数学建模floyd算法最短路算法详解
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法
最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。这些算法各有特点，适用于不同的场
景和要求。下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找
到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。Dijkstra算法的时
间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。这种算法适用于边权值为正的图，可
以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为
负的图，并且可以检测负权回路。Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中
V为节点的个数，E为边的个数。这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但
是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边
权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为
O(V^3)，其中V为节点的个数。这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
matlab floyd最短路算法例题
matlab floyd最短路算法例题
摘要：
一、Floyd 算法介绍
二、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题
三、Floyd 算法的应用案例
四、总结
正文：
一、Floyd 算法介绍
Floyd 算法是一种经典的动态规划算法，用于求解加权连通图（有向图、无向图）中所有顶点之间最短路的长度。该算法可以处理带有负权边的图，并且时间复杂度为O(n3)。Floyd 算法的基本思想是：从任意节点i 到任意节点j 的最短路径不外乎2 种可能，1 是直接从i 到j，2 是从i 经过若干个节点k 到j。所以，我们假设Dis(i,j) 为节点u 到节点v 的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) Dis(k,j) < Dis(i,j) 是否成立，如果成立，证明从i 到k 再到j 的路径比i 直接到j 的路径短，我们便设置
Dis(i,j) Dis(i,k) Dis(k,j)。
二、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题
以下是一个使用MATLAB 实现Floyd 算法的例题：
```MATLAB
function [T,pred] = floyd(adj_matrix)
% 输入：邻接矩阵
% 输出：最短路径矩阵，预测矩阵
= size(adj_matrix, 1);
T = zeros(n, n);
pred = zeros(n, n);
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if i ~= k && i ~= j && k ~= j
T(i, j) = min(T(i, j), T(i, k) + T(k, j));
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法（Floyd算法）是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
该算法的基本思想是通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i（第i个顶点）到顶点j（第j个顶点）的距离。具体步骤如下：
1.初始化S。矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
2.以顶点A（第1个顶点）为中介点，若a[i][j]>a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
请注意，在具体使用中，可能需要根据问题的具体情况对该算法进行适当的调整。
数学建模最短路径问题
数学建模最短路径问题
在数学建模中，最短路径问题是一个经典的问题，它在很多领域都有应用，如交通规划、网络路由等。最短路径问题是寻找从一个起点到一个目标点的路径，使得路径上的总权重（或代价）最小。
最短路径问题有多种算法可以解决，以下是其中两个常见的算法：
1. Dijkstra算法：
Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题，即从一个起点到其他所有点的最短路径。该算法的基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点，不断更新节点的最短路径和最短距离，直到到达目标节点或者所有节点都被遍历。
