2011年考研数学一真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学试题答案和评分参考数 学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)(1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是 （C ） (A) (1,0) (B) (2,0) (C) (3,0) (D) (4,0)(2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn k k S a n ===∑ 无界，则幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑的收敛域为 （C ） (A) (1,1]-(B) [1,1)- (C) [0,2) (D) 0,2]((3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0,(0)0f x f '>=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （A ）(A) (0)1,(0)0f f ''>> (B) (0)1,(0)0f f ''>< (C) (0)1,(0)0f f ''<> (D) (0)1,(0)0f f ''<<(4) 设4ln sin I xdx π=⎰,40ln cot J xdx π=⎰,40ln cos K xdx π=⎰, 则,,I J K 的大小关系为（B ）(A) I J K <<(B) I K J <<(C) J I K <<(D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.记1100110001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，2100001010⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P ，则A = （D ）(A) 12P P (B) 112-P P (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设1234(,,,)αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵.若(1,0,1,0)T是方程组0x =A的一个基础解系，则*0x =A 的基础解系可为 （D ）(A)13,αα(B)12,αα (C) 123,,ααα(D)234,,ααα(7) 设1()F x 与2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （D ） (A) 12()()f x f x(B) 212()()f x F x (C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x +(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记max{,}U X Y =，min{,}V X Y =，则()E UV = （B ） (A)EU EV ⋅ (B) EX EY ⋅ (C) EU EY ⋅ (D) EX EV ⋅ 二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s =ln(12)(10) 微分方程cos x y y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y =sin xe x -(11) 设函数20sin (,)1xyt F x y dt t =+⎛⎜⎠，则2202x y F x==∂=∂ 4 .(12) 设L 是柱面221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22y Lxzdx xdy dz ++=⎰π.(13) 设二次曲面的方程22232224x y z a x y x z y z +++++=经正交变换化为221144y z +=，则a = 1 .(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =23μσμ+.三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. )(15)（本题满分10分）求极限110ln(1)lim xex x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭.解：记11ln(1)xex y x -+⎛⎫=⎪⎝⎭. 当0x >时，ln[ln(1)]ln ln 1xx xy e +-=-， 00011ln[ln(1)]ln (1)ln(1)lim ln lim lim 11x x x x x x x x xy e +++→→→-+-++==- ……4分 0(1)ln(1)lim (1)ln(1)x x x x x x x +→-++=++20(1)ln(1)lim x x x x x+→-++= 01ln(1)11lim 22x x x +→-+-==-. ……9分当0x <时，ln[ln(1)]ln()ln 1x x x y e -+--=-， 00ln[ln(1)]ln()1lim ln lim 12x x x x x y e --→→-+--==--.综上可知，110ln(1)lim xex x x e-→+⎛⎫=⎪⎝⎭. ……10分(16)（本题满分9分）设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y z x y==∂∂∂.解：由题意(1)0g '= ……2分因为12()zyf yg x f x ∂'''=+∂，……4分 21111222122[()]()()[()]zf y xfg x f g x f yg x xf g x f x y∂''''''''''''=+++++∂∂， ……8分 所以211x y z x y==∂∂∂11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''=++.……9分(17)（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数.解：令()arctan f x k x x =-，则()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且221(0)0,()1k x f f x x --'==+. ……3分 当10k -≤即1k ≤时，()0(0)f x x '<≠，()f x 在(,)-∞+∞内单调减少，方程()0f x = 只有一个实根0x =.……5分当10k ->即1k >时，在1)k -内，()0f x '>，()f x 单调增加；在(1,)k -+∞内，()0f x '<，()f x 单调减少，所以(1)f k -是()f x 在(0,)+∞内的最大值. 由于(0)0f =，所以(1)0f k ->. 又arctan lim ()lim (1)x x k xf x x x→+∞→+∞=-=-∞，所以存在(1,)k ξ∈-+∞，使得()0f ξ=. 由()f x 是奇函数及其单调性可知：当1k >时，方程()0f x =有且仅有三个不同实根,0,x x x ξξ=-==. ……10分(18)（本题满分10分）（I ） 证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+成立.