求解路网最短路的快速算法
车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题是指在给定的地图或路网上，寻找一条最优路径或最短路径，使得车辆从起点到终点能够在最短时间或最小代价内到达目的地。
常见的车辆路径问题包括最短路问题、最小生成树问题、最优化路径问题等。
以下是常见的车辆路径问题的求解方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的经典算法，它通过不断更新起点到各个节点的最短距离来求解最短路径。
该算法适用于路网较小的情况。
2. Floyd算法：Floyd算法是一种求解任意两点间最短路径的算法，它通过动态规划的思想，逐步计算出任意两点之间的最短路径。
该算法适用于路网较大的情况。
3. A*算法：A*算法是一种启发式搜索算法，它通过估计每个节点到终点的距离，来选择最优的扩展节点。
该算法适用于需要考虑路况等因素的情况。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法，它通过模拟蚂蚁在路径上的行走过程，来寻找最优路径。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
5. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的算法，它通过不断交叉、变异、选择等操作，来寻找最优解。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
以上是常见的车辆路径问题的求解方法，不同的问题需要选择不同的算法来求解。
A星算法
，
估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下， 搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
如果 估价值>实际值,搜索的点数少，搜索范围小，效率高 ，但丌能保证得到最优解 PPT DESIGN
常见估价函数
（1）曼哈顿距离： 就是在欧几里德空间的固定直角坐标系上两点所形成的线 段对轴产生的投影的距离总和，例如在平面上，坐标（x1,y1） 的点P1不坐标（x2, y2）的点P2的曼哈顿距离为：|x1 - x2| + |y1 - y2|。 （2）欧氏距离： 它是在m维空间中两个点之间的真实距离。在二维和三维 空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。例如在平面上，坐 标（x1,y1）的点P1不坐标（x2, y2）的点P2的欧氏距离为： sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2 )。 （3）切比雪夫距离： 是两个向量之间各分量差值的最大值。例如在平面上，坐 标（x1, y1）的点P1不坐标（x2, y2）的点P2的切比雪夫距离 为：max(|x1 - x2| , |y1 - y2|) PPT DESIGN
【2】/page/resources/_/technical/artificialintelligence/a-pathfinding-for-beginners-r2003
PPT DESIGN
1，把起始格添加到开启列表。 2，重复如下的工作： a) 寻找开启列表中F值最低的格子。我们称它为当前格。
b) 把它切换到关闭列表。
c) 对相邻的格中的每一个？ * 如果它丌可通过戒者已经在关闭列表中，略过它。反之如下。 * 如果它丌在开启列表中，把它添加迚去。把当前格作为这一格的父节点。记录 这一格的F,G,和H值。 * 如果它已经在开启列表中，用G值为参考检查新的路径是否更好。更低的G值 意味着更好的路径。如果是这样，就把这一格的父节点改成当前格，并且重新计算这一 格的G和F值。如果你保持你的开启列表按F值排序，改变之后你可能需要重新对开启列 表排序。 d) 停止，当你 * 把目标格添加迚了关闭列表(注解)，这时候路径被找到，戒者
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
A star算法
A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有A star算法在静态路网中的应用效的方法。
公式表示为：f(n)=g(n)+h(n),其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。
保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。
但能得到最优解。
如果估价值>实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。
编辑本段估价值与实际值越接近估价函数取得就越好例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。
明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。
conditions of heuristicOptimistic (must be less than or equal to the real cost)As close to the real cost as possible编辑本段详细内容主要搜索过程伪代码如下：创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