2. Floyd-Warshall算法：
Floyd-Warshall算法用于解决全源最短路径问题，即任意两个节点之间的最短路径。该算法采用动态规划的思想，通过逐步迭代更新节点之间的最短路径，最终得到所有节点之间的最短路径。
无论是Dijkstra算法还是Floyd-Warshall算法，都需要给定一个图的表示方式和节点之间的权重信息。图可以使用邻接矩阵或邻接表表示，节点之间的权重可以是距离、时间、代价等。
在实际应用中，最短路径问题可以根据具体情况进行调整和扩展，例如考虑节点的容量限制、路径的约束条件等。
v 弗洛伊德算法
v 弗洛伊德算法
弗洛伊德算法（Floyd’s algorithm），又称为插点法，是一种通过动态规划求解最短路径问题的算法。该算法在图论中有着广泛的应用，能够快速求解出两点之间的最短路径。本文将为大家介绍弗洛伊德算法的原理以及实际应用。
1. 算法原理
弗洛伊德算法的核心思想是利用中间点来更新起点到终点的距离。假设图中任意两点之间的距离都为$d[i][j]$，则我们假设存在一个中间点$k$，可以将起点$i$和终点$j$之间的最短路径分成两部分，即起点到中间点的路径$d[i][k]$和中间点到终点的路径$d[k][j]$。所以我们可以得到如下的状态转移方程：
$$
d[i][j]=\min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])
$$
通过不断地更新所有点之间的最短路径，我们最终可以得到所有节点之间的最短路径。
2. 算法实现
弗洛伊德算法的实现中，最重要的一步就是更新状态转移方程。具体来说，我们需要使用三层循环嵌套遍历所有点，将当前节点到所有其他节点的最短距离更新一遍即可。下面就是使用 Python 语言实现弗洛伊德算法的代码片段：
```python
n = len(graph)
for k in range(n):
for i in range(n):
for j in range(n):
graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] +
graph[k][j])
```
在这段代码中，$graph$是一个$n \times n$的矩阵，表示所有
节点之间的距离。其中$n$是节点的数量。
弗洛伊德（Floyd）算法
弗洛伊德（Floyd）算法
最短路径问题：从某个顶点出发到达另外⼀个顶点的所经过的边的权重和最⼩的⼀条路径
弗洛伊德算法解决最短路径问题
1.基本思想
（1）计算图中各个顶点之间的最短路径，每⼀个顶点都是出发访问点，所以需要将每⼀个顶点看做被访问顶点，求出从每⼀个顶点到其他顶点的最短路径
（2）所有顶点都作为中间节点遍历⼀次，每次遍历将各个顶点经过中间节点到另⼀个节点的距离，与不经过该节点的距离相⽐较，若经过中间节点的距离更⼩，就更新距离表与前驱关系
（3）时间复杂度O(n3)，所有顶点作为出发点、中间节点、终点，每个顶点都要遍历3次
2.步骤
（1）设置顶点 a 到顶点 b 的最短路径已知为 L ab，顶点 b 到 c 的最短路径已知为 L bc，顶点 a 到 c 的路径为 L ac，则 a 到 c 的最短路径为：min ( ( L ab + L bc ), L ac )，b 的取值为图中所有顶点，则可获得 a 到 b 的最短路径
（2）⾄于 a 到 b 的最短路径 L ab或者 b 到 c 的最短路径 L bc，是以同样的⽅式获得
（3）三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点
代码实现
import java.util.Arrays;
public class Floyd {//弗洛伊德算法解决最短路径问题
public static final int BLOCK = 65535;//表⽰顶点之间不直接连通
public static void main(String[] args) {
matlab floyd最短路算法例题
感谢您为我指定了这个主题，让我有机会与您共享关于matlab floyd 最短路算法例题的深度和广度的文章。在本文中，我将从浅入深地介绍这个主题，并给出相关的例题和解析，以便您能更好地理解这一算法。
1. matlab floyd最短路算法简介
matlab floyd最短路算法是一种用于计算图中各顶点之间最短路径的算法。它采用动态规划的思想，通过不断更新两点之间的最短距离来求解整个图中所有点之间的最短路径。这个算法的时间复杂度为
O(n^3)，适用于有向图或者无向图。
2. 例题分析
假设我们有一个有向图，包含5个点和7条边，我们需要使用matlab floyd算法来求解任意两点之间的最短路径。
- 我们首先需要构建图的邻接矩阵，表示各点之间的距离或者权值。我们可以根据邻接矩阵使用matlab floyd算法来求解最短路径。
- 以图中任意两点之间的最短路径为例，假设我们需要求解点1到点4之间的最短路径。我们可以在求解过程中使用动态规划的方法，通过不断更新点1到点4的最短距离来求解最终的最短路径。
3. 个人观点和理解
对于matlab floyd最短路算法，我个人认为它是一种非常实用且高效的算法。尤其是对于大规模的图，使用matlab floyd算法可以快速地求解各点之间的最短路径，为很多实际问题的求解提供了便利。
