-晶面与晶向
第三讲晶面和晶向
称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
同一个格子，两组不同的晶面族
2.晶面指数
晶面方位
晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角) 晶面在三个坐标轴上的截距
C EB
cD
b aF GA
密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面；
密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面；
§1.4 倒格子 —— 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 势能函数 势能函数是以
为周期的三维周期函数
1.4.1倒格与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。
设a1,a2 ,a3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。
(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1,a2,a3 末端上的格点 也一定落在该晶面族的晶面上；
倒格 倒格基矢 b1,b2 ,b3 倒格（点位）矢：
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
K n h1b1 h2b2 h3b3
1.4.1 倒格定义
倒格基矢定义为：
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2
Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢，
(1)基矢a1,a2,a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3
材料物理基础第二章固体结构-(3)晶面与晶向-201209
{123} = (123) + (123) + (123) + (123) + (132) + (132) + (132) + (132) + (231) + (231) + (231) + (23 1) + (213) + (213) + (2 13) + (213) + (312) + (312) + (3 12) + (312) + (321) + (321) + (321) + (32 1)
⎛ k1l1 ⎞ ⎛ l1h1 ⎞ ⎛ h1k1 ⎞ u :v:w = ⎜ ⎟:⎜ ⎟:⎜ ⎟ ⎝ k 2 l2 ⎠ ⎝ l 2 h2 ⎠ ⎝ h 2 k2 ⎠
27
u = k1l2 − k2l1 , v = l1h2 − l2 h1 ,
w = h1k2 − h2 k1
固体结构 — 晶面与晶向
课堂练习： （1）求（112）和（123）晶面的晶带轴。 （2）判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直。
材料物理基础
Fundamentals of Materials Sciences
第二章 固体结构 （3）晶面与晶向
2012年9月
1
固体结构 — 晶面与晶向
晶面指数和晶向指数标定
y三轴坐标系 y四轴坐标系
术语，符号 概念，定义
重要概念
y晶面，晶向，晶面族，晶向族， y晶带，晶带轴，晶带面 y球面投影，极射投影
(110), (112), (111), (021)
（3）判断某一晶向是否在某一晶面上(或平行于该晶面)。 （4）已知晶带轴，判断哪些晶面属于该晶带。 [hkl] [uvw] (hkl)
固体物理 第一章 晶面和晶向
晶体结构1
晶向(crystal direction)
布拉维格子的格点可以看成分布在一系列相互平 行等距的直线族上，每一直线族定义一个方向， 称为晶向. 这些相互平行的直 线可以将所有的格 点包括无遗，称为 晶列(crystal array)； 在一个平面内，相 邻晶列之间的距离 相等。
晶向
晶面
{ }表示一组由于对称性而相互等价的晶面； 如对简单立方格子，{100}表示3个相互等价的晶 面，(100), (010), (001).
晶面
晶面
对于简单立方格子，晶向[h1, h2, h3]与晶面(h1, h2, h3)正交.
单胞(unit cell)
晶体学中，习惯用晶系的基矢a, b, c构成的 平行六面体作为周期性重复排列的基本单 元，称为单胞或惯用单胞(conventional unit cell). 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期 性重复单元，单胞则不同，可含有一个或 者数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。
更多见 /wiki/Crystallographic_database
网络学习资源
EDU-COD /search/edu/ CCDC Mercury http:// /products/mercury/ 晶体结构三维显示软件CrystalMaker, etc. / 分子结构三维显示软件Rastop, etc. /rastop/
如沿晶向方向的最短格矢为 l1a1 则该晶向可记为l l 1l 2 3
l a2 2 l a3 3
如右图中， a1轴方向记为[1 0 0]， a2轴方向记为[0 1 0]， a3轴方向记为[0 0 1]， a1轴和a2轴的夹角方向 记为[1 1 0]；
晶向
< >表示一组由于对称性而相互等价的晶向； 如对简单立方格子，<100>表示6个相互等价的方 向，[100],[1 00],[010],[0 1 0],[001],[00 1] 其中数字1上有负号，分别表示-a1, -a2, -a3方向；
晶面与晶向
晶格、晶列、晶面理想晶体可以看作0维原子质点在三维方向的周期排列一维原子阵列在二维方向的周期排列二维原子平面在一维方向的周期排列（本讨论假设一个晶格格点只有原子）1. 晶面：晶面指数•一个晶面不是指一个原子面，而是指晶体中一系列周期性排列的原子面；•晶面可以用三个整数标识。
标识晶面的三个整数称为晶面指数（密勒指数）。
acb xyz晶胞晶面指数这样确定：①选晶胞的任一顶点为原点，三条棱为坐标轴，建立坐标系；②以晶胞常数为单位，求出晶面中某原子面在三个坐标轴X、Y、Z上的截距（x、y、z），取其倒数。
注意截距可正可负；③将三个倒数约化为最小互质整数h、k、l，并用圆括号（hkl）表示，即为晶面指数。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店1.晶面：晶面指数确定示例如图：某晶面的一个原子面与X 、Y 、Z 轴的截距分别是1/2、1/3、2/3，其倒数分别为2、3、3/2，约化为互质整数为4、6、3，则包含该原子面的晶面为（463）。
a cb xy z晶胞a, b, c ：晶格常数x=1/2, y=1/3, z=2/3：截距值1. 晶面：已知晶面指数确定晶面取向示例确定（123）晶面的取向：如图，取X 、Y 、Z 轴上的截距分别是相应晶面指数的倒数1、-1/2、1/3，将三点连接得到的面，即得该晶面的取向。
如果将该面按照如图所示沿Y 轴平移一个单位，也是该晶面的取向。
a cbx y z晶胞a, b, c ：晶格常数x=1, y=-1/2, z=1/3：截距值1. 晶面：晶面族晶面族：原子排列完全相同，仅仅是空间位向不同的各个晶面的集合。
{hkl}。
{110}{111}{100}立方晶系的晶面2. 晶向（晶列）•一个晶列不是指一列原子，而是指 晶体中一系列周期性平行排列的同向原子列的集合；•晶列的方向称为晶向，可用三个整数标识。
标识晶列的三个整数称为晶向指数（晶列指数）；•晶向指数这样确定：①选晶胞的任一顶点为原点，三条棱为坐标轴，建立坐标系。
晶向与晶面
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下 关系
hu ＋ kv ＋ lw＝0 ————晶带定律 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带
如果（h1k1l1）（h2k2l2）（h3k3l3）属于同一 晶带，则（nh1+mh2+jh3 nk1+mk2+jk3 nl1+ml2+jl3）仍属于上述晶带.
(012)和(123)晶面的确定
例6：立方晶系晶面指数的标注
几点说明：
1.hkl分别对应xyz上的截距，不可互换; 2.若晶面与对应坐标平行，则截距为∞,在该坐标上
的指数为0. 晶面指数规律： (1)某一晶面指数代表了一组相互平行且无限大的
晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面
(1)晶向指数----[uvw]
求法1（平移法） 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线 （OP）与待求晶向平行； 3） 在该直线上取点（距原 点最近），并确定该点P的 坐标（x，y，z） 4）该值乘最小公倍数化成 最小整数u，v，w并加以方 括号[u v w]即是。
设坐标，求坐标，化整数，列括号
求法2（两点法）
1. 以晶胞的某一阵点为原点，以晶 轴为坐标轴X、Y、Z，以晶胞的边 长为三坐标轴的长度单位。
2. 确定晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。
3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4. 化成最小、整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗号，
例如：a1轴的指标可以是[1000]，也可以是 [2110].
解决方法：加限制条件：前三个指标之和为0 例如：晶向指标为[u v t w],则u+v+t=0,故a1轴的指
1.3晶面和晶向解析
O a1 cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
1 1 1 又 cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n : : r s t
AD的晶列指数为: [212] 注意:
1 OD i j , 2
C D
a
O
B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) (2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1] 晶列(111) 晶列[111]
(3)遇到负数在该数上方加一横线。
(4)等效晶向。
在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 晶格的对称性，这6个晶向并没有 什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方
如图取一格点为顶点，原胞的三 个基矢 a1 , a 2 , a 3 为坐标系的三个轴， A3
设某一晶面与三个坐标轴分别交于
A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面 A1A2A3于N，ON长度为d，d为该晶 面族相邻晶面间的距离，为整数， 该晶面法线方向的单位矢量用 示，则晶面A1A2A3的方程为：
l1 1, l2 2, l3 1
[ l1 , l2 , l3]晶列上格点的周期= ?
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R m a nb p c
a , b , c 为布拉维原胞基矢
E
其中 m , n , p 为有理数,将 m , n , p化为互质的整数 m,n,p, 记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
h1 : h2 : h3
晶面与晶向
二、晶面及其标志
1、晶面 晶面:通过布喇菲格子中任意三个不共线的 格点所作的平面。 无数个互相平行且等距离分布的全同晶面 组成晶面族,所有格点都处于该晶面族上。
采用面间距和法线方向来表征晶面族。
面间距是一族晶面中相邻两个晶面间的距离,可用几何方法求出. 如正交晶系。
法线方向可由晶面在三个坐标轴上截距的倒数来表示，并用晶面 指数标志出来。
晶向指数和晶面指数的确定通常以惯用元胞的轴矢为参考系，因 为: (1)由于轴矢在晶轴方向上,晶轴本身的晶向指数特别简单,它 们分别是[100][010][001]
(2)晶面指数简单的晶面是重要的晶面.
(i) 晶面指数简单的晶面族有较大的面间距.
图1-36面间距和原子面密度示意图 晶体容易沿面间距大的晶面劈裂开来而表现出解理性。 (ii) 晶面指数简单的晶面原子面密度较大. 原子面密度:晶体中某个晶面上单位面积内所包含的原子个数。 在用x射线衍射分析晶体结构时,原子面密度高的晶面对射线衍 射强。
表1-13 体心立方、面心立方晶格主要的原子排列和密度
三、六方晶系中的晶向与晶面指数
1、采用四轴坐标系来确定六方晶系 的晶向指数与晶面指数。 若采用x1x2z建立的三轴坐标系确定出六 个柱面的晶面指数为(100)(010)(ī10) (ī00)(0ī0)(1ī0)，看不出等效性。 2、四轴坐标系 x1x2x3三个轴位于同一底面,互成 120°角;轴上的度量单位为棱边长度, 即晶格常数a。 Z轴垂直于底面,度量单位为六方 元胞的高,即晶格常数c。
Lvdd ZDLP
本文来自网络，请不要使用盗版文档，尊重作者的辛苦 劳动，谢谢 我爱朱丹老婆 中华人民共和国 我 2010080808080808080808080808080808080808080808080 爱 8080808080808080 你
固体物理 晶面与晶向
确定晶向指数的步骤：
1、确定坐标系 取任一格点为坐标原点O，以轴矢 ar、br、 为c轴r 建立坐标系； 2、求坐标值 在通过原点的晶列上，求出沿晶向方向上任一格点的位置矢 量 u'a rv'b r。w 'c r 为u'、坐v'、 标w值' 。
3、化整数 将 u'、v'、 化w为' 互质整数 4、列括号
（四）晶面族
由于对称性，有些晶面是等效的，它们的面间距 和晶面上格点的分布完全相同。
这些等效的晶面同一用{hkl}表示。
(1 0 0 ) 面等效的晶面数分别为：6个
(1 1 1 ) 面等效的晶面数分别为：8个
表示为{1 0 0 } 表示为{1 1 1}
课堂练习
2、画出立方晶系的下列晶面：
1 0 0 ,1 1 0 ,1 1 1 ,2 1 1 ,1 2 1
tc
v c
v b
v
根据式（1-5）
a
Xr•nrd
r 为整数；X 是晶面上任意点的位矢。
将它们依次代入式（1-5）就得到：
vr
ra1
•
cos(a, v
n r
)
ud
sa2
•
cos(b, n) vr
ud
ta3 • cos(c, n) ud
c o s (a r,n r):c o s (b r,n r):c o s (c r,n r) a :b :c rst
相应的的指数由四个数字构成， 分别记为[uvtw]、(hkil)。
设 abc1
式（1-7）
rr rr rr 111 c o s (a 1 ,n ):c o s (a 2 ,n ):c o s (a 3 ,n ) r:s:t
晶面与晶向
2、晶面指数
➢ 确定晶面指数的步骤
(1)确定坐标系:任取一格点为原点，以轴矢a、b、c为轴建立 坐标系x、y、z
(2)求截距:选取不经过原点的晶面，确定该晶面在各坐标轴上 交点的位矢ra、sb、tc，其中r、s、t就是截距。
(3)取倒数后化整数:将r、s、t的倒数连比,并化为互质整数h、 k、l，即1/r:1/s:1/t=h:k:l
二、晶面及其标志
1、晶面 ➢ 晶面:通过布喇菲格子中任意三个不共线的
