中考数学换元法解题技巧

换元法在因式分解中的应用

因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。

除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。

例1.分解因式：()()442

++-+y x y x （济南市 2007） 分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。换个角度考虑，可以将y x +看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。

解：设u y x =+

原式442

+-=u u

()22-=u ()2

2-+=y x 例2.分解因式：()()()2

2224432134-+--+--x x x x x x

分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。因此可以尝试用换元法进行因式分解。观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：=-+442x x ()()321322-++--x x x x ，将其中两部分设为辅助元，则可以表示出第三部分。

解：设A x x =--132，B x x =-+322,则B A x x +=-+442。

原式()()2

24B A B A AB --=+-= ()()2

22222323213+--=+-----=x x x x x x

使用换元法的关键是选择辅助元。在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。

换元法在化简二次根式中的应用

在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，这时可以考虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。

3.1设元代数，化已知为未知

例3.若⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=20021200221x ，求x x ++12的值 分析：2002是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此可以尝试用字母换元代入。 解：设2002=y ，则⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=y y x 121，2

21411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y y x ，且01〉+y y 原式⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y y y y y y y 1211211211412 2002==y

3.2设元代式，无理变有理

例4. 化简ab a b

b a a +-（陕西省 2008）

分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。 解：设x a =，y b =， 原式()()()y x x y x y x x xy

x xy x +-+=+-=223 b a y x -=-=

解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。

换元法在解方程中的应用

除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程的一种常用的方法。如果方程()0=x F 的左端()x F 是一个复合函数：()()u f x F =，()x u φ=，而方程()0=u f 和()x u φ=是比较简单的方程，则可进行换元。令()x u φ=，这样方程就转化为()0=u f ，方便运算。但值得注意的是，换元后的方程定义域发生了变化，应考虑增根或失根的可能。下面就列举三种常见的用换元法可解的方程类型及换元方法。

4.1分式方程

形如()()

0=++c x f b x af 令()x f u =，原方程化为0=++c u

b au ，即02=++

c bu au 解得a ab c c u 242-±-=，原方程化为两个简单方程()a

ab c c x f 2421-+-=，()a

ab c c x f 2422---=，注意检验根。 例5.解方程2511

22=+++x x x x 分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换元法来解。 解：设u x x =+1

2，则u x x 112=+，原方程化为251=+u u 解得2

11=

u ，22=u 当211=u 时，有2

112=+x x ，即0122=+-x x ，解得121==x x 当22=u 时，有212=+x x ，即0222=+-x x ，无实数解 经检验，1=x 是原方程的解。

4.2一元二次方程

形如()()()02

=++c x bf x f a 令()x f u =，原方程化为一元二次方程02

=++c bx ax 解得a ab c c u 242-±-=，原方程化为两个简单方程()a

ab c c x f 2421-+-=，()a

ab c c x f 2422---= 当()x f 是整式时，上述两方程的根都是原方程的跟，

当()x f 是分式或无理式时，应进行验根。

例6.解方程()()

376276222=---x x x x （哈尔滨 2007）

分析：则可以将x x 762

-看成整体进行换元，转化为一元二次方程求解。

解：设x x u 762-=，

原方程化为0322=--u u ，解之得31=u ，12-=u 当31=u 时，即3762

=-x x ，得231=x ，3

12-=x 当12-=u 时，即1762-=-x x ，13=x ，6

14=x 经检验231=x ，312-=x ，13=x ，614=x 是原方程的根 4.3三角有理方程

形如()0cos ,sin =x x R 运用万能代换2tan x u =，得代数有理方程011,12222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+u

u u u R 。需要注意的是，因2

tan x u =的自变量允许值是()π12+≠n x ，()z n ∈，缩小了未知量的范围，因此用万能代换解三角有理方程时，应注意有失根的可能。

例7.解方程1cos sin =-x x

分析：运用万能代换，将原方程化为代数有理方程，再求解。 解：设2

tan x u =， 原方程化为111122

2

2=+--+u u u u ，解之得1=u 因此12tan =x ，ππn x 22

+= ()z n ∈ 经检验，ππ

n x 221+=，()π122+=n x 是原方程的根

从以上分析可以看出，换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，因此不同的方程就有不同的换元方法。因此，这种方法灵活性大，技巧性强，适当的换元，可以将复杂的方程化简，方便求解。

换元法在证明不等式中的应用

不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位。在不等式证明中，有些问题直接证明较为困难，但如果通过换元的思想与方法去解决就方便多了。下