总结与回顾
通过本文的介绍和例题分析，相信您对matlab floyd最短路算法已有了更深入的理解。希望本文能够对您有所帮助，也欢迎您共享更多关于这个主题的想法和见解。
以上是本文对matlab floyd最短路算法的介绍和分析，希望能够带给您一些启发和帮助。如果还有其他疑问或者需要进一步讨论，欢迎随时与我交流。matlab floyd最短路算法是一种非常重要的图论算法，它能够在有向图或者无向图中高效地求解任意两点之间的最短路径。在本文中，我们将更加深入地了解matlab floyd最短路算法的原理和实际应用，并通过详细的例题分析来加深对该算法的理解。
Matlab_Floyd算法求解最短路
Matlab_Floyd算法求解最短路
最短路问题（short-path problem）是⽹络理论解决的典型问题之⼀，可⽤来解决管路铺设、线路安装、⼚区布局和设备更新等实际问题。基本内容是：若⽹络中的每条边都有⼀个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最⼩的路径就是最短路问题。
解决最短路问题的Floyd算法：
Floyd算法：
⼜称为插点法，是⼀种利⽤的思想寻找给定的中多源点之间的算法。
算法步骤：
（1）从任意⼀条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为⽆穷⼤。
（2）对于每⼀对顶点 u 和 v，看看是否存在⼀个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v ⽐已知的路径更短。如果是，更新它。把图⽤邻接矩阵G表⽰出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i][j]=d，d表⽰该路的长度；否则G[i][j]=⽆穷⼤。定义⼀个矩阵D⽤来记录所插⼊点的信息，D[i][j]表⽰从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i][j]=j。把各个顶点插⼊图中，⽐较插点后的距离与原来的距离，G[i][j] = min( G[i][j], G[i]
[k]+G[k][j] )，如果G[i][j]的值变⼩，则D[i][j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息，⽽在D中则包含了最短通路径的信息。
例：已知有6个村⼦，相互间道路如图所⽰。欲合建⼀所⼩学，已知A处有⼩学⽣50⼈，B处40⼈，C处60⼈，D处20⼈，E处70⼈，F处90⼈，问学校应建在哪个村⼦，使得学⽣上学最⽅便。
floyd算法求最短路径问题的步骤
floyd算法求最短路径问题的步骤Floyd算法是一种用于求解最短路径问题的动态规划算法。它能够计算出任意两点之间的最短路径长度，并且可以同时得到最短路径的具体路径。下面是Floyd算法求解最短路径问题的步骤：
1. 创建一个二维数组dist，用于存储任意两点之间的最短路径长度。初始化时，将所有的元素设为无穷大（表示不可达），但对角线上的元素设为0。
2. 创建一个二维数组path，用于存储任意两点之间最短路径的中间节点。初始化时，将所有的元素设为-1。
3. 根据给定的图或者网络，将直接相连的两个节点之间的距离填入`dist`数组中。如果两个节点之间不存在边，则将距离设为无穷大。
4. 使用三重循环进行计算。外层循环遍历所有可能的中间节点，中间层循环遍历所有可能的起始节点，内层循环遍历所有可能的目标节点。
如果通过中间节点k可以使得从起始节点i到目标节点j的路径更短，即dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]，则更新dist[i][j]为新的最短路径长度，并更新path[i][j]为中间节点k。
5. 循环结束后，dist数组中存储的就是任意两点之间的最短路径长度，path数组中存储的是最短路径的中间节点。
6. 如果需要获取具体的最短路径，可以通过回溯path数组来获取。以起始节点i和目标节点j为例，可以通过不断查找path[i][j]，直到找到-1为止，得到最短路径
的节点序列。
以上就是Floyd算法求解最短路径问题的步骤。该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点的数量。
弗洛伊德算法实用技巧
弗洛伊德算法实用技巧
弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm），又称为最短路径算法，是一种用于求解图中各顶点之间最短路径的算法。它以其简洁高效的特点而被广泛应用于图论和网络优化领域。本文将介绍弗洛伊德算法的原理及其在实际问题中的应用技巧。
一、弗洛伊德算法原理
弗洛伊德算法的核心思想是采用动态规划的方法，通过逐步更新每一对顶点之间的最短路径长度，直到得到所有顶点之间的最短路径。具体步骤如下：
1. 初始化最短路径矩阵：以邻接矩阵的形式表示图的边权重，初始化一个大小为n×n的矩阵D，其中n为顶点个数。若顶点i和顶点j之间存在边，则D[i][j]的值为边的权重；若不存在边，则D[i][j]的值为一个较大的数（如∞）。