格点所作的平面。 ➢ 无数个互相平行且等距离分布的全同晶面
组成晶面族,所有格点都处于该晶面族上。 ➢采用面间距和法线方向来表征晶面族。
面间距是一族晶面中相邻两个晶面间的距离ห้องสมุดไป่ตู้可用几何方法求出. 如正交晶系。
法线方向可由晶面在三个坐标轴上截距的倒数来表示，并用晶面 指数标志出来。
=u : v : w
(4)列括号：将所得互质整数依次列入方括号内,得晶向指数 [u v w].若某一指数为负,则在相应指数上加“-”号.如[ī00]
➢ 晶向指数实质上是晶向在三个坐标轴上投影的互质整数,它代表
了一族晶列的取向.同一族晶列可以有两个相反的晶向,因而对应
有两个晶向指数,如
[u v w]和 [u v w]
(1)A点的坐标值为½、½、-1、0 (2)化整数½:½:(-1):0=1:1:(-2):0 (3)晶向指数[1120] ➢ 求阴影晶面的晶面指数 (1)在四轴上的截距分别为、1、-1 、 (2)化整数:0、1、-1、0 (3)晶面指数(0110)
5、在六方晶系中,指数相同的晶向和晶面相互垂直,如 [0001](0001)。
(4)列括号:将所得各整数列入圆括号内,得到晶面指数(h k l)。 若晶面的某一截距为负值，则在相应的指数上加“-”号，若晶面 与某一坐标轴平行，则截距为，其倒数为0。例如(ī10)
晶向和晶面表示方法
晶向和晶面表示方法一、晶向的表示方法。
1.1 基本概念。
晶向啊，就像是晶体里原子排列的方向指示牌。
咱们得先确定一个坐标系，这就好比在城市里找路得先有个地图一样。
在晶体的晶格中，通过选择合适的坐标轴，就能确定原子排列的方向啦。
通常呢，我们用一组整数来表示晶向。
这组整数可不是随便乱写的，它是根据晶向在坐标轴上的截距得来的。
就像你要描述一个人在空间中的行走方向，得有个参照系一样。
比如说在简单立方晶格中，如果一个晶向在x、y、z 轴上的截距分别是1、1、1，那这个晶向就可以用[111]来表示。
这就像是给这个晶向取了个独特的名字，方便咱们在研究晶体结构的时候能准确地指出是哪个方向。
1.2 实际意义。
晶向这个东西啊，它在材料科学里可有着举足轻重的地位。
不同的晶向可能会影响晶体的物理和化学性质。
这就好比一个人的性格会受到成长方向的影响一样。
比如说在金属晶体里，沿着某些晶向原子排列比较紧密，电子在这个方向上的传导就可能会比较容易，这就使得这个方向上的导电性可能会更好。
这就像在一条宽敞平坦的马路上开车，肯定比在坑坑洼洼的小路上顺畅多了。
而且在晶体生长的时候，晶向也会影响晶体生长的形状和速度。
这就好比树木的生长方向会受到阳光、风向等因素的影响一样。
二、晶面的表示方法。
2.1 基本概念。
晶面呢，就是晶体里原子组成的平面。
咱们表示晶面也有一套自己的方法。
同样是先建立一个坐标系，然后根据晶面在坐标轴上的截距的倒数来确定一组整数。
这组整数就用来表示晶面啦。
这个方法可能听起来有点绕，但是只要理解了其中的原理就很简单。
比如说一个晶面在x、y、z轴上的截距分别是1、2、3，那么它的截距倒数就是1、1/2、1/3，然后把这些数化为互质的整数，这个晶面就可以用(321)来表示。
这就像是给晶面也贴上了一个独特的标签，让我们能准确地找到它。
2.2 与晶向的区别。
晶面和晶向可不能混为一谈啊。
晶向是原子排列的方向，而晶面是原子组成的平面。
这就好比道路和街区的关系，道路是方向，街区是平面。
晶面与 晶向(课件)
立方晶系中六个等同的{100}晶面、十二个等同的{110}晶 面、八个等同的{111}晶面。
(第四次实习内容)
12
4.3 晶向及晶向指数
什么是晶向？ 在晶体中任何一条穿过许多质点的直 线方向称为晶向。
确定晶向指数的三个步骤： 1)先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过晶胞原
点； 2)在这条直线上任取一点，求其在 x、y、z轴上的三
2，2，3→ 1，1，1 → 3，3，2 →（332） 223 6668来自9两种特殊情况：
1)当晶面和晶轴平行时，认为：该晶面与晶轴在 无 穷 远 处 相 交 ， 截 距 ∞ ， 1/∞=0 ， 因 此 晶 面 在 这个晶轴上的密勒指数为0，(110)表示与Z轴平 行 的 晶 面 ， (100) 表 示 平 行 于 YZ 平 面 的 晶 面 ， (001)表示平行于XY平面的晶面。
