(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法.doc
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( 高手必备)高考导数大题中最常用的放缩大法
相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟, 将复杂的函数求导, 再对导函数
求导,再求导,然后就没有然后了 ......如果懂得了最常见的放缩,如:人教版课本中常用的
结论
⑴ sin x
x, x (0, ) ,变形即为
sin x
1,其几何意义为 y sin x, x (0,
) 上的的点与
原点连线斜率小于 1. x
⑵ e x
x 1 ⑶ x ln( x
1) ⑷ ln x x e x , x
0 .
将这些不等式简单变形如下:
1
1
ln x x 1,e x
x 1,e x ex,ln x
1 那么很多问题将迎刃而解。 x
ex
例析:( 2018 年广州一模) 设 f ( x) ax ln x 1, 若对任意的 x 0, f ( x) x e 2 x 恒成立, 求
a 的取值范围。
放缩法:由 e x
x 1可得:
e 2 x ln x 1
xe x (ln x 1)
e 2x ln x
(ln x 1) 2x ln x 1 (ln x 1)
2
x
x
x x
高考中最常见的放缩法可总结如下,供大家参考。 第一组:对数放缩
(放缩成一次函数) ln x
x 1, ln x x , ln 1 x
x
(放缩成双撇函数) ln x
1 x 1 x 1 , ln x
1 x 1 0 x 1 ,
2 x
2 x
ln x
x
1
x 1 , ln x
x
1 ,
0 x 1
x
x
(放缩成二次函数)
ln x x 2
x , ln 1 x
x 1 x 2
1 x 0 ,
1 x 2
2
ln 1 x
x x 0 2
ln x 1
1
,ln x
2 x 1
1 ,
ln x 2 x 1
(放缩成类反比例函数) x 1 x
x 0 x 1
,
x
1
ln 1 x
x
, ln 1 x
2x
, ln 1 x
2x x 0
1
1 x 0 1 x
x
x
第二组:指数放缩
(放缩成一次函数) e
x
x 1 , e x
x , e x ex ,
(放缩成类反比例函数)
e
x
1 1 x
0 , e x
1 x 0 ,
x
x
(放缩成二次函数) e
x
1 x 1 x
2 x 0 , e x 1 x 1 x 2 1 x
3 ,
2
2
6
第三组:指对放缩
e x ln x
x 1 x 1
2
第四组:三角函数放缩
sin x x tan x x 0 , sin x x
1
x 2
, 1 1
x
2
cos x
1
1
sin 2 x .
第五组:以直线 y
x 1 为切线的函数 2 2
2
y ln x , y e
x 1
1, y x
2
x , y 1
1
, y x ln x .
x
拓展阅读: 为何高考中总是考 e x 和 ln x 这些超越函数呢? 因为高考命题专家是大学老
师,
他们站在高观点下看高中数学,
一览无遗。 作为学生没有多大必要去去了解大学的知识,
但
是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。 超越函数本质上就是高等数学
中的泰勒公式。即从某个点
x 0 处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中
的值,如果这个点是 0,就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之,它的功能就是把超越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有: