西城区2010 2011度第一学期初三期末数学试题及答案北区

北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）
九年级数学2011.1
1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

考生2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

须3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

知一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．．．2??.1. 抛物线）的对称轴为
（2x?1y??
2??2x??1x??1xx B．直线 D CA．直线．直线．直线，上，若∠C=15°AB为⊙O的直径，点C在⊙O2. 如图，.）则∠BOC =（
D．15°C．30°．A60°B．45°
×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都3. 如图，在8是1，
若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则）.∠ACB的值为（tan
112．CB．A． 1 D．22322ky?x??6x?11ya(x?h)?.
化成）4．用配方法将的形式为（
222x?3)?x?3)y?2?(y?( A ．B．
222?3)??2y?(x(y?x?6) ．C．D
CAB的三边分别扩大一倍得到△5．如图，将△ABC 111 P点为位似中心的（顶点均在格点上），若它们是以）.点的坐标是（位似图形，则P3)?(4,?3)?3,(?．A． B
4)(4)?3,?(?4,?．D C．
. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这6x x100?2P?. （元）满足关系：P（件）与每件的销售价种商品每天的销售量200元的利润，根据题意，下面所列方程若商店在试销期间每天销售这种商品获得）.正确的是（
2002x)?x(10030)(100(x??2x)?200? A． B ．
200?100)?30)(2(x???(30?x)(1002x)200x C．D．
12 （共页西城区九年级数学第一学期期末试卷第1 页）
AB相切，=30°，⊙O与如图，△OAB中，OA=OB，∠A7. . 两点，连接CD于C，D切点为E，并分别交OA，OB32 ）.的面积等于（若CD 等于，则扇形OCED16248 ．πDC．πππB．． A 3333 O为圆心，，
点P在以如图，OA=4，线段OA的中点为B8.
也落在.当点QOB为半径的圆上运动，PA的中点为Q .）上时，cos∠OQB的值等于（⊙
O1121 B．A．C．D．2433
二、填空题（本题共16分，每小题分）4 E，D分别交AC，BC于点，DE9. 如图，在△ABC 中，∥AB . CDE，=2CD=3，则△与△CAB的周长比为若AD
3cm. 两圆的半径分别为和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为.
10
(2,0) ，以OA，为半径作⊙A11. 如图，平面直角坐标系xOy中，点O P的坐标为菱形，则点若点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB.
为
00???a?bca4?b2；（2（a ≠012．抛物线）满足条件：1））；（cy?ax?bx?0a?）与（3x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；cc0c????c0ab?a?，其中所有正确结论的序号是；④．②；③34
题分，第题每小题～175186分）分，第三、解答题（本题共3113
2??3sin606tan30???cos45 ．13．计算：20?3axx?4??x有实数根．的方程．若关于14的取值范围；）求（1a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．）若2（a
ABC°，∠=中，∠△Rt．已知：如图，在15ABCC9060°，=
3 AB2=延长线上一点，且CB为，AC=DBD．的长．AD求页第西城区九年级数学第一学期期末试卷2 页）12 （共
2
1,0)(? A．右图为抛物线，的一部分，它经过16cy??x??bx(0,3) 两点．B 1）求抛物线的解析式；（个单位，（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1 求平移后的抛物线的解析
式．
如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B17.
的俯角为60°，热气球与高的仰角为45°，看这栋高楼底部C 2 AD楼的水平距离为50m，求这栋楼的高度.1.414（，取 3 1.732）取2.18．对于抛物线3?4x?y?x；，顶点坐标为
（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x ……y ……
的一元二次方程（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x
72的范围内有x＜（t为实数）在＜0??tx?4x?31?2．解，则t的取值范围是
5分）四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题，．已知：如图，在△19ABC中，
AB=AC= 5，BC= 8E分别为．=∠CBC，AB边上一点，∠ADED，∽△CAD；BDE （1）求证：△
BE的长．2）若CD=2，求（
，DE所示摆放在直线l上，=2ABCD20．两个长为2，宽为1的矩形和矩形EFGH如图1???90?0??逆时针绕点E）ABCD将矩形绕点D顺时针旋转角（，将矩形EFGH 旋转相同的角度．的DCEC，点到直线=°2C （1）当两个矩形旋转到顶点，F重合时（如图），∠?；°距离等于，=
重合部分为正方形时，EFGH3（2）利用图思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形?°．=
西城区九年级数学第一学期期末试卷第页）12 （共页3
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于
. D=∠BFCF，连接BF，CF，∠点E，交⊙O于点O的切线；）求证：AD是⊙（11.，求AD 的长tan2）若AC=8，B =（ 2
．请阅读下面材料：222c??bxy?ax),yA(x),yB(x）上不同的两点，证明直线0，若是抛物线（a ≠0102x?x21?x. 为此抛物线的对称轴 2 有一种方法证明如下：2c??y?axbx)xA(,y)B(x,y ，
证明：∵（a 是抛物线≠0）上不同的两点，01022?,?c?ax?bx y ①?110xx ≠. 且∴?12②2,?c?ax?bx y??202220)?x?x?x)?bxa(( .①-②得2211??0?b?(x?x)(x?x)a .∴2211b?x?x?. ∴21ab2c?bx??yax?x?，（a 又∵抛物线≠0）的对称轴为a2xx?21?x. ∴直线为此抛物线的对称轴22c?bxy?ax?)yNM(x,y)(x,，是抛物线a （1）反之，如果≠ 0）上不同的
（2121x?x21xx?x时函数值相等为该抛物线的对称轴，那么自变量取两点，直线，122吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；．．2）利用以上结论解答下面问题：（21??bxy?x 求时的函数值相等，已知二次函数时的函数值与= 4x = 2007当x
.
