理科）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosC+(2a+c)cosB=0（1）求内角B的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．19. 如图，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD // AE，且CD=12AE．（1）设CE与平面ABE所成的角为α，AE=k(k>0)，若α∈[π6，π4]，求k的取值范围；（2）在（1）和条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．20. 已知函数f(x)=lnx+x2−ax(a∈R)．（I）求函数f(x)的单调区间；（II）若f(x)≤2x2，求a的取值范围．21. 在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有A 、B 、C 三道必答题，分值依次为20分、30分、50分．竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为零分；否则各题得分之和记为必答题总分．已知某选手回答A 、B 、C 三道题正确的概率分别为12、13、14，且回答各题时相互之间没有影响．（1）若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为50分的概率；（2）若此选手按A 、B 、C 的顺序答题，求其必答题总分ξ的分布列和数学期望． 22. 已知椭圆x 2+y 23=1的上、下顶点分别为A 1和A 2，M(x 1, y)和N(−x 1, y)是椭圆上两个不同的动点．（1）求直线A 1M 与A 2N 交点的轨迹C 的方程；（2）若过点F(0, 2)的动直线z 与曲线C 交于A 、B 两点，AF →=λFB →问在y 轴上是否存在定点E ，使得OF →⊥(EA →−λEB →)？若存在，求出E 点的坐标；若不存在，说明理由． 23. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=(1+1n2)a n +13n−1，n ∈N ∗．(1)求证：当n ≥2且n ∈N ∗时，a n ≥3；(2)求证：a n <e 3，n ∈N ∗(e 为自然对数的底数，参考数据ln3<1.1，ln4<1.4)．2011年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. D3. B4. C5. D6. A7. B8. D9. D 10. A 11. B 12. C 13. D 14. 1或215. √216. (−√3，√3) 17. 0 18. 解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：sinBcosC +(2sinA +sinC)cosB =0，整理得：sinBcosC +cosBsinC =−2sinAcosB ，即sin(B +C)=sinA =−2sinAcosB ， ∵ A 为三角形的内角，即sinA ≠0， ∴ cosB =−12，又B 为三角形的内角，∴ B =2π3；（2）∵ b =2，cosB =−12，∴ 由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得：4=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac ≥4ac −ac =3ac ，（当且仅当a =c 时取等号）， ∴ ac ≤4，∴ S △ABC =12acsinB ≤12×43×√32=√33，则△ABC 面积的最大值为√33．19. 解：（1）如图以C 为坐标原点，CA 、CD 为y 、z 轴，垂直于CA 、CD 的直线CT 为x 轴，建立空间直角坐标系（如图），则设A(0, 1, 0)，D(0,0,k 2)，E(0, 1, k)，B(√32，12，0)．取AB 的中点M ，则M(√34，34，0)，则平面ABE 的一个法向量为CM→=(√34,34,0)，由题意sinα=|CE|→⋅|CM →|˙=34⋅=√32√1+k 2．由α∈[π6，π4]，则12≤sinα=√32√1+k 2≤√22，得√22≤k ≤√2．…6分（2）由（1）知k 最大值为√2，则当k =√2时，设平面BDE 法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BE →=√32x +y2+√22z =0˙取n →=(−√3,−1,√2)，又平面ABC 法向量为m →=(0, 0, 1)，…10分所以cos <n →，m →>=√2√2+3+1=√33，所以平面BDE 与平面ABC 所成角大小arccos √33．…12分． 20. 解：(I)f(x)的定义域为(0, +∞)．…， f′(x)=1x +x 2−a =2x 2−ax+1x(x >0)，设g(x)=2x 2−ax +1，只需讨论g(x)在(0, +∞)上的符号．… （1）若a4≤0，即a ≤0，由g(x)过定点(0, 1)，知g(x)在(0, +∞)上恒正，故f ′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上为增函数．