（II ） 设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-= ，证明数列{}n a 收敛. 解：（I ）根据拉格朗日中值定理，存在(,1)n n ξ∈+，使得 11ln(1)ln(1)ln n n n ξ+=+-=，所以1111ln(1)1n n nξ<+=<+.……4分 （II ）当1n ≥时，由（I ）知111ln(1)01n n a a n n+-=-+<+， ……6分且11111ln ln(11)ln(1)ln(1)ln 22n a n n n n=+++->++++++-ln(1)ln 0n n =+->，所以数列{}n a 单调下降且有下界，故{}n a 收敛. ……10分(19)（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰.解： 因为(1,)0f y =，(,1)0f x =，所以(1,)0y f y '=，(,1)0x f x '=. ……2分 从而11I (,)xy xdx yf x y dy ''=⎰⎰……4分111000(,)|(,)y x y x x yf x y f x y dy dx ==⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(,)x dy xf x y dx '=-⎰⎰ ……7分 111000(,)(,)x x x f x y f x y dx dy ==⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(,)dy f x y dx a ==⎰⎰. ……11分(20)（本题满分11分）设向量组1(1,0,1)T a =，2(0,1,1)T a =，3(1,3,5)T a =不能由向量组T1(1,1,1β=），T 2(1,2,3β=），T3(3,4,a β=）线性表示. （I ）求a 的值； （II ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示.解：（I ）4个3维向量123,,,i βββα线性相关(1,2,3)i =，若123,,βββ线性无关，则i α 可由123,,βββ线性表示(1,2,3)i =，与题设矛盾. 于是123,,βββ线性相关. ……3分从而 123113|,,|1245013a aβββ==-=，于是5a =此时，1α不能由向量组123,,βββ线性表示.……5分（II ）令 123123(,,|,,)αααβββ=A .对A 施以初等行变换1011131002150131240104210115135001102⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ， 从而112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-. …… 11分(21)（本题满分11分）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .（I ）求A 的所有特征值与特征向量； （II ）求矩阵A . 解：（I ）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得110011⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，110011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ， 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为1(1,0,1)T k -，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值,且属于1的特征向量为2(1,0,1)T k .2k 为任意非零常数； ……4分 设123(,,)T x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则123(1,0,1)0x x x ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，123(1,0,1)0x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即131300x x x x -=⎧⎨+=⎩. 于是属于0的特征向量为3(0,1,0)T k ，3k 为任意非零常数； ……6分（II ）令 110001110⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P ， 则 1100010000--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P AP ， ……8分1100010000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P 1122112211010000010010100000110000010100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……11分(22)（本题满分11分）设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X 0 1 Y -1 0 1 P1/32/3P1/31/31/3且22{}1P X Y ==.（I ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； （II ）求Z XY =的概率分布； （III ）求X 与Y 的相关系数XY ρ.解：（I ）由22{}1P X Y ==，得22{}0P X Y ≠=，所以{0,1}{0,1}{1,0}0P X Y P X Y P X Y ==-=======.故(,)X Y 的概率分布为X Y-1 0 1 0 0 1/3 0 11/31/3……4分（II ）Z XY =的可能取值为1,0,1-. 由(,)X Y 的概率分布可得Z 的概率分布为……7分 （III ）由X ，Y 及Z 的概率分布得222,,0,,()0393EX DX EY DY EZ E XY ======，所以 (,)0,Cov X Y =0XY ρ=.…… 11分(23)（本题满分11分）设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未 知.X 和2S 分别表示样本均值和样本方差.（I ）求参数2σ的最大似然估计 2σ； （II ）计算 2E σ 和2D σ. 解：（I ）设12,,,n x x x 为样本观测值，则似然函数20211()2222()(2).ni i nx L eμσσπσ=---∑=，2220211ln ()ln(2)()22n i i n L x σπσμσ==---∑，Z 1-0 1 P1/31/31/3令 2ln 0()d Ld σ=，得 202411()022n i i n x μσσ=-+-=∑， 从而得2σ的最大似然估计 22011()n i i X n σμ==-∑. ……6分（II ）解法1 由于2202122()()nii Xn n μσσσ=-=~χ∑，……8分所以 222E n n σσσ=⋅=， 442222D n n nσσσ=⋅=. ……11分 解法2 222011()n i i E E X n σμσ==-=∑， ……8分4422221001021112()()()n i i X D D X D X D n n n nμσσσμμσ=-=-=-==∑. ……11分数 学（二）一．