算起点的估价值;将起点放入OPEN表;while(OPEN!=NULL){从OPEN表中取估价值f最小的节点n;if(n节点==目标节点){break;}for(当前节点n 的每个子节点X)算X的估价值;if(X in OPEN){if( X的估价值小于OPEN表的估价值){把n设置为X的父亲;更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值}}if(X inCLOSE) {if( X的估价值小于CLOSE表的估价值){把n设置为X的父亲;更新CLOSE表中的估价值;把X节点放入OPEN //取最小路径的估价值}}if(X not inboth){把n设置为X的父亲;求X的估价值;并将X插入OPEN表中; //还没有排序}}//end for将n节点插入CLOSE表中;按照估价值将OPEN表中的节点排序; //实际上是比较OPEN表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、通信网络、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们需要找到图中两个顶点之间的最短路径，即使得路径上的边的权值之和最小。
针对不同的图，我们可以采用不同的方法来求解最短路问题，下面将介绍几种常见的求解方法。
首先，最简单直接的方法是暴力搜索法。
暴力搜索法适用于小规模的图，它通过穷举所有可能的路径来找到最短路径。
虽然这种方法在理论上是可行的，但是在实际应用中由于时间复杂度过高，通常不适用于大规模的图。
其次，我们可以使用迪杰斯特拉算法来解决最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过逐步扩展离源点距离最短的节点来逐步求解最短路径。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数，因此适用于稠密图。
另外，我们还可以使用贝尔曼-福特算法来求解最短路问题。
贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，它通过多次松弛操作来逐步逼近最短路径。
贝尔曼-福特算法适用于存在负权边的图，但是由于其时间复杂度为O(VE)，因此在稠密图中效率较低。
最后，我们还可以使用Floyd-Warshall算法来解决最短路问题。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，它通过逐步考察所有顶点对之间的路径来求解最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，因此适用于小规模图。
总的来说，不同的最短路求解方法适用于不同的图，我们需要根据具体的情况来选择合适的方法。
在实际应用中，我们还可以结合启发式算法、并行算法等方法来进一步提高求解效率。
希望本文介绍的内容能够对读者有所帮助，谢谢！。
最短路问题的Bellman-Ford算法 (2)
0 2 0123 3 312365 61236 9123687 1012368
基本表 空格为无穷大
v1
5
-3
v3
6
v6 2
4
4
v4
P1(jk ) Min{ P1(i k 1 ) wij }
1 i n
7
v7
利用 下标 追踪 路径
wij
v1 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 0 v2 2 0 v3 5 -2 0 4 v4 -3 4 6 0 0 -3 7 3 2 v5 v6 v7 v8
第10页
Floyd算法(路矩阵法)思想
dij 表示D中vi到vj的最 网络D=（V，A，W），令U=(dij)nn， 短路的长度。 考虑D中任意两点vi，vj，如将D中vi，vj以外的点都删掉， 得只剩vi，vj的一个子网络D0，记
当 vi ,v j A wij d 否 vi wij为弧（ vi，vj）的权。
(0) ij
(0) i1
d
(0) 1j
再在D1中加入v2及D中与vi，vj，v1， v2相关联的弧，得D2， (2) D2中vi到vj的最短路长记为 ，则有 d ij
(2) (1) (1) dij min dij , di(1) d 2 2j
第12页
Floyd算法(路矩阵法)步骤
(k) ( k 1) P 3.当出现 P 时， 1j 1j
v3
其元素即是v1到vj的最短路长。
第 4页
例
计算从点v1到所有其它顶点的最短路
2 v1 -3 v4 v2 4 v5
-2
5 4
-3 v3
6 v6 2 v7 4
最短路问题
最短路问题何谓最短路？最短路问题考虑的是有向网络N=（V，A，W），其中弧（i,j）∈A 对应的权又称为弧长或费用。
对于其中的两个顶点s，t∈V,以s 为起点，t 为终点的有向路称为s-t 有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）。
所有s-t 有向路中权最小的一条称为s-t 最短路。
ij w 如何得到最短路？最短路问题的线性规划描述如下：(,)m i ni j i j i j A w x ∈∑ (1):(,):(,)1,,..1,,0,,ij ji j i j A j j i A i s s t x x s i s t ∈∈=⎧⎪t −=−=⎨⎪≠⎩∑∑ (2) 0ij x ≥ (3) 其中决策变量表示弧（i,j）是否位于s-t 路上：当=1时，表示弧（i,j）位于s-t 路上，当=0时，表示弧（i,j）不在s-t 路上。
本来，应当是0-1变量，但由于约束（2）的约束矩阵就是网络的关联矩阵，它是全幺模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0，1]中的实数（当用单纯形法求解时，将得到0-1整数解）。
ij x ij x ij x ij x 值得注意的是，我们这里将变量直接松弛为所有非负实数。
实际上，如果可以取0-1以外的整数，则约束条件并不能保证对应于非零的弧所构成的结构（记为P）一定是一条路，因为这一结构可能含有圈。
进一步分析，我们总是假设网络本身不含有负圈，而任何正圈不可能使目标函数最小，因此上面的约束条件（2），（3）可以保证当达到最优解时，P 如果包含圈，该圈一定是零圈，我们从P 中去掉所有的零圈，就可以得到最短路。