在六方晶系中，晶向最好用 a1、a2、c三个晶 轴坐标系统表示，即[uvw]， 但也有用a1、a2、a3， c四个晶轴坐标系统表示的即[uvtw],四个坐标指数 满足u+v+t=0的关系。
16
在具体确定晶向指数的时侯，选取与待定晶 向相邻近的两个a轴为独立晶轴，而与另一个a轴 相对应的晶向指数，则由 u＋v＋t＝0 来确定。
(0,0,0)表示处于顶点上的原子 ( 1 , 1 , 1 ) 表示处于体心上的原子
222
简单立方格子的原子坐标 (0,0,0)
3
体心立方格子：(0,0,0)
(1 , 1 , 1) 222
4
面心立方格子：(0,0,0)( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 )
个坐标，一般选取结点； 3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向
晶面与晶向（范文3篇）
晶面与晶向（范文3篇）以下是网友分享的关于晶面与晶向的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
晶面与晶向（一）晶向指数与晶面指数在晶体物质中，原子在三维空间中作有规律的排列。
因此在晶体中存在着一系列的原子列或原子平面，晶体中原子组成的平面叫晶面，原子列表示的方向称为晶向。
晶体中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方式和密度不同，构成了晶体的各向异性。
这对分析有关晶体的生长、变形、相变以及性能等方面的问题时都是非常重要的。
因此研究晶体中不同晶向晶面上原子的分布状态是十分必要的。
为了便于表示各种晶向和晶面，需要确定一种统一的标号，称为晶向指数和晶面指数，国际上通用的是密勒（Miller）指数。
一、晶向指数晶向指数是按以下几个步骤确定的：1．以晶胞的某一阵点为原点，三个基矢为坐标轴，并以点阵基矢的长度作为三个坐标的单位长度；2．过原点作一直线OP，使其平行于待标定的晶向AB（见图1），这一直线必定会通过某些阵点；3．在直线OP 上选取距原点O 最近的一个阵点P，确定P 点的坐标值；4．将此值乘以最小公倍数化为最小整数u、v、w，加上方括号，[uvw] 即为AB 晶向的晶向指数。
如u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。
图2给出了正交点阵中几个晶向的晶向指数。
显然，晶向指数表示的是一组互相平行、方向一致的晶向。
若晶体中两直线相互平行但方向相反，则它们的晶向指数的数字相同，而符号相反。
如[21]和[1]就是两个相互平行、方向相反的晶向。
图 1. 晶向指数的确定图 2.正交点阵中几个晶向的晶向指数晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用表示。
例如，对立方晶系来说，[100]、[010]、[001]和[00]、[00]、[00]等六个晶向，它们的性质是完全相同的，用符号表示。
如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序，所表示的晶向可能不是等同的。
例如，对于正交晶系[100]、[010]、[001]这三个晶向并不是等同晶向，因为以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c，沿着这三个方向，晶体的性质并不相同。
固体物理_晶面与晶向_2013
100 [100]、 [100] [010]、 [010] [001]、 [001]
课堂练习
1、画出立方晶系的如下晶向：
100 , 110 , 111 , 211 , 121
二、晶面
（一）定义： 通过布喇菲格子的任意三个不共线的格点 可以作一个平面，该平面将包含无限多个周期 性分布的格点，称之晶面。
相应的的指数由四个数字构成， 分别记为[uvtw]、(hkil)。
4、列括号 将上述各整数依次列入方括号内，即得晶向指数 [uvw]。若某一 坐标值为负数，则在相应的指数上加“—”号表示。
[100] [110]
[310]
[140]
