第二章第11讲变化率与导数、导数的计算讲解

第11讲变化率与导数、导数的计算

教材回顾丫夯实基础

,[学生用书P44])

知识梳理

1.导数的概念

⑴函数y= f(x)在x= x o处的导数称函数y= f(x)在x = x o处的瞬时变化率

f ( X°+ △ x)— f ( X。) △ y为函数y= f(x)在x= x-处的导数，记作f'(X-)或y'= x-, Z A x

△ y f (x o+ △ x)—f (x o)

即 f(x o) = ■=- -.

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x-处的导数f'(X o)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(x o, y-)处的切线的斜

率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y— y°= f' (x o)(x —x-).

⑶函数f(x)的导函数

称函数f'(x)= _f (x+△ ^x— f (x)为f(x)的导函数.

2.基本初等函数的导数公式

(1)[f(x) ±(x)] '= f'(x) ±'(x)；

(2)[f(x) g(x)] '= f'(x)g(x) + f(x)g'(x);

:f (X)], f(( x) g (x)— f (x) g' (x)

(3)/、( = -------------- :———----------- (g(x)M 0).

也(X)」[g (x) 1 5)

4.复合函数的导数

复合函数y= f(g(x))的导数和函数y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为即

y x(= Y u__U x_，

y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

要点整合

1.辨明三个易误点

(1)利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式(x n)(= nx n—1与指数函数的求导

公式(a x) = a x ln a混淆.

(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过 P点的切线的区别，前者只有一条，而

后者包括了前者.

(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

2.导数运算的技巧

(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；

(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，

再求导数.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导.

双基自测

1. (选修2-2 P18练习T2(4)改编)函数y= xcos x— sin x的导数为( )

A . xsin x B. — xs in x

C. xcos x

D. — xcos x

解析：选 B. y( = cos x + x(cos x) (— (sin x) '= cos x— xsin x— cos x=— xsin x.

2. (2016豫东、豫北十所名校联考)已知f(x) = 2e x sin x,则曲线f(x)在点(0, f(0))处的切

线方程为( )

A . y= 0 B. y= 2x

C. y = x

D. y = — 2x

解析：选 B.因为 f(x) = 2e x sin x,所以 f(0) = 0, f'(x) = 2e x (sin x+ cos x),所以 f (0) = 2, 所以曲线f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y= 2x.

3. (2015高考天津卷)已知函数f(x) = axln x, x€ (0, ),其中a 为实数，f' (x)为f(x)

的导函数.若f'(1) = 3,则a 的值为 ___________ .

由于 f'(1) = a(1 + In 1) = a, 又 f (1) = 3，所以 a = 3. 答案：3

In x

4. (2016长春质量检测)若函数f(x)=匸，则f '(2)=

解析： 1 — In x 1 — In 2 由 f'(x)— x 1 2

得 f'(2) = 4 . 答案：

1 — In

2 4

5. (2014高考江西卷)若曲线y= x

上点P 处的切线平行于直线 2x+ y+ 1= 0,则点P

的坐标是 _________ .

解析：设 P(x 0, y °)，因为 y= e -x ,所以 y =— x

, 所以点P 处的切线斜率为 k=— e — X 0= — 2, 所以一X 0= In 2，所以 X 0=— In 2 ,

所以y °= e In 2

= 2,所以点P 的坐标为(一In 2, 2). 答案：(—In 2, 2)

典例剖析▼考点突破

考点一导数的计算浮生用书P45］ 曲红1 求下列函数的导数：

2 2

(1) y= (3x — 4x)(2x+ 1); (2)y= x sin x; x x x

In x

(3) y= 3 e — 2 + e ； (4)y= x ^TT ；

入 I *

(5)y= In (2x — 5).

2

［解］ ⑴因为 y= (3x — 4x)(2x+ 1)

解析：f'(x) = a In x+ x =

• = a(1 + In x).