2. 进行顶点中转：对于每一对顶点i和j，以顶点k作为中转点，更新D[i][j]的值，使其等于D[i][k] + D[k][j]和D[i][j]中的较小值。即，若通过顶点k的路径更短，则更新D[i][j]的值。
3. 重复进行中转：依次选择每一个顶点作为中转点，进行步骤2的操作。当所有顶点均作为中转点完成一次中转后，得到的矩阵D即为最终的最短路径矩阵。
二、弗洛伊德算法应用技巧
1. 求解最短路径：弗洛伊德算法可以用于求解有向图或无向图中任意两点之间的最短路径。通过获取最短路径矩阵D，即可得到任意一对顶点之间的最短路径长度。
2. 检测负权回路：在求解最短路径的过程中，若在最终的最短路径矩阵D中存在D[i][i]为负数的情况，则说明图中存在负权回路，即图中存在一个环路，其权重之和为负数。该特性可用于识别图中是否存在负权回路。
算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法
12
5.算法实现
• 图用邻接矩阵存储 • edge[ ][ ]存放最短路径长度 • path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号
void floyd ( ){
for ( int i = 0; i < n; i++ ) //矩阵dist与path初始化
for ( int j = 0; j < n; j++ ) { //置A(-1)
路径： BCA
BC
CA CAB
9
例
6
A4B
11
3
2
C
初始： length=
0 4 11 60 2 3 0
加入A： length=
0 4 11 60 2 3 70
加入B： length=
046 602 370
path=
011 202 300
path=
011 202 310
path=
012 202 3 10
1.第一次，判别（ Vi, V0 ）和（ V0，Vj ），即判别 (Vi, V0 , Vj）是否存在，若存在，则比较（ Vi, Vj ）和 (Vi, V0 , Vj）的长度，取长度较短的为从Vi到Vj的中间 顶点序号不大于0的最短路径。
2. 第二次，再加一个顶点V1，如果(Vi, … , V1） 和(V1, … , Vj）分别是当前找到的中间顶点序号不 大于0的最短路径，那么(Vi, … , V1, … , Vj ）就有 可能是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路 径。将它和已经得到的从Vi到Vj之间顶点序号不大 于0的最短路径相比较，取较短者为从Vi到Vj的中 间顶点序号不大于1的最短路径。
(完整word版)floyd算法、Dijkstra算法实例讲解
此时到D权值更改为A→C→B=5，
A→C→D=6，
A→C→E=7，
A→C→其它U中的顶点=∞，发现A→C→B=5权值为最短
3
选入B，此时S=<A、C、B>
此时最短路径A→A=0，A→C=3，A→C→B=5
以B为中间点
从A→C→B=5这条最短路径开始找
U=<D、E、F>
步骤
S集合中
U集合中
1
选入A，此时S=<A>
此时最短路径A→A=0
以A为中间点，从A开始找
U=<B、C、D、E、F>
A→B=6，A→C=3，
A→其它U中的顶点=∞，
发现A→C=3权值为最短
2
选入C，此时S=<A、C>
此时最短路径A→A=0，A→C=3以C为中间点，
从A→C=3这条最短路径开始找
U=<B、D、E、F>
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
2.4 Dijkstra算法举例说明
如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）
图一：Dijkstra无向图
floyd法
floyd法
Floyd法，全称为Floyd-Warshall算法，是一种用于解决所有节点对之间最短路径问题的动态规划算法。它可以在有向图或无向图中找出任意两个节点之间的最短路径。
Floyd法的基本思想是利用动态规划的思想，通过不断优化节点之间的距离来求解最短路径。算法的核心是一个二维矩阵，该矩阵记录了每对节点之间的最短路径距离。
Floyd法的具体步骤如下：
1. 初始化一个二维矩阵，矩阵的大小为节点的个数。将矩阵的对角线元素设为0，表示节点到自身的距离，将其他元素初始化为无穷大（表示两节点之间没有直接连接）。
2. 通过遍历每一个节点，将该节点作为中转节点，更新其他节点之间的最短路径距离。具体更新方式是比较经过中转节点的路径和不经过中转节点的路径，选择较短的路径作为最终的最短路径。
3. 重复以上步骤，直到所有节点之间的最短路径都被计算出来为止。
4. 最终得到的二维矩阵即为每对节点之间的最短路径距离。
Floyd法的时间复杂度为O(n^3)，其中n表示节点的个数。它适用于求解稠密图（边数接近节点数平方）的最短路径问题，但对于稀疏图来说，Dijkstra算法或Bellman-Ford算法可能更加高效。
Floyed（floyd）算法详解
Floyed（floyd）算法详解
是真懂还是假懂？
Floyed算法：是最短路径算法可以说是最慢的⼀个。
原理：O（n^3）的for循环，对每⼀个中间节点k做松弛（寻找更短路径）；
但它适合算多源最短路径，即任意两点间的距离。
但spfa，迪杰斯特拉就只能算⼀个点到其他任⼀点的最短路径。