… （2）若a4>0，当a 2−8≤0时，即0<a ≤2√2时，知g(x)≥0（当x =√22时，取“=”），故f ′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上为增函数；…（3）当a 2−8>0，a >2√2时，由2x 2−ax +1=0，得x =a±√a 2−84，当0<x <a−√a 2−84或x >a+√a 2−84时，g ′(x)>0，即f ′(x)>0，当a−√a 2−84<x <a+√a 2−84时，g ′(x)<0，即f ′(x)<0．则f(x)在(a−√a 2−84，a+√a 2−84)上为减函数，在(0,a−√a 2−84)，(a+√a 2−84，+∞)上为增函数．…综上可得：当a ≤2√2时，函数f(x)的单调增区间(0, +∞)；当a >2√2时，函数f(x)的单调增区间为(0,a−√a 2−84)，(a+√a 2−84，+∞)；函数f(x)的单调减区间为(a−√a 2−84，a+√a 2−84)．…（II ）由条件可得lnx +x 2−ax ≤0(x >0)，则当x >0时，a ≥lnx x−x 恒成立，…令ℎ(x)=lnx x−x(x >0)，则ℎ′(x)=1−x 2−lnxx，…方法一：令k(x)=1−x 2−lnx(x >0)，则当x >0时，k′(x)=−2x −1x <0，所以k(x)在(0, +∞)上为减函数．又ℎ′(1)=0，所以在(0, 1)上，ℎ′(x)>0；在(1, +∞)上，ℎ′(x)<0．… 所以ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；在(1, +∞)上为减函数．所以ℎ(x)max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1．…方法二：当0<x <1时，1−x 2>0，−lnx >0，ℎ′(x)>0；当x >1时，1−x 2<0，−lnx <0，ℎ′(x)<0．…所以ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；在(1, +∞)上为减函数．所以ℎ(x)max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1．… 21. 解：（1）记总分得50分为事件D ，记A ，B 答对，C 答错为事件D 1，记A ，B 答错，C 答对为事件D 2，则D =D 1+D 2，且D 1，D 2互斥又P(D 1)=12×13×(1−14)=18，P(D 2)=12×(1−13)×14×A 22A 33=136．所以P(D)=P(D 1+D 2)=P(D 1)+P(D 2)=18+136=1172．所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为1172．（2）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A ，B ，C 三题均答对，则P(ξ=100)=12×13×14=124，同理，P(ξ=80)=(1−12)×13×14=124， P(ξ=70)=12×(1−13)×14=112，P(ξ=50)=12×13×(1−14)=18，P(ξ=30)=(1−12)×13×(1−14)=18，P(ξ=0)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×(1−13)=712，所以，ξ的分布列为所以ξ的数学期望Eξ=100×124+80×124+70×112+50×18+30×18=70322. 解：（1）设直线A 1M 与A 2N 的交点为P(x, y)， ∵ A 1，A 2是椭圆x 2+y 23=1的上、下顶点，∴ A 1(0,√3)，A 2(0,−√3)， A 1M:y −√3=y 1−√3x 1x ，A 2N:y +√3=y 1+√3−x 1x ，两式相乘得y 2−3=y 12−3−x 12x 2 ①．而M(x 1, y 1)在椭圆x 2+y 23=1(x 1≠0)上，∴ x 12+y 123=1，即y 12−3−x 12=3，代入①得y 2−3=3x 2．又当x =0时，不合题意，去掉顶点． ∴ 直线A 1M 与A 2N 的交点的轨迹C 的方程是y 23−x 2=1(x ≠0)；（2）假设存在满足条件的直线，由已知可知其斜率一定存在，设其斜率为k ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，E(0, y 0)，由{y =kx +2y 23−x 2=1，得(k 2−3)x 2+4kx +1=0(k 2≠3)，x 1+x 2=−4k k 2−3，x 1x 2=1k 2−3．AF →=(−x 1,2−y 1)，FB →=(x 2,y 2−2)，∵ AF →=λFB →，∴ −x 1=λx 2， ∵ x 2≠0，∴ λ=−x1x 2，∵ OF →=(0,2)，EA →=(x 1,y 1−y 0)，EB →=(x 2,y 2−y 0)， EA →−λEB →=(x 1−λx 2,y 1−y 0−λy 2+λy 0)，又∵ OF →⊥(EA →−λEB →)，∴ OF →⋅(EA →−λEB →)=0， ∴ 0×(x 1−λx 2)+2×(y 1−y 0−λy 2+λy 0)=0，即y 1−y 0−λy 2+λy 0=0．