车身曲线曲面数学模型基础

4.1.3弗格森曲线
下面讨论参数样条曲线中的某一段，并用端点及端点的
导数来表达出这段曲线的方程。设参数为u，第i段曲线对应 的参数范围为 0 u 1 ，在〔0,1〕区间上对应于两个端点型 值点的函数值及一阶导数值分别为r(0), r(1), r’(0), r’(1)。则 插值函数为
在大挠度情况下,三次样条函数的光顺性可能变坏。用三次样条函数表示的插
值曲线,依赖于座标系的选择,不具有几何不变性。有时旋转座标轴也不可能
满足小挠度条件在这些情况下,最常用的处理办法之一是将曲线参数化,即将
曲线上点的座标分别用某种参数表示：
x y
f1 (t) f2 (t)
(4.1.2-1)
其中t为参数，常取曲线内在的量—— 弧长作为参数，它与坐标系无关。若将t
定解,必须再附加两个方程。通常按实际问题的具体情况,在样
条两端,即P0和Pn处给出约束条件，常用的边界条件有：
常用的边界条件有：
1．给定两端的斜率m0=y0′ 和 mn=yn′
以x=x0 ,i=1代入式(4.1.1-14)，得
2M 0
M1
6 h1
( y1 y0 h1
y0 )
以x = xn ,i=n代入式(4.1.1-14)，得
在每一个节点 pi 都有一个确定的ti与之对应。当然 pi 的每 一个坐标xi或yi也与ti一一对应。这就相当于给定了两组点 （xi , ti）和（yi , ti）, i=0～n。对于每一组点，都可按4.1.1 节所述方法构造一个三次样条函数。这种曲线称为累加弦 长三次参数样条曲线。在平面曲线的情况下，构造三次参 数样条曲线相当于构造两遍三次样条曲线。这在工程上是 经常使用的方法。
Sx
M
（xi x）3 i1 6hi
M
（x
i
xi1）3
（6hi 4.1.1-15)
( yi1 hi
hi 6
M i1 )(xi
x) ( yi hi
hi 6
M i )(x xi1 )
三次样条函数S(x)的本质是：
一致通过型值点、二阶连续可导 的分段三次多项式函数。
M（二阶导数）关系式
在各中间（连接）点一阶导数连续，S'(xi-0) = S'(xi+0)，即
第4章 车身曲线曲面的数学模型基础
对于汽车、飞机及其他一些具有复杂外形的机电
产品，CAD/CAM的一个关键性环节，就是用数学方 法来描述它们的外形，并在此基础上建立它们的几何 模型。本章介绍定义车身外形曲线和曲面的一些常用 的、基本的数学方法。主要内容有：参数样条曲线及 孔斯曲面、贝齐尔方法、均匀B样条曲线、非均匀B样 条曲线、双三次B样条曲面、非均匀有理B样条曲线和 曲面等。
设给定个点Pi（xi,yi）,i=0,1,……,n,两相邻点之间的弦长为：
li xi xi1 2 yi yi1 2 i 1,2, , n (4.1.2-3)
i
记: t0 0,ti l j , i 1,2, , n j 1
这里ti的几何意义是累加弦长，它近似等于弧长参数。
三次样条函数的解法
（4.1.1-16)由端点条件补充两个方程后，得出如下线性方程组：
2 0 1 2 1
M0 d0
0
M1
d1
2 2 2
M2
d2
（4.1.1-19)
0
n2
2 n2
M
n2
d
n
2
n1 2 n1 M n1 d n1
n 2 M n dn
4.1 参数样条曲线及孔斯曲面
4.1.1 三次样条曲线(cubic spline curve)
数学上的样条函数是对绘图用的样条的模拟。 如将样条简化为弹性细杆,必定满足欧拉方程：
M(x) = EIK(x)
(4.1.1-1)
其中M（x）是弯矩，E是杨氏系数，I是截面惯性矩，K(x)是样
条的曲率。从(4.1.1-1)式出发，经数学推导可得出如下的三 次样条函数表达式：
hi hi1 hi1
hi
hi
6 hi1
( yi1 hi1
yi
yi
yi1 ) hi
di
则有 Mi-1+2Mi +λi Mi+1= di (i=1,2,……,n-1) (4.1.1-16)
当i取值1,2,…,n-1时，可得到n-1个形如(4.1.1-16)的M关系式。
但未知数——二阶导数Mi却有n+1个,即M0,M1,…,Mn 。要唯一
(4.1.1-17)
M n1
2M n
6 hn
( yn
yn
yn1 ) hn
(4.1.1-18)
式(4.1.1-16)和这两个附加方程合在一起得到有确定解的线性
方程组。写成矩阵形式为(4.1.1-19)。
2. 给定两端的二阶导数M0=y0‫ ״‬,Mn= yn〞
这可以写成 ： 2M0+0×M1=2y0‫״‬
( 式中: hi = xi - xi-1 )
6
各项乘以 hi hi1 ，得：
hi 6
M i1
hi
hi1 3
Mi
hi 1 6
M i1
yi1 yi yi yi1
hi 1
hi
hi
hi hi1
M i1
2M i
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hi1 hi1
M i1
令:
hi
hi hi1
i
,
hi
hi1 hi1
i
6 ( yi1 yi yi yi1 )
式中:
0 1, n 1,
d0
6 h1
( y1 y0 h1
y)
dn
6 hn
( yn
yn
yn1 ) hn
可以用“追赶法”(参看附录A)求解(4.1.1-19)式,解出 M线i上(i=的1,2一,…系,n列)代插入值(点4.1。.1-15),便可由(4.1.1-15)式计算出 样条曲
4.1.2 三次参数样条曲线
取作弧长s，则x和y作为分量，dx∕ds和dy∕ds都不会大于1，在(x,s), (y,s)平面上 各构造一个三次样条函数：
ìïï x = a3s 3 + a2s2 + a1s + a0 íïïïî y = b3s 3 + b2s2 + b1s + b0
(4.1.2-2)
曲线上的点比较密时，弦长之和近似于弧长，因此可取累加弦长作为三次参 数样条曲线的参数。
0×Mn-1+ 2Mn=2 y‫״‬n
此时式(4.1.1-19)中的λ0=0, d0=2y0〞，μn=0,dn=2 y‫״‬n 。
如果y0‫ = ״‬y‫״‬n=0,则称为自然插值三次样条函数。
3. 如果取λ0=-2, d0 = 0 ， μn = -2, dn = 0
则M0=M1, Mn-1= Mn ，这就是抛物端边界条件。