高中数学通用模型解题方法

13.反函数存在的条件是什么 （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） 14.反函数的性质有哪些 反函数性质： 1、

反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对

应原函数中的y ）

2、

反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对

应原函数中的x ）

3、

反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和

点（y ，x ）关于直线y=x 对称

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

（04.上海春季高考）已知函数)24(log )(3+=x

x f ，则方程4

)(1=-x f 的解=x

对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x 吗那代进去阿，答案是不是已经出来了呢（也可能是告诉你反函数的x 值，那方法也一样，呵呵。自己想想，不懂再问我

15.如何用定义证明函数的单调性

（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系

可以变形为求

1212()()f x f x x x --的正负号或者12()

()

f x f x 与1的关系

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a ，b)对称，函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c 是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与

1()

f x 在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

⑦若函数y ＝f(x)是严格单调的，则其反函数x ＝f －1(y)也是严格单调的，而且，

∴……）

16.如何利用导数判断函数的单调性 值是（）

B.1

∴a 的最大值为3）

17.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么 （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

18.你熟悉周

期函数的定义吗 函数，T 是一个周期。）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你

f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：

()()0()(2)

()(2)0f x f x t f x f x t f x t f x t ++=⎫

=>=+⎬+++=⎭

，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说

f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对

称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a 对称。 如：

19.你掌握常用的图象变换了吗

f x f x y ()()与的图象关于轴对称-联想点（x,y ）,(-x,y) f x f x x ()()与的图象关于轴对称-联想点（x,y ）,(x,-y)

f x f x ()()与的图象关于原点对称--联想点（x,y ）,(-x,-y) f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1联想点（x,y ）,(y,x)

f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-=联想点（x,y ）,(2a-x,y)

f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20联想点（x,y ）,(2a-x,0)

（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）

注意如下“翻折”变换：

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗

()（）一次函数：10y kx b k =+≠

(k 为斜率，b 为直线与y 轴的

交点) 的双曲线。