= 2012时的函数值x
12 （共页西城区九年级数学第一学期期末试卷第4 页）
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
2?(m?1)x?2)x?m?0(m.（其中m为实数）已知关于23. x的一元二次方程
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
①当k = m时，求m的值；
15??2kkm(?) 的关系式；②若记y与m为y，求k1＜m＜2）当2时，判断此方程的实数根
的个数并说明理由.（42（其中a ≠c且a ≠0）. 24已知抛物线.c)x??(a?cy?ax（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
a?c，2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为（k?x?y?)?(c,B a 求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与y轴的交点为C，若k?y??x1，求点P的坐标；POCtantan?POB??4（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，1n?记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为. ?角C顺时针旋转=30°.将其绕直角顶点含30°角的直角三角板ABC中，∠A25. ??，??1200??边与AB所在直线交于点（D，过点90°），得到Rt△且≠C'B'AC'AD作DE∥交边于点E，连接BE. ''BA'CB?= °B（1）如图1，当边经过点时，；'BA'（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；1S S=EB为半径作⊙E，当以点=，ADx，△BDE的面积为S，E为圆心，BC）（3 设=1ABC?3C'A E 时，求AD的长，并判断此时直线的位置关系.与⊙
西城区九年级数学第一学期期末试卷第 5 页（共12 页）
北京市西城区2010 —2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准2011.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1 2 3 4 5 6 7 8 题号C
A
A
C
B
B
D
A
答案二、填空题（本题共16分，每小题4分）
3(?1,3)(?1,?3).（每个，相交.10. . 11.2分）9.512.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）
三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）
230??3sin60?6tan?cos45?13．解：332 2……………………………………………………………3 分?3?)?6?(?32232?2??
2212. ……………………………………………………………………………5分??
222?4(3?a??4)?4?4a.……………………………………………………1．解：14（1）分
∵该方程有实数根，
4?4a≥0．…………………………………………………………………2∴分
?1．……………………………………………………………………≥3分解得
a?1．…………………………………4分2）当a为符合条件的最小整数时，a =
（2?4x?4?x0x?x??2．…………………，方程的根为此时方程化为5分21
3 AC=，90°，∠ABC=60°，Rt15．解：在△ABC中，∠C=AC，BC=1．……………………∴2分2?AB?sin60?1
图∵D为CB延长线上一点，BD=2AB ，
∴BD=4，CD=5．…………………………………………………………………4分
22?27?ACAD?CD．……………………………………………………5分∴
(?1,0)(0,3)两点，）∵抛物线经过A，B16．解：（1
?1?b?c?0,?……………………………………………………………1分∴?c?3.?
b?2,?…………………………………………………………………2分解得?3.c?
?2．……………………………………3 抛物线的解析式为分∴3?y?x?2x?西城区九年级数学第一学期期末试卷第6 页（共12 页）
2(1,4) 的顶点坐标为2）∵抛物线，（3??2y??xx2,3)(?∴平移后的抛物线的顶点坐标为．
221x?x????(x?2)4?3?y 5分．…………∴平移后的抛物线的解析式为
，BDA=90°，∠BAD=45°17．解：在Rt△ABD中，∠
…………………………………………2分∴BD=AD=50(m)．
=60°，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD
3?50CD?3AD 4分∴(m) ．………………………………35050?136.6?3?50(?1)
分(m)=．……5 ∴BC= BD+CD
2
图．答：这栋楼约高136.6 m
(0,3),0),(3,0)(1，顶点坐标为，与y）它与x轴交点的坐标为轴交点的坐标为18．解：（1
1)(2,?；………………………………………3分
）列表：（24 2 3 x 0 1 ……
3 0 3 0 -1 y ……
分……………………………4 分……………………………5 图象如图3所
示．
3
图8t??1? 6分（3）t的取值范围是．……………………分）4分，其余每小题519四、解答题（本题共分，第20题，AB=AC19．（1）证明：∵
分C．……………………………1 ∠B=∠∴
，∠CADADB =∠C+∠∵∠ADE+BDE=∠ 4 图，∠C ∠ADE= 分………………………………………………………2∠CAD．∴∠BDE =
3分CAD．………………………………………………………∴△BDE∽△
ACDB 4分．…………………………………………………………2 （）解：由（1）得?