将y 1=kx 1+2，y 2=kx 2+2，λ=−x1x 2代入上式并整理得2kx 1x 2+2(x 1+x 2)=(x 1+x 2)y 0，当x 1+x 2≠0时，y 0=2kx 1x 2x 1+x 2+2=2k k 2−3−4k k 2−3+2=32，当x 1+x 2=0时，k =0，2kx 1x 2+2(x 1+x 2)=(x 1+x 2)y 0恒成立，在y 轴上存在定点E ，使得OF →⊥(EA →−λEB →)，点E 的坐标为(0,32)． 23. (I)证明：方法一：∵ a 1=1>0，由a n+1=(1+1n 2)a n +13n−1得a 2>0，于是易得a n >0．… 又a n+1−a n =a n n 2+13n−1>0(n ∈N ∗)，即a n+1>a n (n ∈N ∗)又∵ a 2=3，∴ a n ≥a 2=3(n ≥2)．…方法二：数学归纳法(1)当n =2时，a n =a 2=3≥3，命题成立．… (2)假设当n =k(n ≥2)时命题成立，即a k ≥3，当n =k +1时，a k+1=(1+1k 2)a k +13k−1=a k +a k k 2+13k−1>a k ≥3∴ n =k +1时命题成立．…由(1)(2)可知，当n ≥2时，a n ≥3．… (II)证明：由(I)知a n+1=(1+1n2)a n +13n−1≤(1+1n 2)a n +a n 3n−1=(1+1n2+13n−1)a n ，…两边取自然对数得：lna n+1≤lna n +ln(1+1n 2+13n−1)．…令f(x)=ln(1+x)−x(x ≥0)，则当x >0时，f′(x)=11+x −1=−x1+x <0恒成立，∴ f(x)为[0．+∞)上的减函数，∴ f(x)≤f(0)=0∴ ln(1+x)<x 在x >0时恒成立，…lna n+1<lna n +1n 2+13n−1<lna n +1n(n−1)+13n−1=lna n +1n−1−1n +13n−1即lna n+1−lna n<1n−1−1n+13n−1(n≥2)，…故，lna n−lna n−1<1n−2−1n−1+13n−2，lna n−1−lna n−2<1n−3−1n−2+13n−3...lna3−lna2<1−12+13，以上各式相加得：lna n−lna2<1−1n−1+13[1−(13)n−2]1−13<1+12=32，(n≥3)…又∵ a2=3，∴ lna n<32+ln3<3，∴ a n<e3(n≥3)，…又∵ a1=1<e3，a2=3<e3，∴ a n<e3(n∈N∗)．…。

数学_2011年山东省某校高考数学一模试卷(理科)_(含答案)

2011年山东省某校高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. 设全集为R ，集合A ={x|1x ≤1}，则∁R A =( )A {x|0≤x <1}B {x|0<x ≤1}C {x|0<x <1}D {x|x ≥1或x <0} 2. (1+2i2−i )2011=( )A 1B −1C iD −i3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A 4B 5C 6D 74. 已知sinθ=45，sinθ−cosθ>1，则sin2θ=( ) A −2425 B −1225 C −45 D 24255. 定义在R 上的偶函数f(x)在[0, +∞)上递增，f(13)=0，则满足f(log 18x)>0x 的取值范围是（）A (0,12)∪(2,+∞) B (0, +∞) C (0,18)∪(12,2) D (0,12)6. 公差不为零的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6成等比数列，则其公比q 为（） A 1 B 2 C 3 D 47. 某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有（）A 474种B 77种C 462种D 79种8. 已知向量a →=(x −1,2)，b →=(4,y)，若a →⊥b →，则9x +3y 的最小值为（） A 2√3 B 6 C 12 D 3√29. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（） A 12π B 4√3π C 3π D 12√3π 10. 已知双曲线x 2−y 22=1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→⋅MF 2→=0，则点M 到x轴的距离为（） A 43B 53C2√33D √311. 点P 是曲线x 2−y −2ln √x =0上任意一点，则点P 到直线4x +4y +1=0的最小距离是（）A √22(1−ln2) B √22(1+ln2) C √22(12+ln2) D 12(1+ln2)12. 设实数x ，y 满足约束条件{x −y −2≤0x +2y −5≥0y ≤2，则u =2xyx 2+y 2的取值范围是（）A [310，1) B [12，1] C [310，12] D [35，1]二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. 已知(ax −√x)9的展开式中x 3的系数为9，则常数a 的值为________．14. 