选择题（1～8小题，每小题4分，共32分）．(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 (C) (A) 1,4k c ==(B) 1,4k c ==-(C) 3,4k c ==(D) 3,4k c ==-(2) 设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x →-= (B) (A) 2(0)f '- (B) (0)f '- (C) (0)f ' (D) 0(3) 函数()ln |(1)(2)(3)|f x x x x =---的驻点个数为 (C) (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为 (C)(A) ()x x a e e λλ-+ (B) ()x x ax e e λλ-+ (C) ()x xx ae be λλ-+ (D) 2()x x x ae be λλ-+(5) 【 同数学一（3）题 】 (6) 【 同数学一（4）题 】 (7) 【 同数学一（5）题 】 (8) 【 同数学一（6）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 1012lim 2xxx →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2.(10) 【 同数学一（10）题 】 (11) 【 同数学一（9）题 】(12) 设函数,0,()00,0,x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩，则()xf x dx +∞-∞=⎰1λ.(13) 设平面区域D 由直线y x =，圆222x y y +=及y 轴所围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰712.(14) 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为 2 .三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分10分）已知函数20ln(1)()xt dt F x x α+=⎰.设0lim ()lim ()0x x F x F x +→+∞→==，试求α的取值范围. 解：因为2201ln(1)ln(1)lim ()limlim x x x x t dt x F x x x ααα-→+∞→+∞→+∞++==⎰ 22112211lim lim(1)(1)x x x x x x αααααα--→+∞→+∞+==--， 由题意lim ()0x F x →+∞=，得1α>. ……5分又因为2201000ln(1)ln(1)lim ()limlim xx x x t dt x F x x x ααα+++-→→→++==⎰231001lim lim x x x x x αααα++--→→==， 由题意 0lim ()0x F x +→=，得3α<. 综上所述，13α<<. ……10分(16)（本题满分11分）设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩-确定，求()y y x = 的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.解：令22101dy t dx t -==+，得1t =±.当1t =时，53x =； 当1t =-时，1x =-. ……3分令222222344(1)01(1)td y t t dx t t +===++，得0t =，即13x =. ……6分 列表如下：由此可知，函数()y x 的极大值为1(1)|1t y y =--==，极小值为151()|33t y y ===-. 曲线()y y x =的凹区间为1(,)3+∞，凸区间为1(,)3-∞.由于011()|33t y y ===，所以曲线()y y x =的拐点为11(,33）. ……11分(17)（本题满分10分）【 同数学一（16）题 】 (18)（本题满分10分）设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点. 记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若d dydx dxα=，求()y x 的表达式. 解：由于tan y α'=，即arctan y α'=，所以 ……2分21d y dx y α''='+.于是有21y y y '''='+，即2(1)y y y ''''=+ ① ……4分令y p '=，则"y p '=，代入①式得2(1)p p p '=+，分离变量得2(1)dpdx p p =+， 两边积分得212ln 2ln 1p x C p=++ ② 由题意(0)1y '=，即当0x =时1p =，代入②式 得112C =，于是有 22121x e xy p e'==- ……7分两边积分得222221()x xx e e e y dx C ==+-，由(0)0y =得24C π=-.所以24x e y π=-. ……10分(19)（本题满分10分）【 同数学一（18）题 】(20)（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成.（I ）求容器的容积；（II ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位：m ，重力加速度为g 2/m s ，水的密度为3310/kg m .） 解： (I) 由对称性，所求的容积为12212V x dy π-=⎰……3分122192(1)4y dy ππ-=-=⎰，即该容器的容积为94π立方米.……5分（II ）123232211210(1)(2)10[1(1)](2)W y y gdy y y gdy ππ-=--+--⎰⎰－ ……8分132323232112271010(22)(44)8g y y y dy y y y dy g ππ-⎡⎤⨯=--++-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰.即所求的功为32710/8g π⨯焦耳. ……11分(21)（本题满分11分）【 同数学一（19）题 】 (22)（本题满分11分）【 同数学一（20）题 】 (23)（本题满分11分）【 同数学一（21）题 】数 学（三）一．选择题 (1～8小题，每小题4分，共32分) . (1) 【 同数学二（1）题 】 (2) 【 同数学二（2）题 】(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 (A) (A) 若1nn u ∞=∑收敛，则2121()n n n u u ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛 (C) 若1n n u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 【 同数学一（4）题 】 (5) 【 同数学一（5）题 】(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组β=Ax 的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则β=Ax 的通解为 (C) (A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 【 同数学一（7）题 】(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自该总体的简单随机样本.