联合熵与条件熵

第6讲 联合熵与条件熵

信息熵H(X)反映了随机变量X 的取值不确定性。当X 是常量时，其信息

熵最小，等于0；当X 有n 个取值时，当且仅当这些取值的机会均等时，信息

熵H(X)最大，等于log n 比特。我们拓展信息熵H(X)的概念，考虑两个随机

变量X 和Y 的联合熵H(XY)和条件熵H(Y|X)。

1. 联合熵

设X ，Y 是两个随机变量， 则(X,Y)是二维随机变量，简写为XY 。

二维随机变量XY 的联合概率分布记为p (xy )，即

根据信息熵的定义可知，XY 的信息熵为

定义 1.1 二维随机变量XY 的信息熵H(XY)称为X 与Y 的联合熵（joint

entropy ）。

它反映了二维随机变量XY 的取值不确定性。我们把它理解为X 和Y 取值的

总的不确定性。

练习：

假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。甲里面有红蓝色球

各50个，乙里面红、蓝色的球分别为99个和1个。试计算H(XY)

我们将联合熵概念推广到任意多离散型随机变量上。

定义1.2 一组随机变量12,,,N X X X 的联合熵定义为

注：为了简化记号，我们有时把12

N X X X 记为X N ，把12N x x x 记为x N 。

物理意义：

（1）12()N X H X X 是这一组随机变量平均每一批取值 所传递的信息量。

（2）若N-维随机变量12

N X X X 表示某信源产生的任意一条长度为N 的消息，则12()N X H X X 是平均每条长度为N 的消息的信息量。因此，若该信源产生一

个长度为N 的消息，则在不知道其它条件的情况下，对该消息所含信息量的最

优估计为N-维信息熵12

()N X H X X 。

联合熵的性质： 联合熵熵函数的一种特殊形式，所以熵函数的任何数学性质都适用于联合

熵，包括：非负性、可加性、严格上凸性和最大离散熵原理，等等。

当然，联合熵还有自己的特殊性质。

定理1.4（联合熵的独立界）2121()()()()N N H X X H X H X H X X ≤+++

其中等号成立的充要条件是所有随机变量相互独立。

证明：这里仅证明()()()H Y X X H H Y ≤+，一般情形可类似证明。

设对于XY 的联合分布为p (xy )，X 和Y 的概率分布简记为p (x )，p (y )。

由于

我们有

注意，()()p x p y 构成一个概率分布。应用信息不等式可得

其中等号成立的充要条件是()()()p xy p x p y =，即X 与Y 相互独立。 证毕

2. 条件熵 条件自信息：1(|)log (|)

I y x p y x = 对于任何取值x ，|Y X x =是一个带条件的随机变量，其信息熵为

再对所有x 求熵的平均值可得如下条件熵：

定义2.1 设X ,Y 是两个离散型随机变量，联合分布为p (xy )。X 相对于Y 的条件

熵H (X|Y )

定义为条件自信息I (X|Y )的期望，即

物理意义：H (X|Y )表示在已知Y 取值的前提下，X 取值的不确定性，亦即X 的

每个取值平均所提供的与Y 无关的信息量。

定理2.2（条件熵非负性）对于任何离散型随机变量X 与Y ，都有H(Y|X) ≥0，

其中等号成立当且仅当Y 是X 的函数，即X 的取值可确定Y 的取值。

证明根据定义

由于上述加式中各加项都≤0，所以该加式=0的充要条件是各加项=0，即对于任何x和y，p(y|x)=1或者p(y|x)=0，亦即对于任何x，P(Y|x)是退化分布。这表明当X的取值确定时，Y的取值随即确定，即Y是X的函数。证毕

定理2.3（熵的链法则）对于随机变量序列X1,X2,…和任何N≥1

简记为

其中H1=H(X1)，H2=H( X2|X1)，…，H N=H(X N|X1X2…X N-1)。

证明：首先根据定义直接可得

H(XY)= H(X)+H(Y|X)

应用上述等式，对N用归纳法可证明熵的链法则。细节略。

证毕

意义：将多个随机变量的联合熵转化为这些随机变量的条件熵之和，可简化计算。

注：链法则与熵的可加性是等价的。

思考：

下列不等式是否成立，其中各等号成立的充要条件是什么？

这个性质说明什么？请读者尝试命名该性质。

定理2.4（条件熵递减性）对于任何随机变量X和Y，有

H(Y|X)≤ H(Y)

其中等号成立的充要条件是Y与X相互独立。

证明一：根据链法则，

H(XY)=H(X)+H(Y|X)

再根据联合熵的独立界定理，立刻可得

H (Y |X )≤ H (Y )

其中等号成立的充要条件是

X 与Y 统计独立。 证毕

在条件熵中，条件越少，熵值越大。相反，条件越多，熵值越小。这可理解为，我们知道的越多，则事物的不确定性越小。

证明二：应用Jessen 不等式证明。 证毕

3. 计算公式

令X ，Y 为离散的随机变量。

公式1. (|)()()H Y X H XY H X =-

公式2. (|)()((|))H Y X P X H P Y X =

其中P (X )是X 的概率分布，为行向量，P (Y |X )是X 到Y 的条件概率矩阵，((|))H P Y X 是条件概率矩阵中各个行分布(|)P Y x 的熵(|)H Y x 所组成的列向量。 证明：

证毕

例3.1 设()(0.4,0.6)P X =且

则

记号：以后对于任何N ，我们将N 维随机向量X 1,X 2,…X N 简记为X N 。

注：上述条件熵概念可以推广到多个随机变量熵，例如

H (Y|X 1X 2 …X N )