直线与平面平行的证明

平行四边形

一组对边平行且相等
两组对边平行
例题1（1）：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， E、F分别是棱BC与CD的中点. 求证：EF//平面BDD1B1.
思路：
EF//平面BDD1B1
D1 C1 B1
EF//BD 三角形BCD的中位线
A1
D A
F E B
C
例题1（2）.正方体 ABCD- ABCD 中，E为 DD的中点，
练习3：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F 分别是棱BC与C1D1的中点. F 求证：EF//平面BDD1B1. D1 C1
A1 B1
D
E A
C
B
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是 BC的中点，点M在四边形EFGH的边界及其内部运 动，是否存在M，使得MN∥平面B1BDD1. （不必考虑所有可能情况，只要写出一个即可，并 说明理由）.
BD//平面AEC． 证明：
证明：连接BD交AC于点O,
连接OE, 在 DB D中，E，O分别是
A
D
C
B
E
D
DD, BD 的中点
EO // Bwenku.baidu.com
C
A
O
B
' BD // 平面AEC EO 平面ACE ' BD 平面ACE BD
练习1： 如图，在三棱锥P- ABC中，△ABC为正三角形， D，E，F分别是BC，PB，CA的中点．试判断AE 是否平行平面PFD？并说明理由 P
只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可。
平面内最常见的几何图形是三角形和四边形， 其中涉及到两条直线平行的定理主要有：
A D B
中位线定理：
E
C
平行线分线段成比例定理及其逆定理：
1 DE是中位线 DE//BC , DE= BC 2
AD AE DE DE / / BC AB AC BC
思路：
AE//平面BDD1B1
AE//FG 三角形AEC中位线
E A F
G C D
B
直线与平面平行的证明
在平面内寻找一条直线与已知直线平行是破 题的关键，我们可以尝试寻找与已知直线在同一 个三角形内的可能，如果已知有中点，可以优先 考虑三角形的中位线定理。
例题2：四棱锥P-ABCD中，点E、F分别为 棱BC、PD的中点. 求证：EF//平面PAB . P
M
N
M
M
M
N
N
N
步 骤
在“找” 直线这一关键环节中，可以通过构造三 角形或者平行四边形来达到目的；而在“证”的环节中 需要特别注意三角形中位线定理和平行四边形的判定定 理的使用。
思路：
EF//平面PAB
G
F
EF//BG 四边形BEFG是平行四边形 GF//BE,GF=BE 1 B GF//AD,GF= 2 AD
1 BE//AD,BE= AD 2
A D
E
C
在平面PAB中，更容易找到 与EF构成平行四边形的直线BG.
练习2.如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一 点,E、F分别为AB、PD的中点, 求证:AF∥平面PEC.
直线与平面平行的判定定理
文字 语言 图形 语言 符号 语言 作用 a⊄α,b⊂α,且 a∥b⇒a∥α 证明直线与平面平行
1.定理中的三个条件：b , a , a / /b, 缺一不可， 简称一内一外一平行。 2.要证明平面外的一条直线和这个平面平行，
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线 与此平面平行
证明:设PC的中点为G,连接EG,FG. 1 则GF∥CD,且GF= CD. 2 ∵AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点, ∴GF∥AE,GF=AE, ∴四边形AEGF为平行四边形, ∴EG∥AF. 又∵AF⊄平面PEC,EG⊂平面PEC, ∴AF∥平面PEC.
G
直线与平面平行的证明
平行四边形也是得到两直线平行的常见图形。 证明线面平行的时候也尝试在平面内寻找能与已 知直线构成平行四边形的直线。在证明平行四边 形的时候，经常使用的是“一组对边平行且相等” 这一判定定理。