齿轮振动原理

齿轮的振动机理

一、齿轮的力学模型分析

如图1所示为齿轮副的力学模型，其中齿轮具有一定的质量，轮齿可看作是弹簧，所以若以一对齿轮作为研究对象，则该齿轮副可以看作一个振动系统，其振动方程为

式中x—沿作用线上齿轮的相对位移；

c —齿轮啮合阻尼；

k（t）—齿轮啮合刚度；

T1，T2—作用于齿轮上的扭矩；

r2—齿轮的节圆半径；

i—齿轮副的传动比；

e（t）—由于轮齿变形和误差及故障而造成的个齿轮在作用线方向上的相对位移；

m r—换算质量。

图1 齿轮副力学模型

m r=m1m2/(m1+m2)（1-2）

若忽略齿面摩擦力的影响，则(T2-iT1)/r2=0，将e（t）分解为两部分：e(t)=e1+e2(t)（1-3）

e1为齿轮受载后的平均静弹性变形；e2(t)为由于齿轮误差和故障造成的两个齿轮间的相对位移，故也可称为故障函数。这样式(1-1)可简化为

（1-4）由式(1-4)可知，齿轮的振动为自激振动。该公式的左侧代表齿轮副本身的振动特征，右侧为激振函数。由激振函数可以看出，齿轮的振动来源于两部分：一部分为k（t）e1，它与齿轮的误差和故障无关，所以称为常规振动；另一部分

为k（t）e2(t) ,它取决于齿轮的综合刚度和故障函数，这一部分可以较好地解释齿轮信号中边频的存在以及与故障的关系。

式(1-4)中的齿轮啮合刚度k(t)为周期性的变量，由此可见齿轮的振动主要是由k（t）的这种周期变化引起的。

k(t)的变化可用两点来说明：一是随着啮合点位置的变化，参加啮合的单一轮齿的刚度发生了变化，二是参加啮合的齿数在变化。例如对于重合系数在1-2之间的渐开线直齿轮，在节点附近是单齿啮合，在节线两侧某部位开始至齿顶、齿根区段为双齿啮合（图2）。显然，在双齿啮合时，整个齿轮的载荷由两个齿分担，故此时齿轮的啮合刚度就较大；同理，单齿啮合时啮合刚度较小。

图2 齿面受载变化图3 啮合刚度变化曲线

从一个轮齿开始进入啮合到下一个轮齿进入啮合，齿轮的啮合刚度就变化一次。由此可计算出齿轮的啮合周期和啮合频率。总的来说，齿轮的啮合刚度变化规律取决于齿轮的重合系数和齿轮的类型。直齿轮的刚度变化较为陡峭，而斜齿轮或人字齿轮刚度变化较为平缓，较接近正弦波（图3）。

若齿轮副主动轮转速为n1、齿数为Z1；从动轮转速为n2、齿数为Z2，则齿轮啮合刚度的变化频率（即啮合频率）为

（1-5）无论齿轮处于正常或异常状态下，这一振动成分总是存在的。但两种状态下振动水平是有差异的。因此，根据齿轮振动信号啮合频率分量进行故障诊断是可行的。但由于齿轮信号比较复杂，故障对振动信号的影响也是多方面的，特别是由于幅值调制和频率调制的作用，齿轮振动频谱上通常总是存在众多的边频带结构，给利用振动信号进行故障诊断带来一定的困难。

二、幅值调制与频率调制

齿轮振动信号的调制现象中包含有很多故障信息，所以研究信号调制对齿轮故障诊断是非常重要的。从频域上看，信号调制的结果是使齿轮啮合频率周围出现边频带成分。信号调制可分为两种：幅值调制和频率调制。

1．幅值调制

幅值调制是由于齿面载荷波动对振动幅值的影响而造成的。比较典型的例子是齿轮的偏心使齿轮啮合时一边紧一边松，从而产生载荷波动，使振幅按此规律周期性地变化。齿轮的加工误差（例如节距不匀）及齿轮故障使齿轮在啮合中产生短暂的“加载”和“卸载”效应，也会产生幅值调制。

幅值调制从数学上看，相当于两个信号在时域上相乘；而在频域上，相当于两个信号的卷积，如图4所示。这两个信号一个称为载波，其频率相对来说较高；另一个称为调制波，其频率相对于载波频率来说较低。在齿轮信号中，啮合频率成分通常是载波成分，齿轮轴旋转频率成分通常是调制波成分。

图4 单一频率的幅值调制

若x

(t)=Asin(2πf c t+φ)为齿轮啮合振动信号，a(t)=1+Bcos2πf Z t为齿轮轴的转频

c

振动信号，则调幅后的振动信号为

x(t)=A(1+Bcos2πf X t)*sin(2πf c t+φ)（1-6）

式中A—为振幅；

B—幅值调制指数；

fz—调制频率，它等于齿轮的旋转频率。

上述调制信号在频域可表示为

|x(f)׀=Aδ(f-f c)+1/2ABδ(f-f c-f Z)+1/2AB(f-f c+f Z)（1-7）

由此可见，调制后的信号中，除原来的啮合频率分量外，增加了一对分量（f c＋f z）和(f c一f z)它们是以fC为中心，以fz为间距对称分布于两侧，所以称为边频带（图1-7）.

对于实际的齿轮振动信号，载波信号、调制信号都不是单一频率的，一般来说都是周期函数。由式（1-4）可知，一般情况下，k(t)e2(t)可以反映由故障而产生的幅值调制。

设y(t)=k(t)e2(t)（1-8）

则k (t)为载波信号，它包含有齿轮啮合频率及其倍频成分，e2(t )为调幅信号，反映齿轮的误差和故障情况。由于齿轮周而复始地运转，所以齿轮每转一圈，e2(t )就变化一次，e2(t )包含齿轮轴旋转频率及其倍频成分。

在时域上，y(t)=k(t)e2(t)（1-9）

在频域上，S y(f)=S K(f)*S e(f)（1-10）

式中,,S y（f）,S k(f)和S e(f)分别为y(t),k（t）和e2(t )的频谱。由于在时域上载波信号k(t)和调幅信号e2（t）为相乘，在频域上调制的效果相当于它们的幅值频谱的卷积。即近似于一组频率间隔较大的脉冲函数和一组频率间隔较小的脉冲函数的卷积，从而在频谱上形成若干组围绕啮合频率及其倍频成分两侧的边频族（图5）。

由此可以较好地解释齿轮集中缺陷和分布缺陷产生的边频的区别。图6(a)

为齿轮存在局部缺陷时的振动波形及频谱。这时相当于齿轮的振动受到一个短脉冲的调制，脉冲长度等于齿轮的旋转周期。由此形成的边频带数量多且均匀。

图6(b）为齿轮存在分布缺陷的情形。由于分布缺陷所产生的幅值调制较为平缓，由此形成的边频带比较高而且窄。并且，齿轮上的缺陷分布越均匀，频谱上的边频带就越高、越集中。