关键在于，我们真的真正理解floyed吗？
就是因为它太短了，以⾄于我们有些⼈（神仙除外）看代码后看到这样⼀个语句：
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])
也就是说，对于每⼀个中转点k来说，进⾏O（n^2）的松弛，⼀定能找到最短路径。
虽不是最优，但是松弛次数来凑！
这⼤概就是我们（之前的我）的⽆须证明的，想当然的理解，并背下来了它，以便以后想TLE时⽤。（O（n^3））；
so？
Floyed本质是dp；
递推公式：（图⽚源⾃⽹络⼤佬）
众所周知，dp（动态规划）要满⾜⽆后效性。也就是说。。。。。。
还是先举个例⼦：
我们设k取某⼀个k1时满⾜k1为最终点i到j最短路经过的点，但是在外层循环到k1时d[i][k1]和d[k1][j]并没有取到最⼩值，因为k1只能取⼀次，那么往后再循环是不是就取不到k1了呢？？答案当然不是的（不然这个算法为什么正确?）
还是那句话，dp⽆后效性，
也就是说，k不单单是枚举，还是⼀个状态变量，找i和j之间通过编号不超过k（k从1到n）的节点的最短路径（⼀定要注意，这⾥是当前最短路径，
k之前的已经变成最短路了,对于每⼀个k，我们都进⾏了n^2的充分枚举(ij)，已保证当前已经满⾜对从1到k的节点最优，
数学建模任意两点间最短距离
任意两点间最短距离-floyd算法matlab程序
%Floyd's Algorithm 通过一个图的权值矩阵求出它的任意两点间的最短路径矩阵。
%Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，
%稠密图效果最佳，边权可正可负。
%此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。
%a为图的带权邻接矩阵
%从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，
%即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；
%又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；
%最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
%矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，
%同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
%采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3); matlab函数文件为：
function [D,path]=floyd1(a)
a(find(a==0))=inf;
n=size(a,1); %计算出a的规模的大小.
D=a;path=zeros(n,n);%设置D和path的初值.
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,j)~=inf
path(i,j)=j;
end
end
end
%做n次迭代，每次迭代均更新D(i,j)和path(i,j)
for k=1:n
for i=1:n
数学建模floyd算法最短路算法详解
m1=m1+q(j)*d(i,j); end m(i)=m1; end m min(m)
d = 0 3.0000 5.0000 8.0000 7.0000 7.0000 8.5000 3.0000 0 2.0000 5.0000 4.0000 4.0000 5.5000 5.0000 2.0000 0 3.0000 2.0000 6.0000 7.5000 8.0000 5.0000 3.0000 0 1.0000 5.0000 6.5000 7.0000 4.0000 2.0000 1.0000 0 4.0000 5.5000 7.0000 4.0000 6.0000 5.0000 4.0000 0 1.5000 8.5000 5.5000 7.5000 6.5000 5.5000 1.5000 0
选址问题--中心问题
例 2 某城市要建立一个消防站，为该市所属的七个区服务， 如图所示．问应设在那个区，才能使它至最远区的路径最短．
（1）用 Floyd 算法求出距离矩阵 D= (dij ) ．
（2） 计算在各点vi 设立服务设施的
最大服务距离S (vi ) ．
S (vi
)
max{d
1 j
6,0,3,inf,inf;inf,1.8,2,3,0,4,inf;inf,2.5,inf,inf,4,0,1.5;inf,inf,inf,inf,inf,1
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（ 2 ） D ( 2 ) = ( d i ( 2 ) j ) ， 其 中 d i ( 2 ) j m d i ( 1 ) , jd i i ( 2 1 ) d n 2 ( 1 j ) } {
算法原理—— 查找最短路路径的方法 若 rij( ) p1，则点 p1 是点 i 到点 j 的最短路的中间点.