（四）晶向族 由于对称性，由对称性联系着的晶向可以只是方向 不同，但它们的格点分布（规律）相同，因而可以视为 是等效的。 这些等效的晶面同一用 uvw 表示。
第五节
晶面与晶向
晶体各向异性 研究晶体的物理性质时，必须标明是位于 沿晶体的什么方向或什么方位的面上。
晶向
晶面
一、晶向
（一）定义： 通过布喇菲格子中任意两个格点连一直线， 这一直线将包含无限多个周期性分布的格点， 这样的直线称为晶向。
（二）特性： 1、周期性 一个晶向中必然包含着无限多个相同的格点， 晶向上格点的分布具有一定的周期性。 不同的晶向具有不同的周期性。
2、求坐标值 选出晶面族中不经过原点的晶面，确定该晶面在各坐标轴上 s、t 就是截距。 交点的位矢 ra 、sb 、tc ，r、 3、取倒数后化整数 将截距 r、 s、t 倒数连比，并化为互质整数 h、k、l 。 4、列括号 将上述各整数依次列入圆括号内，即得晶向指数 ( hkl )。若某一 坐标值为负数，则在相应的指数上加“—”号表示。
立方晶系中指数相同的晶面和晶向关系
立方晶系中指数相同的晶面和晶向关系在晶体学中，晶面和晶向是非常重要的概念。
晶面是指晶体中的平面，晶向则是指晶体中的方向。
在立方晶系中，有许多指数相同的晶面和晶向，它们之间的关系非常重要。
本文将介绍立方晶系中指数相同的晶面和晶向之间的关系及其应用。
一、晶面和晶向的定义晶面是晶体中的平面，它是由晶体中的原子、离子或分子排列构成的。
晶面可以用晶面族指数(hkl)来表示，晶面族指数(hkl)由三个整数(h,k,l)表示，表示晶面法线在晶体坐标系中的坐标。
例如，(100)晶面的法线在x轴上，(110)晶面的法线在x轴和y轴上，(111)晶面的法线在x轴、y轴和z轴上。
晶向是晶体中的方向，它是由晶体中的原子、离子或分子排列构成的。
晶向可以用晶向指数[uvw]来表示，晶向指数[uvw]由三个整数(u,v,w)表示，表示晶向在晶体坐标系中的方向。
例如，[100]晶向在x轴上，[110]晶向在x轴和y轴上，[111]晶向在x轴、y轴和z轴上。
二、立方晶系中指数相同的晶面和晶向在立方晶系中，有许多指数相同的晶面和晶向。
这些指数相同的晶面和晶向之间有着特殊的关系，它们可以互相转换。
下面是一些常见的指数相同的晶面和晶向：1. 晶面和晶向(100)晶面和[100]晶向(110)晶面和[110]晶向(111)晶面和[111]晶向2. 晶面和晶向族(100)晶面族和[100]晶向族(110)晶面族和[110]晶向族(111)晶面族和[111]晶向族这些指数相同的晶面和晶向之间的关系可以用下面的公式表示： (100)晶面与[100]晶向：[uvw]=h[100]+k[010]+l[001](110)晶面与[110]晶向：[uvw]=h[1-10]+k[110]+l[001](111)晶面与[111]晶向：[uvw]=h[1-11]+k[11-2]+l[111](100)晶面族与[100]晶向族：[uvw]=h[100]+k[010]+l[001](110)晶面族与[110]晶向族：[uvw]=h[1-10]+k[110]+l[001](111)晶面族与[111]晶向族：[uvw]=h[1-11]+k[11-2]+l[111] 其中，h、k、l为整数，[uvw]为晶向，[100]、[010]、[001]、[1-10]、[110]、[1-11]、[11-2]、[111]为晶向基矢量，它们分别与晶格常数a有关。
《讲晶面和晶向》课件
晶面的符号表示和表达方法
晶面可以用米勒索引、穆勒索引或汉索式表示。米勒索引是使用方向余弦表示，穆勒索引是使用坐标轴上的直 线截距表示，而汉索式是使用晶体的理想晶面来表示。
晶向的表示和计算方法
晶向可以用布拉维指数法或符号法表示。布拉维指数法使用整数序列来表示 晶向，而符号法使用希腊字母和方向余弦来表示。
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欢迎大家来到本次关于晶面和晶向的课程。本课程将带您深入了解晶面和晶 向的定义、符号表示、计算方法，以及它们在晶体结构分析中的应用。让我 们一起开始探索晶体世界的奥秘吧！
晶面和晶向的定义
晶面是晶体中原子排列相对规则的表面，具有特定的晶面间距和晶面角度。 晶向是晶面的延长线方向，用来描述晶体中原子间的相对位置和排列方向。
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案例三
