优选第二课堂电场线等势面及导体和电场力

y2
dx
4
0
ln
(x (x
a)2 a)2
y2 y2
(x a)2 y2 U 4 0 ln (x a)2 y2
令
2 0U
k e
(x a)2 (x a)2
y2 y2
k2
整理化为
x
k k
2 2
1 1
2
y2
2ka k2 1
2
电场强度的方向就是电场线的切线方向
电场线的微分方程
dy
Ey
y (x a)2
y2
(
x
y a)2
y2
dx
Ex
(x
xa a)2
y2
(x
xa a)2
y2
x2
2xy y2
a2
二、静电场中的导体
1、静电场中的导体 静电平衡
Ei 0 Eface导体表面
等势体，等势面
自身带电情况导体形状 外场的电荷分布
高电 静 斯荷 电 定守 平 理恒 衡
定条 律件
2 0r
x
表明该电场具有轴对称分布
球面＝柱面＝柱侧面＝ E dS
S柱侧面
a 2R(2R) 4Ra
R
例3、有两个异号点电荷ne 和e（n>1），相距为a。其 电势为零的等势面是否一个球面？
解: 设坐标原点在e处, 空间P点的电势为零
Up 40
ne
(x a)2 y2 z2 40
体间的介质均为空气，如图所示．已知：空气的击穿场 强为3×106 V/m，今使A、B两球所带电荷逐渐增加，计 算： (1) 此系统何处首先被击穿？这里场强为何值?
(2) 击穿时两球所带的总电荷Q为多少？ (设导线本身不带电，且对电场无影响．)
A R R1
B R2
R
解：设两球所带电量 QA、QB, 两内球壳电势相等
导体内部各处净余电荷为 零，电荷只能分布在表面
Eface σ e /ε 0
孤立导体
1
r
++ ++
静电屏蔽和接地
（1）该导体的电势为零；
（2）该导体与大地间形成
+
+
+ +
了电荷移动的通道。
（保证该导体的电势为零）
讨论： 将一个带电+q，半径为RB的大导体球B移近一 个半径为RA而不带电的小导体球A，试判断下列说法是 否正确？并说明理由。 （1）B球电势高于A球； （2）以无限远为电势零点，A球的电势UA<0
e
0
x2 y2 z2
解得
x
a 2
n2
1
y2
z
2
na n2 1
2
球的半径: na n2 1
球心坐标:
n
a 2
1
,
0,
0
-a
(n>1 在e的外侧)
P 0
例4、两个无限长均匀带电平行直线，相距为2a，线电
荷密度分别为，求：
（1）圆柱筒外任一点的电势，
（2）证明电势为U的等势面是半径为 r
q 4 0 (a2
h
2
)
3 2
(2h)nˆ
qh
0E 2(a2 h2 )32
q
r'
q' 2ada
0 r r'
q
0
(a
hada 2 h2)
3 2
q
习题5
E
2
0(
aq a2
2
3
)2
终至在板上以OB为半径的圆内的电场线为总电场 线的一半
S
E
dS
b 0
2
0(
B
A
UA>U = 0
讨论：导体空腔，点电荷q1、q2 问题1：电荷如何分布？ 能否用高斯定理求电场强度？
问题2： q1对外场有无影响？ q2对内场有无影响？
答： q1对外场有影响。 q2对内场无影响。
问题3：O点的电势为多少？
d
q2
-q’
-q1
O
q1 r
R2
R1
q’
q1
U0
q1 40r
q1 40 R1
xa (x a)2
y2
xa (x a)2
y2
i
1 (x a)2
y2
1 (x a)2
y2
yj
o p' o p' 0
UP E dl E dl E dl E dl Exdx
P
P
P'
P
x
0 xa
xa
x
2
0
(x
a)2
y2
(x
a)2
QA QA QB QB QA 1
4 0R1 4 0R 4 0R2 4 0R QB 7
QA
EAmax 4 0 R12
EB m ax
QB
4 1 7
4 0R22
B球先击穿
EBmax
QB
4 0 R22
3106V
/m
（2）
EBmax
QB
4 0 R22
3106V
/m
QB 3.310 4 C
q1 40 R2
q2 40d
问题4：导体上的感应电荷对q1的作用力为多少？
Ei 0 Fq2 F感 0
F
q1q 2
4 0 d
r 2
方向:q1q2
例1（习题册P64 6）两导体球A、B．半径分别为R1 = 0.5 m，R2 =1.0 m，中间以导线连接，两球外分别包以内 半径为R =1.2 m的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地，导
qin
球壳外仍为球对称场（边界条件没变） 镜像法
例2、点电荷放在一个水平的无限大接地金属板的上方h
处，试求板上方空间内的电场分布和板面上的电荷分布。
解：
(1)
E1
qr 4 0r3
qr' 4 0r'3
+
q
q
h
U 0
r
r'
q
E 0
r' r
q
r
ha
(2)
E2
q 4 0r3
(r r')
优选第二课堂电场线等势面及 导体和电场力
例1、 静电场电力线形状为以o点为中心的同心圆弧， 试确定每点E与该点离o点的距离r的关系。
解: 作图示扇形环路abcd0a,
0
E dl E dl E dl E dl E dl
l
ab
bc
cd
da
E1 ab (E2 cd ) 0
圆柱面，其中
k
2 0U
e
2ka k2 1
的
（32 0
+
-
E
2 0r
2a
解：设O点电势为零，O-yz平面就是零电势面
E
2 0
x
a2
y2
x ai yj
E
2 0
x a2
y2
x
ai
yj
y
P
P
-
+
O
x
2a
E
E
E
2 0
QA
1 7 QB
0.47104 C
Q QA QB 3.77 10 4 C
2、静电场的唯一性定理: 在给定边界条件后，静电场的分布就唯一地确定了。 1) 给定每个导体上的总电量; 2) 给定每个导体的电势; 3) 给定一些导体的总电量和另一些导体的电势; 导体的电势、总电荷等=边界条件
qin -qin
E1 E2
cd
ab
r2 r1
r2 r1
Er const
a E1 E2 b
dc
r2
r1
例2、已知电场强度为
E
a(xi yj)
x2 y2
，式中a为常数，求
通过半径为R的坐标原点为球心的球面的电通量。
E
a(xi yj )＝ a
r
a
r
0
z
x2 y2 r2 r
~E
r
0
2R
o•
y