CDBE ，，CD=2= 5AB=AC，BC= 8 ∵
6?BC?CDDB?．∴
2?CD6DB?．5 ∴分……………………………………………… 2.4?BE??
5AC?3 3分；到直线l的距离等于，…………………= 30 °DCE20．解：（1）∠= 60 °，点C?分………………………………………………………………………4（2）= 45 °．，于点EAC1）证明：∵OD⊥
21．（
90°．=1+∠2∠∴OEA=90°，∠1，，∠BFC=∠D=∵∠∠BFC ．OAD =90°，∠90°2∴∠D +∠=
西城区九年级数学第一学期期末试卷第7 页（共12 页）
5
图
∴OA⊥AD于点A．………………………1分
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线．……………………2分
解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O （2）的弦，AC=8，
AC∴．………………………………………………………3分4?AE?EC?21∵，B =，tan∠B=∠C21∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．2∴EF?EC?tanC?2．
OE?r?2．的半径为r，则设⊙O
222222AE??OAOE42)??(rr?．，即OAE中，由勾股定理得在Rt△
解得r =5．……………………………………………………………………4分
AE4∴在Rt△OAE中，．??tan?2OE3420∴分………………………5OAD中，．在Rt△2?OA?tan?5??AD?33xx时函数值相等．……………………………………1分22．解：（1）结论：自变量取，122?bx??axcy)y(x,)M(x,yN
上不同的两点，，证明：∵为抛物线21122?,c??bx y?ax ①?111xx．且≠
由题意得?122 y?ax?bx?c,②??222??22b?x)a(xx)?(x?x)?y?y?a(x??x)b(x?.
①-②，得2112112212……………………………………………………………2分
x?x2?bx??axcy（a ≠0）的对称轴，∵直线是抛物线21?x2x?xb. ∴
21???x22ab ∴.?x??x
???b0?x)?(xx)?a(x?yy?y?y.………………∴3分，即21212121（阅卷说明：其他代21a
数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而
没有用代数方法进行证明的不给分）
2?bxx?1y?当x = 4 （2）∵二次函数时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，
201121bxxy???.的对称轴为直线由阅读材料可知二次函数∴?x22011b2011?b?，∴ .??222?2011x?x?1y. …………………………………4二次函数的解析式为
∴分
西城区九年级数学第一学期期末试卷第8 页（共12 页）
20112012?(?1)，∵?22x??1时的函数值相等x = 2012的函数值与. 由（1）知，当2?2011?(?1)?1(?1)?20111?，当∵x =时的函数值为
∴当x = 2012时的函数值为2011. …………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
2?(m?1)x?(m?2)xm?0的实数根，为1）∵k23.解：（2?(m?1)k?m?2)km?0(.※…………………………………………1∴分
①当k = m时，
∵k为非零实数根，
(m?2)m?(m?1)?1?0.，得0，方程※两边都除以m∴m ≠2?3m?2m?0.
整理，得
解得，. ………………………………………………………2分2m?m?1212?(m?1)x?m?0x(m?2)是关于∵x的一元二次方程，
∴m ≠2.
∴m= 1.……………………………………………………………………3分
（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）
②∵k为原方程的非零实数根，
m.…………………4分将方程※两边都除以k，得∴01)??(m?2)k?(m?k1 . 整理，得1??2k?mm(k?)k1 5分.∴……………………………………………4?)y?m(k??2k?5?m
k22.………6分（2）解法一：1m(m?2)?2)??3m?6m?1??3(??[?m?1)](?4mm?1当＜m＜2时，m＞0，＜0. 2m?4∴＞0，＞1＞0，Δ＞0.
1?3m(m?2)?2)?m(m?31∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.……………7分
412?(m?1)x(m?2)x?my?的图象，时，函数m＜2 解法二：直接分析＜4∵该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，
∴该抛物线必与x轴有两个不同交点. …………………………6分
1∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.……………7分4222.…………6分解法三：4m16m???3(?1)?m?2)mm1)]m???[(??4(??3?西城区九年级数学第一学期期末试卷第9 页（共12 页）
2关于m的图象可知，（如图结合6）4???3(m?1)?137当＜m≤1时，＜≤4；?416
4.时，1＜＜m当1＜＜2?1.
＞0m＜2时，∴当＜?41.