ij x ij x ij x 无圈网络与正费用网络一般采用标号设定算法。
Bellman 方程（最短路方程）将约束条件（2）两边同时乘以-1，得到其对偶问题为：m ax()t s u u − （4）..,(,)j i ij s t u u w i j A −≤∀∈ （5）根据互补松弛条件，当x 和u 分别为原问题和对偶问题的最优解时：()0,(,i j j i i j )x u u w i j −−=∀∈A （6） 因此,当某弧（i，j）位于最短路上时，即对应的变量＞0时，一定有ij x j i i u u w −=j 。
最短路算法
最短路径在一个无权的图中，若从一个顶点到另一个顶点存在着一条路径，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它等于该路径上的顶点数减1。
由于从一个顶点到另一个顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫作最短路径或者最短距离。
对于带权的图，考虑路径上各边的权值，则通常把一条路径上所经边的权值之和定义为该路径的路径长度或带权路径长度。
从源点到终点可能不止一条路径，把带权路径长度最短的那条路径称为最短路径，其路径长度（权值之和）称为最短路径长度或最短距离。
最短路径算法Dijkstra算法：该算法是用于求解单源点最短路径的实用算法。
Dijkstra算法的基本思想如下：设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S其中，V为网中所有顶点集合。
按最短路径长度递增的顺序逐个用V-S中的顶点加到S中，直到S中包含全部顶点，而V-S为空。
Dijkstra算法的具体步骤；（1）设源点为V1，则S中只包含顶点V1，令W=V-S，则W中包含除V1外图中所有顶点。
V1对应的距离值为0，即D[1]=0。
W中顶点对应的距离值是这样规定的：若图中有弧 <v1,vk>，则Vj顶点的距离为此弧权值，否则为一个无穷大的数；（2）从W中选择一个其距离值最小的顶点 vk，并加入到S中；（3）每往S中加入一个顶点vk后，就要对W中各个顶点的距离值进行一次修改。
若加进vk做中间顶点，使<v1,vk> + <vk+vj>的值小于<v1,vj> 值，则用<v1,vk> + <vk+vj>代替原来vj 的距离值；（4）重复步骤2和3，即在修改过的W中的选距离值最小的顶点加入到S 中，并修改W中的各个顶点的距离值，如此进行下去，知道S中包含图中所有顶点为之，即S=V。
最短路问题
（1）求解思路——从始点出发，逐步顺序地向外
探寻，每向外延伸一步都要求是最短的。
（2）使用条件——网络中所有的弧权均非负 （3） 标号法的特点
w ij 0
最短路径上的前点 标号 能得到从 V1（起点）到各点的最短路线和最短路长。 （4）准备工作 ： 当前被标号顶点到 起始点的最短路长 将网络中所有顶点分为两个集合P和T，已求出最短 路的点位于P中，其他点置于T中；
给集合P中的点赋予标号 （d，i）
例题：
某地区4个城镇间的公路交通网如图，城镇1有一批货需要运 往城镇4,网络边上的数据为综合运输费用。如何选择路线才 能使总的综合运费最少？ V2
4 6
V1
2
1
8
V4
V3
最短路径问题（有向图）1源自1 2 10 4 5 6 4 2 7
2
5
6 9 5 3 8 4
3
3
dij2 = min【dik + djk】（k=1,2，…，n）
1 1 3 5 2 10 7 2 4 3
(2,1)
2 5 6 (6,7) 9
(8,2) 3
(1,1) 4
5
4 8
6
6
(3,1)
7
(3,4)
8
min {c23,c53,c58,c78} = min { 2+6,6+9,6+4,3+8 } = min {8,15,10,11}=8
P = {1,2,3,4,5,6,7}
5 6
4
2 7
3
8
4 8
min {c12,c16,c42,c47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2} =min {2,3,11,3}=2 P = {1,2,4}
求解路网最短路的快速算法
= =
( i≠k , j≠ k )
) vi( k j
v (ijk - 1) , 如果 d (ijk - 1) ≤ d (ikk - 1) + d (kjk - 1) , v (kjk - 1) , 如果 d (ijk - 1) > d (ikk - 1) + d (kjk - 1) 。
3 改进的矩阵迭代算法
由于路径搜索是交通分配中的关键步骤 ,路径搜索的效率不高 , 那么交通分配的效率也就会大大降 低。 但是矩阵迭代法在进行路径搜索时却不能按照一定的顺序逐步搜索以获得最短路径 ,因此必须对矩 阵迭代算法进行改进 , 通过对矩阵迭代算法进行适当的改进就可以实现逐步搜索这一目标 [4 ]。本文通过 两种改进 ,获得了两种顺序搜索路径的新算法。 3. 1 前向搜索路径的矩阵迭代算法 首先定义一个路径矩阵 V = ( vi j ) , 可称之为 “顺数第二个节点矩阵” , 其元素 vi j表示从节点 V i 到节 点 V j 的最短路径上顺数第二个节点的节点号。 根据最终求得的 “顺数第二个节点矩阵 ” V, 并通过对 V 的同一列进行搜索便可以方便地找出任意两个节点之间的最短路径。 若 v ij = m , 则表示节点 Vi 到节点 V j 的最短路径上顺数第二个节点是节点 Vm ; 若 v m j = l , 则表明节点 Vi 到节点 V j 的最短路径上顺数第 三个节点是节点 Vl ; 依此类推 ,逐步向前搜索直到节点 V j ,即获得了节点 V i 到节点 V j 的最短路径上的 各个节点。 因此关键的问题仍然在于计算 D 和 V。 ( 1)初始化。 令 k = 0, 定义最短路权矩阵 D 和顺数第二个节点矩阵 V 。 D 取交通网络的权矩阵 , V = ( v ij ) ,且 vi j = j。 ( 2) k = k+ 1时进行第 k 次迭代 。 对不在第 k 行和第 k 列的任一元素进行路权和路径的修正 , 即 di j = ( i≠ k , j≠k )