已知数列{a n }满足a 1=23，且对任意的正整数m ，n 都有a m+n =a m ⋅a n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n =________．15. 不等式|x −1|<1表示的平面区域落在抛物线y 2=4x 内的图形的面积是________． 16. 下列命题中：（1）α=2kπ+π3(k ∈Z)是tanα=√3的充分不必要条件；（2）函数f(x)=|2cosx −1|的最小正周期是π；（3）△ABC 中，若cosAcosB >sinAsinB ，则△ABC 为钝角三角形；（4）若a +b =0，则函数y =asinx −bcosx 的图象的一条对称轴方程为x =π4；其中是真命题的为________．三、解答题（共6小题，满分74分）17. 已知函数f(x)=sin2x +acos 2x （a ∈R ，a 为常数），且π4是函数y =f(x)的零点．（1）求a 的值，并求函数f(x)的最小正周期；（2）若x ∈[0, π2]，求函数f(x)的值域，并写出f(x)取得最大值时x 的值．18. 某考生参加2011年大学自主招生考试，面试时从两道数学题，一道物理题，一道化学题中任选两道回答，该考生答对每一道数学题、物理题、化学题的概率依次为0.9，0.8，0.7，（1）求该考生恰好抽到两道数学题并都答对的概率；（2）求该考生在这次面试中答对试题个数X 的分布列和数学期望．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA =AD =CD =2AB =2，M 为PC 的中点．（1）求证：BM // 平面PAD ；（2）在平面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ，并求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值．20. 已知抛物线方程C:y 2=2px(p >0)，点F 为其焦点，点N(3, 1)在抛物线C 的内部，设点M 是抛物线C 上的任意一点，|MF →|+|MN →|的最小值为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线l 与抛物线C 交于不同两点A 、B ，与y 轴交于点P ，且PF →=λ1FA →=λ2FB →，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由． 21. 已知数列{a n }中，a 1=2，a n −a n−1−2n =0(n ≥2, n ∈N)．（1）写出a 2、a 3的值（只写结果）并求出数列{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a 2n，若对任意的正整数n ，当m ∈[−1, 1]时，不等式t 2−2mt +16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．22. 已知向量p →=(a −3,x)，q →=(x +a,x)，f(x)=p →⋅q →，且m ，n 是方程f(x)=0的两个实根，（1）设g(a)=m 3+n 3+a 3，求g(a)的最小值；（2）若不等式lnx −bx <x 2在x ∈[1, +∞)上恒成立，求实数b 的取值范围；（3）对于（1）中的函数y =g(a)，给定函数ℎ(x)=c(xlnx −x 3)，(c <0)，若对任意的x 0∈[2, 3]，总存在x 1∈[1, 2]，使得g(x 0)=ℎ(x 1)，求实数c 的取值范围．2011年山东省某校高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. D3. A4. A5. A6. C7. A8. B9. C10. C11. B12. D13. 114. 2−2n+13n15. 16√2316. （1）（3）（4）17. 解：（1）由于π4是函数y=f(x)的零点，即x=π4是方程f(x)=0的解，从而f(π4)=sinπ2+acos2π4=0，则1+12a=0，解得a=−2．所以f(x)=sin2x−2cos2x=sin2x−cos2x−1，则f(x)=√2sin(2x−π4)−1，所以函数f(x)的最小正周期为π．（2）由x∈[0, π2]，得2x−π4∈[−π4, 3π4]，则sin(2x−π4)∈[−√22, 1]，则−1≤√2sin(2x−π4)≤√2，−2≤√2sin(2x−π4)−1≤√2−1，∴ 值域为[−2, √2−1]．当2x−π4=2kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ+38π时，f(x)有最大值，又x∈[0, π2]，故k =0时，x =38π，f(x)有最大值√2−1．18. 解：（1）该考生恰好抽到两道数学题并都答对的概率P =C 22C 42×0.9×0.9=0.135（2）X 的可能取值为0，1，2P(x =0)=0.1×0.1+0.2×0.3+2(0.1×0.3+0.1×0.2)C 42=17600P(x =2)=0.9×0.9+0.8×0.7+2(0.9×0.7+0.9×0.8)C 42=407600 P(x =1)=1−17600−407600=176600E(X)=20=1.65 19. 