然 后 用 同 样 的 方 法 再 分 头 查 找 ． 若 ：
（ １ ） 向 点 i 追 朔 得 ： r i ( 1 ) p p 2 , r i ( 2 ) p p 3 , … , r i ( k ) p p k （ ２ ） 向 点 j 追 朔 得 ： r p ( 1 j ) q 1 , r q ( 1 j ) q 2 , … r , q ( m j ) j
（ １ ） 赋 初 值 ：
对 所 有 i , j , d ( i , j ) w ( i , j ) , r ( i , j ) j , k 1 ( 2 ) 更 新 d ( i , j ) , r ( i , j ) 对 所 有 i , j ， 若 d ( i , k ) + d ( k , j ) < d ( i , j ) ， 则 wk.baidu.com ( i , j ) d ( i , k ) + d ( k , j ) , r ( i , j ) k
算法原理—— 求路径矩阵的方法
在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R．
R = ( r i ) , j r i j 的 含 义 是 从 v i 到 v j 的 最 短 路 要 经 过 点 号 为 r i j 的 点 ．
R ( 0 ) ( r i ( 0 ) ) , r j i ( 0 ) j j
则由点i到j的最短路的路径为： i,p k, ,p 2,p 1 ,q 1 ,q 2, ,q m ,j
i
pk
p3 p2 p1
q1
q2
qm
j
算法步骤
F l o y d
D ( i , j ) ： i 到 j 的 距 离 ． R ( i , j ) ： i 到 j 之 间 的 插 入 点 ． 输 入 : 带 权 邻 接 矩 阵 w ( i , j )
( 3 ) 若 k = ， 停 止 ． 否 则 k k + 1 ， 转 （ ２ ） ．
function [d,r]=floyd(w) n=length(w); for i=1:n
for j=1:n d(i,j)=w(i,j); r(i,j)=j;
end end for k=1:n
for i=1:n for j=1:n if d(i,k)+d(k,j)<d(i,j) d(i,j)=d(i,k)+d(k,j); r(i,j)=k; end end
0 3 5 10 7 5.5 7
3 0 2 7 4 2.5 4
5
2
0
5
2
4.5
6
D 10 7 5 0 3 7 8.5
7
4
2
3
0
4
5.5
5.5 2.5 4.5 7 4 0 1.5
7
4
6
8.5 5.5 1.5
0
S(v1)=10, S(v2)=7, S(v3)=6, S(v4)=8.5, S(v5)=7, S(v6)=7, S(v7)=8.5
S(v3)=6,故应将消防站设在v3处。
选址问题--重心问题
例 3 某 矿 区 有 七 个 矿 点 ， 如 图 所 示 ． 已 知 各 矿 点 每 天 的 产 矿 量
q ( v j) （ 标 在 图 的 各 顶 点 上 ） ． 现 要 从 这 七 个 矿 点 选 一 个 来 建 造 矿 厂 ． 问
算法原理—— 求距离矩阵的方法
把 带 权 邻 接 矩 阵 W 作 为 距 离 矩 阵 的 初 值 ， 即 D ( 0 ) = ( d i ( 0 ) ) j= W
（ １ ） D ( 1 ) = ( d i ( 1 ) ) j ， 其 中 d i ( 1 ) jm d i ( 0 ) , j d i ( 1 0 ) i d 1 ( 0 j ) } n{
每 求 得 一 个 D ( k ) 时 ， 按 下 列 方 式 产 生 相 应 的 新 的 R ( k )
r i ( k ) j r i ( k k 1 j ) 若 d i ( k 1 j ) 否 d i ( k 1 k ) d k ( k 1 ) j 则
即当vk被插入任何两点间的最短路 径时，被记录在R(k)中，依次求 R() 时求得 D(，) 可由R() 来查找任何点对 之间最短路的路径．
m =132 78 70 92 70 106 130 ans =70
实验八、最佳灾情巡视路线（节选部分）
实验内容： 求出下图中O到其它各点的最短路线（要求求
出最短路线及其最短距离） （节选了教材上337面图中的16个点：即15、
16、17、18、20、21、22、23、25、26、I、K、M、 N、O、P等16个点）
d i ( 2 ) j 是 从 v i 到 v j 的 只 允 许 以 v 1 、 v 2 作 为 中 间 点 的 路 径 中 最 短 路 的 长 度 ．
…
（ ） D ( ) = ( d i ( ) j ) ， 其 中 d i ( ) j m d i ( j 1 i ),d n i ( 1 ) { d ( j 1 ) }
d i ( ) j是 从 v i到 v j的 只 允 许 以 v 1 、 v 2 、 … v 、 作 为 中 间 点 的 路 径 中 最 短 路
的 长 度 ． 即 是 从 v i到 v j中 间 可 插 入 任 何 顶 点 的 路 径 中 最 短 路 的 长 ， 因 此
D ( ) 即 是 距 离 矩 阵 ．
选址问题--中心问题
例 2 某 城 市 要 建 立 一 个 消 防 站 ， 为 该 市 所 属 的 七 个 区 服 务 ，
如 图 所 示 ． 问 应 设 在 那 个 区 ， 才 能 使 它 至 最 远 区 的 路 径 最 短 ．
（ 1 ） 用 F l o y d 算 法 求 出 距 离 矩 阵 D = ( d i ) ． j
1 4 4 4 4 4 2 3 3 3
D5 2 0 2 4, R4 2 3 4 5
3 4 2 0 6
1 3 3 4 3
9 6 4 6 0
4 3 3 3 5
d 5 9 ， 故 从 v 5 到 v 1 的 1 最 短 路 为 ９ ．
r 5 ＝ ４ ． 由 v 4 向 v 5 追 朔 1 ： r 5 3 , r 5 3 ; 4 3 由 v 4 向 v 1 追 朔 ： r 4 1 1 所 以 从 v 5 到 v 1 的 最 短 路 径 为 ： 5 3 4 1 .