Dijkstra算法
Dijkstra算法(重定向自Dijkstra 法)Dijkstra算法（狄克斯特拉算法）Dijkstra算法概述Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。
我们以V表示G中所有顶点的集合。
每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。
我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。
因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。
边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。
任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。
已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。
这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。
算法描述这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。
初始时，源点s的路径长度值被赋为0（d[s]=0），同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V中所有顶点v除s外d[v]= ∞）。
当算法结束时，d[v]中储存的便是从s到v的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。
matlab最短路dijkstra算法
matlab最短路dijkstra算法Matlab最短路Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于寻找图中最短路径的常用算法，可以解决许多实际问题，例如路网规划、通信网络优化等。
在Matlab中，我们可以利用其强大的矩阵运算和图论工具箱来实现Dijkstra算法，快速地找到两个节点之间的最短路径。
在开始之前，我们需要了解一些基本概念。
首先，图是由节点和边组成的数据结构，节点表示图中的位置或对象，边表示节点之间的连接关系。
每个边都有一个权重，用于表示节点之间的距离或代价。
最短路径问题的目标是找到两个节点之间的路径，使得路径上所有边的权重之和最小。
在Matlab中，我们可以使用图对象来表示图，并使用addnode和addedge函数来添加节点和边。
接下来，我们将使用Dijkstra算法来计算最短路径。
该算法的基本思想是从起始节点开始，逐步扩展到其他节点，每次选择当前距离起始节点最近的未访问节点，并更新其距离。
当所有节点都被访问过后，即可得到最短路径。
我们需要创建一个图对象，并添加节点和边。
假设我们有一个包含6个节点的图，节点之间的连接关系如下：节点1与节点2之间的距离为7节点1与节点3之间的距离为9节点1与节点6之间的距离为14节点2与节点3之间的距离为10节点2与节点4之间的距离为15节点3与节点4之间的距离为11节点3与节点6之间的距离为2节点4与节点5之间的距离为6节点5与节点6之间的距离为9我们可以使用addnode和addedge函数来添加节点和边，代码如下：g = graph();g = addnode(g, 6);g = addedge(g, [1 1 1 2 3 3 4 5], [2 3 6 3 4 6 5 6], [7 9 14 1015 11 6 9]);接下来，我们将使用Dijkstra算法来计算节点1到其他节点的最短路径。
Matlab提供了shortestpath函数来进行计算，代码如下：[dist, path, pred] = shortestpath(g, 1, 'Method', 'Dijkstra');其中，dist是一个数组，表示节点1到其他节点的最短距离；path 是一个cell数组，表示节点1到其他节点的最短路径；pred是一个数组，表示在最短路径中每个节点的前驱节点。
最短路问题Dijkstra算法
2-
0-
vs
v1
2
27
- 54
5 v2 5
- ∞9
-∞
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
-4
-∞
考察v1 , T(v2)=min[T(v2),P(v1)+w12]= min[5,2+2]=4 T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=97
迭 Step 3: 比较所有具有 T 标号的点，把最小者改为 代 P 标号，即 P(vi)=min[T(vi)]. 2
v4 5
vt
4 13
17
v3
4
v5
4-
7-
14
最短路
2-
v1
2
27
0-
4-
8-
13 -
vs
5 v2 5
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
4-
7-
• Dijkstra算法不仅找到了所求最短路，而且找到 了从 vs 点到其他所有顶点的最短路；这些最短 路构成了图的一个连通无圈的支撑子图，即图 的一个支撑树。
T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=9
(5) 全部 T 标号中,T(v2),T(v3)最小,令P(v2)=4, P(v3)=4, 记录路径(v1 ,v2), (v1 ,v4),. .…………
17
有些最短路问题也可以求网络中某指定点到其余所 有结点的最短路、或求网络中任意两点间的最短路.