证明：（1）取PD 的中点E ，连接EM ，EA ，则EM // AB ，且EM =AB 所以四边形ABME 为平行四边形，所以BM // AE又AE ⊂平面PAD ，BM 不在平面PAD 内，∴ BM // 平面PAD ；解：（2）以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系则B(1, 0, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)，M(1, 1, 1)，E(0, 1, 1)假设存在满足题意的点，则在平面PAD 内，设N(0, y, z)MN →=(−1,Y −1,Z −1)，PB →=(1,0,−2)，DB →=(1,−2,0){MN →⋅DB →=0˙，得y =12，z =12，所以N =(0,12，12)，即N 是AE 的中点，此时MN ⊥平面PBD ，设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，易得PC →=(2,2,−2)，MN →=(−1,−12,−12) 设PC →与MN →的夹角为α，则cosα=|PC →||MN →|˙=−√23，sinθ=−cosα=√23故直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为√2320. 解：（1）准线方程为l ：x =−p2，点M 到l 的距离设为d ，由抛物线定义，|MF →|+|MN →|=d +|MN →|≥3+p2=4，p =2，所以y 2=4x ．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，F(1, 0)由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于0，设l:y =k(x −1)，则P(0, −k)，由PF →=λ1FA →=λ2FB →知(1, k)=λ1(x 1−1, y 1)=λ2(x 2−1, y 2)∴ k =λ1y 1=λ2y 2∵ k ≠0，∴ λ1=k y 1，λ2=ky 2，λ1+λ2=k ×y 1+y 2y 1y 2，将y =k(x −1)代入y 2=4x 得y 2−4k y −4=0，y 1+y 2=4k，y 1⋅y 2=−4∴y 1+y 2y 1y 2=−4k×14=−1k，∴ λ1+λ2=k ×(−1k)=−1为定值．21. 解：（1）∵ a 1=2，a n −a n−1−2n =0(n ≥2, n ∈N)∴ a 2=6，a 3=12当n ≥2时，a n −a n−1=2n ，a n−1−a n−2=2(n −1)，…，a 3−a 2=2×3，a 2−a 1=2×2，∴ a n −a 1=2[n +(n −1)+...+3+2]， ∴ a n =2[n +(n −1)+⋯+3+2+1]=2n(n+1)2=n(n +1)当n =1时，a 1=1×(1+1)=2也满足上式， ∴ 数列{a n }的通项公式为a n =n(n +1) （2）b n =1a n+1+1a n+2++1a 2n=1(n+1)(n+2)+1(n+2)(n+3)++12n(2n+1)=1(n+1)−1(n+2)+1(n+2)−1(n+3)++12n −1(2n+1)=1(n+1)−1(2n+1)=n2n 2+3n+1=1(2n+1n)+3令f(x)=2x +1x (x ≥1)，则f′(x)=2−1x 2，当x ≥1时，f ′(x)>0恒成立 ∴ f(x)在x ∈[1, +∞)上是增函数，故当x =1时，f(x)min =f(1)=3 即当n =1时，(b n )max =16要使对任意的正整数n ，当m ∈[−1, 1]时，不等式t 2−2mt +16>b n 恒成立，则须使t 2−2mt +16>(b n )max =16，即t 2−2mt >0，对∀m ∈[−1, 1]恒成立，∴ {t 2−2t >0t 2+2t >0，解得，t >2或t <−2，∴ 实数t 的取值范围为(−∞, −2)∪(2, +∞) 22. 解：（1）f(x)=x 2+(a −3)x +a 2−3a 有两个实根，所以△≥0，解得a ∈[−1, 3] 由题意{m +n =3−amn =a 2−3ag(a)=m 3+n 3+a 3=(m +n)[(m +n)2−3mn]+a 3=3a 3−9a 2+27，a ∈[−1, 3] g′(a)=9a(a −2)=0，解得a =0或2 g(0)=g(3)=27，g(−1)=g(2)=15 所以最小值为15．（2）若不等式lnx −bx <x 2在x ∈[1,+√∞)上恒成立，即x 2−lnx +bx >0恒成立，解得b>x(lnx−x2)令ℎ(x)=x(lnx−x2)，x∈[1, +∞)则ℎ′(x)=1+lnx−3x2，x∈[1, +∞)−6x，x∈[1, +∞)则ℎ′′(x)=1x∵ ℎ′′(x)=1−6x<0在[1, +∞)恒成立x∴ ℎ′(x)=1+lnx−3x2，在区间[1, +∞)为减函数则ℎ′(x)≤ℎ′(1)=−2<0恒成立∴ ℎ(x)=x(lnx−x2)在区间[1, +∞)递减则ℎ(x)≤ℎ(1)=−1故b>−1（3）由（1）得对任意的x0∈[2, 3]，g(x0)∈[15, 27]由（2）得函数ℎ(x)=c(xlnx−x3)，(c<0)，在区间[1, 2]单调递增则ℎ(1)=−c≤ℎ(x)≤ℎ(2)=c(2ln2−8)若对任意的x0∈[2, 3]，总存在x1∈[1, 2]，使得g(x0)=ℎ(x1)，则−c≤15且c(2ln2−8)≥27解得：−15≤c≤272ln2−8。