考研数学三真题和详解

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设曲线()n

f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ,则lim

()n n f ξ→∞

= .

(2)

2ln 1

x dx x -=⎰ .

(3) 差分方程121050t t y y t ++-=的通解为 .

(4) 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-,其中100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,E 为单位矩阵,*

A 为A 的

伴随矩阵,则B = . (5) 设1234,,,X X X X 是来自正态总体()2

0,2N

的简单随机样本,()2

122X a X

X =-+

()2

3434b X X -.则当a = ,b = 时,统计量X 服从2χ分布,其

自由度为 .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设周期函数

()f x 在(),-∞+∞内可导,周期为4.又()()

11lim

1,2x f f x x

→--=-则曲线

()y f x =在点()()5,5f 处的切线的斜率为 ( ) (A)

1

2

(B) 0 (C) 1- (D) 2- (2) 设函数()21lim ,1n

n x

f x x →∞+=+讨论函数()f x 的间断点,其结论为 ( )

(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点1x = (C) 存在间断点0x = (D) 存在间断点1x =-

(3) 齐次线性方程组212312312

30,0,0

x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪

++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵0B ≠使得

0AB =,则 ( )

(A) 2λ

=-且||0B = (B) 2λ=-且||0B ≠

(C) 1λ=且||0B = (D) 1λ=且||0B ≠ (4) 设()3n

n ≥阶矩阵

11

11a a a a a a A a

a a a

a

a

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

, 若矩阵

A 的秩为1n -,则a 必为 ( )

(A) 1 (B) 11n - (C) 1- (D) 1

1

n -

(5) 设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数.为使()12()()F

x aF x bF x =-

是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )

(A) 32,55a b ==- (B) 22

,33a b == (C) 13,22a b =-= (D) 13

,22

a b ==-

三、(本题满分5分)

设arctan

2

2

()y

x

z x y e -=+,求dz 与2z

x y

∂∂∂.

四、(本题满分5分)

设(){}

2

2,D x y x

y x =

+≤,

求D

.

五、(本题满分6分)

设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定0t

=)就售出,总收入为0()R 元.如果窖藏起

来待来日按陈酒价格出售,t

年末总收入为0R R =假定银行的年利率为r ,并以连续复利计

息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求0.06r =时的t 值.

六、(本题满分6分)

设函数()f x 在

[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0.f x '≠试证存在,(,),a b ξη∈使得

七、(本题满分6分)

设有两条抛物线

21y nx n =+

和21(1)1

y n x n =+++,记它们交点的横坐标的绝对值为.n a

(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n S ；

(2) 求级数

1n

n n

S a ∞

=∑的和. 八、(本题满分7分)

设函数()f x 在[1,)+∞上连续.若由曲线(),y f x =直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成

的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 试求

()y f x =所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件2

2

9

x y

==

的解. 九、(本题满分9分)

设向量1212(,,,),(,,,)T T n n a a a b b b αβ==都是非零向量,且满足条件0.T αβ=记n

矩阵.T

A αβ=求： (1) 2A ；

(2) 矩阵A 的特征值和特征向量. 十、(本题满分7分)

设矩阵101020,101A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

矩阵2

(),B kE A =+其中k 为实数,E 为单位矩阵.求对角矩阵Λ,

使B 与Λ相似,并求k 为何值时,B 为正定矩阵. 十一、(本题满分10分)

一商店经销某种商品,每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值. 十二、(本题满分9分)

设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.

(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p ；

(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q .

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】

1e

【解析】曲线n

y x =在点(1,1)处的切线斜率1x y ='()

1

n x x ='

=1

1

n x n x n -===,根据点斜式,

切线方程为：

令0y =,代入1(1)y n x -=-,则11x n =-

,即在x 轴上的截距为11n n ξ=-, lim ()n n f ξ→∞lim n n n ξ→∞=1lim(1)n n n →∞=-()()11lim(1)x x x --→∞=-1

e

=.