1
一、网络无负权的最短路 ——Dijkstra算法
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在现实生活中有着广泛的应用。
在很多实际情况下，我们需要找到两个节点之间的最短路径，以便在最短时间内到达目的地或者以最小的成本进行运输。
因此，求解最短路问题具有重要的意义。
在图论中，最短路问题可以分为单源最短路和多源最短路两种情况。
单源最短路指的是从图中的一个固定节点出发，到达其他所有节点的最短路径；而多源最短路则是求解图中任意两个节点之间的最短路径。
针对这两种情况，我们可以采用不同的算法来求解最短路问题。
其中，最著名的算法包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于单源最短路问题，它采用贪心策略，逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。
而Floyd-Warshall算法则适用于多源最短路问题，它通过动态规划的方式，计算图中任意两个节点之间的最短路径。
除了这两种经典算法外，还有一些其他方法可以用来求解最短路问题，比如Bellman-Ford算法和SPFA算法。
这些算法各有特点，适用于不同的场景，可以根据具体情况选择合适的算法来解决最短路问题。
在实际应用中，最短路问题常常涉及到大规模的图和复杂的网络结构，因此算法的效率和性能也是非常重要的考量因素。
为了提高算法的求解速度，可以采用一些优化手段，比如使用堆优化的Dijkstra算法、矩阵快速幂优化的Floyd-Warshall算法等。
总之，最短路问题是图论中的一个重要问题，它在实际生活中有着广泛的应用。
通过合理选择算法和优化方法，我们可以高效地求解最短路问题，为实际应用提供有力的支持。
希望本文能够为读者对最短路问题的求解方法有所启发，也希望在未来的实际应用中能够发挥一定的作用。
标号法求最短路径
标号法求最短路径标号法是图论中一种常用的算法，主要用于求解最短路径问题。
本文将介绍标号法的基本概念和算法过程，以及其在实际问题中的应用。
文章将从以下几个方面进行介绍：一、最短路径问题的概念和分类二、标号法的基本概念和算法过程三、标号法在实际问题中的应用一、最短路径问题的概念和分类最短路径问题是图论中一个经典的问题，它的主要目的是确定从一个起始节点到另一个目标节点的最小路径权值。
最短路径问题主要有两种类型：无权图最短路径问题和带权图最短路径问题。
无权图最短路径问题指的是在无向或有向无权图中，从一个起始节点出发到达目标节点的最短路径。
无权图中所有边的权值都为1或0。
我们只需要找到由起始节点到目标节点的所有路径中，长度最短的那一条路径。
带权图最短路径问题指的是在有向或无向带权图中，寻找从起始节点到目标节点的一条边权值之和最小的路径。
因为在带权图中，每一条边的权值可以代表两个节点之间的距离、时间、费用等指标，所以最短路径的概念也会稍作变化。
二、标号法的基本概念和算法过程标号法（Labeling Algorithm）是一种常用的求解带权图最短路径问题的方法，其核心思想是通过优化节点的标号来尽可能减少计算的次数，从而提高算法的效率。
标号是指在有向带权图中，对每个节点设置一个非负数标记。
通常情况下，我们将起始节点的标号设置为0，其他节点的标号则为无穷大。
标号法基本算法过程如下：1. 将起始节点的标号设置为0，其他节点的标号设置为无穷大。
2. 对所有节点进行遍历，按照标号的大小进行排序。
3. 对于当前标号最小的节点，遍历其相邻节点，并计算它们到起始节点的距离，即将当前节点的标号加上相邻节点的边权值得到。
4. 如果计算出来的距离小于相邻节点原先的标号，则更新相邻节点的标号。
5. 重复步骤2-4，直到到达目标节点或搜索完所有节点。
对于复杂度较高的图，标号法的效率比传统的最短路径算法（如Dijkstra算法、Bellman-Ford算法等）要高得多，因为标号法只会对当前最小标号的节点及其相邻节点进行计算和更新，而不会计算整个图的所有节点。
最短路问题迪杰斯特拉算法
min {d23,d25,c47,d67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3
X={1,2,4,6,7}, p7=3
X={1,2,4,6,7}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
p5=6
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
8
4
8
p6=3
p7=3
min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
X={1,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2 X={1,2,4}, p2=2
X={1,2,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
② v j 具有T 标号，即v j s ，s 为T 标号点集.