2时，此方程有两个不相等的实数根当＜m＜∴
4 …………………………………………7分6
图2的方程轴交点的横坐标是关于x）抛物线与x24.解：（1c(a?c)x?y?ax?2）的解.a ≠c（其中a ≠0，0axa?(?c)x?c?c. …………………………………………………………1分解得，
1x??x12ac(1,0)，.………………………………2 抛物线与x轴交点的坐标为分∴,0)(
a2)c(a?a?c2.的顶点A的坐标为（2）抛物线c?c)xy?ax?(a?),?(a42aa?c ，经过此抛
物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为∵k?x?y?)c(,?B a
①2?cac)?a(?,????k ?a24a?c?a?②,???k ?c?? a ?ca?a?c?③
2.?cc)?(a?)?a ?c?(?aa?由③得c
=0.……………………………………………………………………3分
a1?,??k???将其代入①、②得24??.? 0?1?k?解得.
2?a?2.……………………………………4所求抛物线的解析式为分∴x?y??2x2
（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F.（如图7）
112的顶点A的坐标抛物线，)(,xx?2y??222(1,0)(0,1). C的坐标为点B的坐标为，点(m,n).设点P的坐标为2上，轴上方的抛物线点P在x∵xx2?y??2图7
12＜1，.＜，且∴0m m22n??m??n0?2西城区九年级数学第一学期期末试卷第10 页（共12 页）PEnPFm，∴.?POC?tan?POB??tan?nOEmOF1 ∵，POC?tan?tan?POB
422n?m4.
∴n2??m分………………………………………………或5（舍去）.解得m=2n，22. ，得将m=2n代入02mn8n??n??2m3?3.
（舍去）解得，0?n?n2183?m?2n. ∴433)(, . 的坐标为…………………………………………………………6分∴点P84 分………………………………………………7 （4）N关于n的函数关系式为N=4n .
2为正整数）的范围内取n＜（说明：二次函数在的自变量xn≤x1n?x2x2?y??的增大而减小，随x 值，此时y22≤∴，＜y n?2nn?2n?2?2222.
，…其中的整数有，n?2n??2n??2n2?2n?1?2n222.
n4n)2(?n??N?(?2n2?2n)??60 °；…………………………………………分边经过点25.（1）当B时，1= 'BA'=2；m，点D在AB边上时，（2）猜想：①如图8.
=4AB，点D在的延长线上时，m ②如图9（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜
想结论不设给分点）
??0??90?.
）在AB边上（如图8时，点D证明：①当?、的取值范围不扣分）②两种情况没写（阅卷说明：①DE∥，∵''BACECD .∴???CBCA.
ACD=，∠∠BCE，由旋转性质可知，CA =CB= ''CBCA
CECD ∴.?CBCA CBE.……………2分△∴CAD∽△.
∠A =∠30°CBE=∴8
图CBD=60°，D∵点在AB边上，∠CBE2??CBD?分，即m∴
=2. ………………………………………3???12090??.的延长线上（如图在AB9）时，点D当②.
∠CBE=30°A =与①同理可得∠??180??CBA?120?CBD?的延长线上，，ABD∵点在
CBE?4?CBD? 4m，即=4. ∴……………………………………分
.）问用四点共圆方法证明的扣1分）2（阅卷说明：第（BC=1，，A90°中，∠△）解：在（3RtABCACB=，∠=30°（共西城区九年级数学第一学期期末试卷12 页）11 第页
9
图
33?AC. ，，∴AB = 2 ?S ABC 2BEAD. CBE 得由△CAD∽△?
BCAC ，=x ∵AD3BEx，. ∴?BEx?313x?AD?2?BD?AB ，，∠DBE=90°.①当点D在AB边上时，AD=x2x3??3x2113x.此时，??S?Sx)?BD??BE?(2
BDE 6232
1.
23x2?3x3?
时，S = 当?S ABC?66320?x?x1?2 .整理，得10
图1?x?x分，即AD 解得=1.…………………521）.CBE（如图1060°，∠BCE=30°=∠
此时D为AB中点，∠DCB=
.
EC = EB∴
边上，，点E在∵'CB?'?90?A'CB.
EB等于⊙E的半径圆心E到的距离EC ∴CA'C'A 分…………………………………………………6E相切∴直线.与⊙
2??xBD .9=x，）DBE=90°.（如图，∠②当点D在AB的延长线上时，AD
.??S?S2)?x?BD?BE?(BDE 6232
2x23x3?113x
1. =时，当S ?S ABC?66320??1x?2x 整理，得.
23233xx?
2???12x?x1.
解得，（负值，舍去）212?1+AD7分即.………………………………………………………………
??????12090=30°，，而，∠CBE此时∠BCE=.
BCE ∠CBE＜∠∴
.
的半径EBEC小于⊙E的距离＜∴ECEB，即圆心E到CA'C'A分8.∴直线……………………………………………………相交与⊙E
西城区九年级数学第一学期期末试卷第12 页（共12 页）。