则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n in i T X X n n -==+-∑，有 (D) (A)1212,ET ET DT DT >> (B) 1212,ET ET DT DT >< (C) 1212,ET ET DT DT <>(D) 1212,ET ET DT DT <<二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 设0()lim (13)x tt f x x t →=+，则()f x '=3(13)xx e +.(10) 设函数(1)x yxyz =+，则(1,1)|dz =(12ln 2)()dx dy +-.(11) 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为2y x=-.(12) 曲线21y x =-2x =及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为4/3π. (13) 设二次型123(,,)T f x x x =x Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Q =x y 下的标准形为213y .(14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分10分） 求极限 012sin 1x x x →+--.解：0012sin 112sin 1x x x x x x →→+--+--= ……2分 0112sin x x→-+= ……4分 0cos 12sin 12sin x x x x →-+=+0sin 12sin x x x →--+= ……8分 12=-.……10分 (16)（本题满分10分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,))z f x y f x y =+.求2(1,1)z x y∂∂∂.解：121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂， ……3分 2111212(,(,))(,(,))(,)(,)(,(,))zf x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''''=+++⋅+⋅+∂∂22 12122()(,(,))(,(,))(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y ⎡⎤''''''+++++⋅⎣⎦2 ……7分由题意知，1(1,1)0f '=，2(1,1)0f '=， ……9分从而2(1,1)z x y ∂∂∂11212(2,2)(2,2)(1,1)f f f '''''=+.……10分(17)（本题满分10分） 求不定积分arcsinln x xx+⎛⎜⎠.解：arcsinln 2ln )x xx x x x+=⎰……2分2(arcsin ln )21x x x x x =--⎛⎛⎜⎜⎠⎠ ……6分 2(arcsinln )41x x x x x=+-- ……8分2(arcsin ln )214x x x x x C =+- ……10分(18)（本题满分10分）证明方程44arctan 303x x π-+=恰有两个实根. 证：设 4()4arctan 3f x x x π=-+24(3)(3)()11x x f x x -+'=-=+ ……2分 令()0f x '=，解得驻点123,3x x =-=.由单调性判别法知()f x 在(,3]-∞-上单调减少，在[3,3]-上单调增加，在[3,)+∞上单调减少. ……5分 因为(3)0f -=，且由上述单调性可知(3)f -是()f x 在(3]-∞上的最小值， 所以3x =()f x 在(,3]-∞-上的唯一的零点. ……7分又因为4(3)2(3)03f π=>，且l i m ()x f x →+∞=-∞，所以由连续函数的介值定理知()f x 在(3,)+∞内存在零点，且由()f x 的单调性知零点唯一.综上可知，()f x 在(,)-∞+∞内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根. ……10分(19)（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有连续导数，(0)1f =，且满足()()ttD D f x y dxdy f t dxdy '+=⎰⎰⎰⎰，其中{(,)|0,0}(01)tD x y y t x x t t =≤≤-≤≤<≤.求()f x 的表达式.解：()()tt t x D f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰……2分(()())()()ttf t f x dx tf t f t dx =-=-⎰⎰. ……4分又2()()2tD t f t dxdy f t =⎰⎰，由题设有20()()()2t t tf t f t dx f t -=⎰. ……6分两边求导整理得 (2)()2()t f t f t '-=，解得2()(2)Cf t t =-. ……9分代入(0)1f =，得4C =，故24()(01)(2)f x x x =≤≤-. ……10分(20)（本题满分11分）【 同数学一（20）题 】 (21)（本题满分11分）【 同数学一（21）题 】 (22)（本题满分11分）【 同数学一（22）题 】 (23) （本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0x y -=，2x y +=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 解：(I) (,)X Y 的概率密度为1,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其他.X 的概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰.（1）当0x <或2x >时，()0X f x =； （2）当01x ≤≤时，0()xX f x dy x ==⎰； （3）当12x <≤时，20()2xXf x dy x -==-⎰；综上所述 ,01()2,120,X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其 他……7分(II) Y 的概率密度为2,01,2(1),01,()(,)0,0,y yY dx y y y f y f x y dx -+∞-∞⎧≤≤-≤≤⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰=其他其他； 在(01)Y y y =≤<时，X 的条件概率密度为|1,2,(,)2(1)(|)()0,X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其他. ……11分。