修改 v j 的T标号为 min{T (v j ), p(v1) l1 j} ，并将结
果仍记为T(vj)。= l1j
最短路floyd算法
最短路floyd算法
最短路Floyd算法
在计算机科学中，最短路算法是指从一个源节点到其他所有节点的最短路径。
最短路径问题在生产、交通运输、通信、电子商务等领域中都有广泛应用。
而Floyd算法是其中一种经典的最短路算法，也是最为简单易懂的一种算法之一。
Floyd算法是一种动态规划算法，可以求出有向图或者无向图中任意两点之间的最短路径。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n 为图中节点的个数。
虽然其时间复杂度较高，但其简单易懂，容易实现，因此在实际应用中也得到了广泛的使用。
Floyd算法的思路是动态规划，其核心是通过不断更新节点之间的距离来求解最短路径。
具体实现时，通过一个二维数组来存储每个节点之间的距离，初始化时，对于任意两个节点i,j，如果存在直接相连的边，则将其距离赋值为边的权值，否则赋值为一个很大的数。
接着，对于每一个节点k，遍历所有节点i,j，若i到j的路径通过k 节点比原来的路径更短，则更新i到j的距离为i到k再到j的距离，即d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])。
最终，当所有节点遍历完之后，二维数组中存储的就是任意两点之间的最短路径。
Floyd算法的优点是可以处理带负权边的图，但是如果图中存在负
权环，则该算法会出现错误的结果。
因此，如果存在负权环，则需要使用其他的算法来求解最短路径问题。
Floyd算法是一种简单易懂的最短路算法，适用于求解任意两点之间的最短路径问题，其时间复杂度较高，但在实际应用中得到了广泛的使用。
在实际应用中，可以通过合理的优化，来降低算法的时间复杂度，提高算法的效率。
networkx 最短路算法
networkx 最短路算法在网络分析和图论中，最短路算法是一种用于寻找网络中两个节点之间最短路径的重要方法。
NetworkX 是一个强大的 Python 图论库，提供了多种最短路算法的实现。
本文将介绍 NetworkX 中几种常用的最短路算法，并通过具体的示例来展示它们的用法和效果。
一、Dijkstra 算法Dijkstra 算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪心算法。
它以一个源节点作为起点，逐步寻找出发节点到其他所有节点之间的最短路径。
Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(|V|^2)，其中 |V| 表示节点的数量。
在 NetworkX 中，使用 dijkstra_path 函数可以方便地实现 Dijkstra 算法。
下面是一个示例代码：```pythonimport networkx as nxG = nx.Graph()G.add_edge('A', 'B', weight=4)G.add_edge('A', 'C', weight=2)G.add_edge('B', 'C', weight=1)G.add_edge('B', 'D', weight=5)G.add_edge('C', 'D', weight=8)G.add_edge('C', 'E', weight=10)G.add_edge('D', 'F', weight=6)G.add_edge('E', 'F', weight=3)shortest_path = nx.dijkstra_path(G, 'A', 'F')print(shortest_path)```上述代码首先创建了一个简单的无向图 G，并添加了一些带有权重的边。
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≤ d ik > d
(பைடு நூலகம்k - 1) ( k - 1) ik
+ d kj + d
, 。
当所有的元素都被检查过时 , 转入第 ( 3)步中。 ( 3)判定 k 是否等于 n。若 k = n 则迭代停止 ,此时即获得了最短路权矩阵 D 和顺数第二个节点矩阵 V。 否则转入第 ( 2)步中继续迭代。 3. 2 后向搜索路径的矩阵迭代算法 0 此处也要重新定义一个路径矩阵 V0 = ( v 0 ij ) , 可称之为 “倒数第二个节点矩阵” , 其元素 v ij 表示从节 点 Vi 到节点 V j 的最短路径上倒数第二个节点的节点号。同时根据最终的路径矩阵 V , 通过对 V 的同一 行进行搜索也可方便地获得网络中任意两个节点之间的最短路径 。 后向搜索路径的矩阵迭代算法其计 算步骤可归纳如下 。 ( 1)初始化 。令 k = 0, 定义最短路权矩阵 D 0 和倒数第二个节点矩阵 V0。 D 0 可取交通网络的权矩阵 , 0 0 0 V = ( v ij ) ,且 vi j = i。 ( 2) k = k+ 1时进行第 k 次迭代 。 对不在第 k 行和第 k 列的任一元素进行路权和路径的修正 , 即