使用扫描电镜观察晶胞参数和晶面形貌，研究矿物颗粒的晶体生长机制。
总结和要点
晶面和晶向是晶体结构 分析的重要概念。
它们可以用来描述晶体中原 子的相对位置和排列方向。
晶面的符号表示和计算 方法
可以使用米勒索引、穆勒索 引或汉索式。
晶向的表示和计算方法
可以用布拉维指数法或符号 法表示。
晶面和晶向的关系
晶面是晶向的延长线经过相邻原子所形成的表 面。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
可用于确定晶体的晶系、解析晶格常数、预测 物理性质等。
晶面和晶向的关系
晶面和晶向之间存在一种对应关系，晶面是晶向的延长线经过晶体中的相邻 原子后所形成的表面。 通过研究晶面和晶向之间的关系，我们可以更好地理解晶体的结构和性质。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
1 确定晶体的晶系和结 2 解析晶格常数和晶胞 3 预测晶体的物理性质
固体物理与半导体物理第一章 晶格结构-晶面晶向
一. 晶向符号(三轴，如立方)
用三指数u，v，w表示晶向符号。 确定三轴坐标系下晶向指数［ｕｖｗ]的步骤如下： (1)设坐标 以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x, y , z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。
立方 晶系 中阵 点坐 标
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(2) 求坐标 过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。在直线 OP上任取（除原点外）一个阵点P，确定P点的3个坐 标值X、Y、Z。
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<111>=?
<111>=[111]+[111]+[111]+[111]＋ [TT1]＋[1TT]＋[T1T]＋[TTT] 晶向族:任意交换指数的位置和改变符号后的所有指数。
<112>=?
<123>=?
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二. 晶面指数(三轴，如立方)
晶面符号中应用最广的是米氏符号，由英国学者米勒尔在 1839年创立。 1、确定立方晶系晶面指数（ｈｋｌ）的步骤如下: 设坐标： 在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时 相同；原点设在待求晶面以外。
e.g., x-axis [100] y-axis [010] z-axis [001]
[110]
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若原点不在待标晶向上，还可以这样操作：
（1）找出该晶向上两点的坐标(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2); （2）将(x1-x2)，(y1-y2)，(zl-z2)化成互质整数u，v，w; （3）满足u：v：w＝(x1一x2)：(y1一y2) ：(zl—z2)。
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晶面间距的计算
晶面间距可根据一些几何关系求得
h、k、l为晶面指数（hkl），a、b、c为点阵常数， α、β、γ为晶面法线方向与晶轴夹角。
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矢量为 n 。则这族晶面中，离开原点的距离等于 d
的晶面的方程式为：
X n d 式（1-5）
为整数； X 是晶面上任意点的位矢。
设此晶面在三个坐标轴上
的截距分别为 r 、s 和 t，即交
点A、B和C的位矢就分别 是：ra 、sb 和 tc 。
1、画出立方晶系的如下晶向：
100,110,111,211, 121
二、晶面
（一）定义： 通过布喇菲格子的任意三个不共线的格点