(k ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0
di j d
( k - 1)
, 如果 dij + d
( k - 1) kj
( k - 1) ( k - 1) ij
≤ dik > d
( k - 1) ( k - 1) ik
+ dkj + d
( k - 1) ( k - 1) kj
, 。
( k - 1) ik
) ( m - 1) 间某个节点 k 后 , 距离是否有所减少 , 第 m 次的迭代公式为 di( m j = mi n { dik + d(kjm - 1) } k = 1, 2, 3, … , n。 迭代终止的条件是当且仅当 D( m ) = D ( m - 1) 时迭代停止 。
采用矩阵迭代法来计算最短路权 ,可一次性地获得 n× n 阶最短路权矩阵 , 与 Di jkst ra 算法相比该 算法更节省内存 , 计算速度更快 。 而且既可以获得最短路权矩阵 , 还可以获得网络中任意 2个节点之间 的最短路径。 但最短路径的搜索很复杂 , 迭代次数也较多。 通常矩阵迭代算法最短路径的搜索可按如下 步骤来进行。 假定要搜索的最短路径起点为 Vs , 终点为 Vt , 那么从 Vs 开始 , 搜索与 Vs 相邻的某一节点 Vi , 且满 足 dsi + Lm in ( V i , V t ) = Lm in ( Vs , V t ) , 其中 Lmin ( Vs , V t )为最短路权矩阵中节点 Vs 到节点 Vt 的最短路权 ; Lm in ( Vi , Vt )为最短路权矩阵中节点 V i 到节点 V t 的最短路权 ; d si为权矩阵中节点 Vs 到节点 Vi 的路权 。 显然 , [V s , Vi ]便 是 V s 到 V t 的最短路径上的一条路段 , 再寻找与 Vi 相邻的某一节点 V j , 且满足 di j + Lm in ( V j , V t )= L min ( V i , V t ) ,则路段 [Vi , V j ]又为最短路径上的一段。 如此反复进行下去便可获得从起点 Vs 到终点 V t 的最短路径。 由此看来 ,采用矩阵迭代算法来求解交通分配问题 , 只要使用该算法一次就可以完成一轮分配。 该 算法较 Di jkst ra 算法有很大的改进 , 但由于其路径搜索能力还是较差 , 因此还有必要改进 。
收稿日期 : 2003-0526 作者简介 : 况爱武 ( 1979-) ,男 ,江西高安人 ,长沙理 工大学助教 ,从事交通运输规划与管理的教学与科研 研究 。
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佛山科学技术学院学报 (自然科学版 ) 第 22 卷
2 现有最短路算法介绍与评价
2. 1 Di jkst ra 算法 [1, 3 ] Di jkst ra 算法又称为标号法 , 该算法由 E W Dijkst ra 首先提出 ,该法常用于网络中某一指定节点 Vs 到另一指定节点 Vt 之间的最短路权计算和最短路径辨识。 Di jkst ra 最短路算法的缺点是该算法主要用于网络中给定起点和给定终点间的最短路权及最短路 径计算 , 在此过程中还可能获得网络中其他某些节点与给定起点间的最短路权 (径 ) , 但具体是哪些节 点 , 事先并不知道 。 利用该算法来求解交通分配问题 , 在同一轮分配过程中要重复使用多次该算法。 2. 2 矩阵迭代算法 矩阵迭代算法是一种借助于权矩阵迭代运算来求解最短路权和最短路径的算法 , 其基本思想是记 初始的权矩阵为 D , 该矩阵经过 n ( n 为网络的节点总数 )次迭代后满足终止条件 , 那么 D ( n ) 中的每个元 ) 素 di( n j 则表示节点 i 到节点 j 的最短路权。 该算法不直接考虑节点 i 到节点 j 的最短路 , 而是考虑经过中
3 改进的矩阵迭代算法
由于路径搜索是交通分配中的关键步骤 ,路径搜索的效率不高 , 那么交通分配的效率也就会大大降 低。 但是矩阵迭代法在进行路径搜索时却不能按照一定的顺序逐步搜索以获得最短路径 ,因此必须对矩 阵迭代算法进行改进 , 通过对矩阵迭代算法进行适当的改进就可以实现逐步搜索这一目标 [4 ]。本文通过 两种改进 ,获得了两种顺序搜索路径的新算法。 3. 1 前向搜索路径的矩阵迭代算法 首先定义一个路径矩阵 V = ( vi j ) , 可称之为 “顺数第二个节点矩阵” , 其元素 vi j表示从节点 V i 到节 点 V j 的最短路径上顺数第二个节点的节点号。 根据最终求得的 “顺数第二个节点矩阵 ” V, 并通过对 V 的同一列进行搜索便可以方便地找出任意两个节点之间的最短路径。 若 v ij = m , 则表示节点 Vi 到节点 V j 的最短路径上顺数第二个节点是节点 Vm ; 若 v m j = l , 则表明节点 Vi 到节点 V j 的最短路径上顺数第 三个节点是节点 Vl ; 依此类推 ,逐步向前搜索直到节点 V j ,即获得了节点 V i 到节点 V j 的最短路径上的 各个节点。 因此关键的问题仍然在于计算 D 和 V。 ( 1)初始化。 令 k = 0, 定义最短路权矩阵 D 和顺数第二个节点矩阵 V 。 D 取交通网络的权矩阵 , V = ( v ij ) ,且 vi j = j。 ( 2) k = k+ 1时进行第 k 次迭代 。 对不在第 k 行和第 k 列的任一元素进行路权和路径的修正 , 即 di j = ( i≠ k , j≠k )
,如果 d
第 1期 况爱武等 : 求解路网最短路的快速算法
) vi( k j = ( i≠k , j≠ k )
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( k - 1) ( k - 1) kj
v ij v
( k - 1) ( k - 1) ik
, 如果 d ij , 如果 d
( k - 1) ( k - 1) ij
[2 ]
∞ , 节点 i 与节点 j 之间没有边直接相连 , 给定权 , 节点 i 与节点 j 之间有边直接相连 。
, 矩阵 V 是 n× m 阶的 , m 表示网络中单个节
点邻接的最大边数 ,其元素 Vi j表示第 i 个节点邻接的第 j 条边的另一节点号 ,不足的用虚拟节点 0来表 示。 邻接目录表中有效元素所占的比例高 , 网络信息占用的计算机内存空间小 , 计算效率高 , 同时也给计 算机录入工作带来了很大的方便 。
求解路网最短路的快速算法
况爱武 ,易 波
(长沙理工大学 交通运 输学院 ,湖南 长沙 410076) 摘要 : 探讨了最短路算法在交通分配中的重要地位 。在此基础上 ,比较了现有最短路算法的 优缺点 ,同时提出了 一种改进的矩阵迭代算法 ,并利用该算法对一简单路网进行了验证 。 关键词 : 最短路 ; 矩阵迭代 ; 交通分配 ; 算法 中图分类号 : U 491. 13 文献标识码 : A
当所有的元素都被检查过时 , 转入第 ( 3)步中。 ( 3)判定 k 是否等于 n。若 k = n 则迭代停止 ,此时即获得了最短路权矩阵 D 和倒数第二个节点矩阵 V。 否则转入第 ( 2)步中继续迭代。
4 最短路算法的应用与比较
本文将通过图 1所示的交通网络来对上述算法进行 比较。 假定要计算网络中任意两个节点之间的最短路权和 1 最短路径 , 如果采用标号法则要调用 PT 算法 C1 7· C7= 49次 ; 采用矩阵迭代法 , 则要进行 7 次迭代才能获得最 短路权矩阵 , 但同时还要进行任意两个节点之间的最短 路径搜索 ; 而采用改进的矩阵迭代算法 ,则经过 7次迭代 后可同时获得最短路权矩阵和顺数 (倒数 )第二个节点矩 阵 。 采用改进的矩阵迭代算法其计算结果如下。 其中 D 0 是权矩阵 , D 是最短路权矩阵 , V1 是顺数第二个节点矩 阵 , V2 是倒数第二个节点矩阵。 0 6 D=
最短路算法是交通分配中最基本的算法。 绝大部分的交通分配模型都以最短路交通分配为基础 , 并 将其作为一个基本子过程反复调用。因此最短路算法的设计合理与否 ,将直接影响到整个交通规划软件 系统的运算容量及运行时间 。 长期以来 ,图论、 运筹学和交通规划等领域的学者们对最短路算法进行了 深入的研究 , 并设计出多种算法 。 其实 , 这个问题包含着两个子问题 : 一是网络中任意两个节点之间的最 短路权计算 , 另一是网络中任意两个节点之间的最短路径辨识 。 许多方法都将这两个子问题分开考虑 , 设计出来的算法是分别单独求出最短路权或最短路径。 因而设计一种能快速计算最短路权并快速搜索 出最短路径的实用算法对于交通分配具有重要的意义。
= =
( i≠k , j≠ k )
) vi( k j
v (ijk - 1) , 如果 d (ijk - 1) ≤ d (ikk - 1) + d (kjk - 1) , v (kjk - 1) , 如果 d (ijk - 1) > d (ikk - 1) + d (kjk - 1) 。