可以作一个平面，该平面将包含无限多个周期 性分布的格点，称之晶面。
（二） 特性
1、 对于某已知晶面，通过不在该晶面的任一格点可以做全同 的晶面与该晶面平行； 依次类推，会有许多全同的晶面与该晶面平行，它们构成一族 平行晶面族。 因此，所有格点都在该平行晶面族上。 2、对于某一特定的晶面族，该晶面族中的所有晶面不仅平行， 而且等距。
确定晶向指数的步骤：
1、确定坐标系 取任一格点为坐标原点O，以轴矢 a、b、c为轴建立坐标系； 2、求坐标值 在通过原点的晶列上，求出沿晶向方向上任一格点的位置矢 量 u'a v'b w'c 。u'、v'、w'为坐标值。
3、化整数 将 u'、v'、w' 化为互质整数 u、v、w ，并使 u'：v'：w' u：v：w 。 4、列括号 将上述各整数依次列入方括号内，即得晶向指数 [uvw]。若某一 坐标值为负数，则在相应的指数上加“—”号表示。
这些等效的晶面同一用{hkl}表示。
(110) 面等效的晶面数分别为：2个
(111) 面等效的晶面数分别为：8个
பைடு நூலகம்表示为 {100} 表示为 {111}
课堂练习
2、画出立方晶系的下列晶面：
100 , 110 , 111 , 211 , 121
三、六角晶系的晶向指数和晶面指数
采用四轴坐标系确定六方晶系的晶向指数和晶面指数。
设 a1、a3、a3 三个轴位于同一底面，互成120°角，轴上的
度量单位为六方底面的棱边长度，即晶格常数a。
OO’轴垂直于底面，其度量单位为六 方原胞的高，即晶格常数c。
晶向指数与晶面指数仍按前述 方法确定。
相应的的指数由四个数字构成， 分别记为[uvtw]、(hkil)。
晶向上格点的分布具有一定的周期性。 不同的晶向具有不同的周期性。
2、不唯一：
通过任何其他格点都有一个晶列与原晶列平行， 且具有相同的周期，这些平行的晶向组成了一个晶 列族。
它将空间中所有的格点都包括在内。
3、无限多：
通过一个格点可以有无限多个晶列，其中，每一个 晶列都有一族平行的晶向与之对应。
（三）晶列的表示--------晶向指数
交点的位矢 ra 、sb 、tc ，r、s、t 就是截距。
3、取倒数后化整数
将截距 r、s、t 倒数连比，并化为互质整数 h、k、l 。
4、列括号
将上述各整数依次列入圆括号内，即得晶向指数 (hkl)。若某一
坐标值为负数，则在相应的指数上加“—”号表示。
（四）晶面族
由于对称性，有些晶面是等效的，它们的面间 距和晶面上格点的分布完全相同。
c b
根据式（1-5）
a
X n d
为整数；X 是晶面上任意点的位矢。
将它们依次代入式（1-5）就得到：
ra1 cos(a, n) ud sa2 cos(b, n) ud ta3 cos(c, n) ud
cos(a, n) : cos(b, n) : cos(c, n) a : b : c rst
同一个空间点阵，两组不同的晶面族
（三）晶面的表示-------晶面指数
d a
d 2 2a
d 3 3a
为了描述布喇菲格子中某一晶面族的全部特征，并 将这个晶面族与其它晶面族区分开，就必须给出晶面族 的面间距和法线方向。
选取某一格点为坐标原点，以固体物理学原胞的 三个基矢为坐标系三个坐标轴。
设 a b c 1 1 11
cos(a1, n) : cos(a2, n) : cos(a3, n) r : s : t
式（1-7）
晶面法线的方向余弦之比等于该晶面在三个基矢方向上的 截距的倒数之比。
确定晶面指数的步骤：
1、确定坐标系 取任一格点为坐标原点O，以轴矢 a，b，c 为轴建立坐标系； 2、求坐标值 选出晶面族中不经过原点的晶面，确定该晶面在各坐标轴上
第五节 晶面与晶向
晶体各向异性
研究晶体的物理性质时，必须标明是位于 沿晶体的什么方向或什么方位的面上。
晶向
晶面
一、晶向
（一）定义： 通过布喇菲格子中任意两个格点连一直线，
这一直线将包含无限多个周期性分布的格点， 这样的直线称为晶向。
（二）特性：
1、周期性 一个晶向中必然包含着无限多个相同的格点，
[110] [310]
[100] [140]
（四）晶向族
由于对称性，由对称性联系着的晶向可以只是方向 不同，但它们的格点分布（规律）相同，因而可以视为 是等效的。
这些等效的晶面同一用 uvw 表示。
100 [100]、[100] [010]、[010] [001]、[001]
课堂练习