end end
自定义floyd函数
例 1 求下图中加权图的任意两点间的距离与路径．
clear; w=[0,9,inf,3,inf;9,0,2,inf,7;inf,2, 0,2,4;3,inf,2,0,inf;inf,7,4,inf,0]; [d,r]=floyd(w)
0 7 5 3 9 7 0 2 4 6
clear; w=[0,3,inf,inf,inf,inf,inf;3,0,2,inf,inf,4,inf;inf,2,0,6,2,inf,inf;inf,inf, 6,0,1,inf,inf;inf,inf,2,1,0,4,inf;inf,4,inf,inf,4,0,1.5;inf,inf,inf,inf,inf, 1.5,0]; [d,r]=floyd(w) q=[3,2,7,1,6,1,4]; for i=1:7
应 选 在 哪 个 矿 点 ， 才 能 使 各 矿 点 所 产 的 矿 运 到 选 矿 厂 所 在 地 的 总 运 力
（ 千 吨 公 里 ） 最 小 ．
（ 1 ） 求 距 离 阵 D = ( d i ) ． j
（ 2 ） 计 算 各 顶 点 作 为 选 矿 厂 的 总 运 力 m ( v i )
m ( v i ) q ( v j ) d ij i 1 , 2 , j 1
（ 3 ） 求 v k 使 m ( v k ) m 1 i { m ( v i ) v ， k 则 } i 就 是 选 n 矿 厂 应 设 之 矿 点 ． 此 点 称 为 图 G 的 重 心 或 中 位 点 ．
（ 2）计 算 在 各 点 vi 设 立 服 务 设 施 的 最 大 服 务 距 离 S(vi) ．
S(vi)m 1ja{dxij} i1,2,
（ 3 ） 求 出 顶 点 v k ， 使 S ( v k ) m 1 i { S ( v i )} in
则 v k 就 是 要 求 的 建 立 消 防 站 的 地 点 ． 此 点 称 为 图 的 中 心 点 ． clear; w=[0,3,inf,inf,inf,inf,inf;3,0,2,inf,1.8,2.5,inf;inf,2,0,6,2,inf,inf;inf,inf, 6,0,3,inf,inf;inf,1.8,2,3,0,4,inf;inf,2.5,inf,inf,4,0,1.5;inf,inf,inf,inf,inf,1 .5,0]; [d,r]=floyd(w) S=max(d’) %求矩阵各列的最大值 s=min(S)
m1=0; for j=1:7
m1=m1+q(j)*d(i,j); end m(i)=m1; end m min(m)
d = 0 3.0000 5.0000 8.0000 7.0000 7.0000 8.5000 3.0000 0 2.0000 5.0000 4.0000 4.0000 5.5000 5.0000 2.0000 0 3.0000 2.0000 6.0000 7.5000 8.0000 5.0000 3.0000 0 1.0000 5.0000 6.5000 7.0000 4.0000 2.0000 1.0000 0 4.0000 5.5000 7.0000 4.0000 6.0000 5.0000 4.0000 0 1.5000 8.5000 5.5000 7.5000 6.5000 5.5000 1.5000 0
最短路算法
任意一对顶点之间的最短路算法:Floyd算法
（一）算法的基本思想
( ) 1、求距离矩阵的方法 2、求路径矩阵的方法 3、查找最短路路径的方法
（三）算法步骤
算法的基本思想
直 接 在 图 的 带 权 邻 接 矩 阵 中 用 插 入 顶 点 的 方 法
依 次 构 造 出 个 矩 阵 D ( 1 ) 、 D ( 2 ) 、 … 、 D () ， 使 最 后 得 到 的 矩 阵 D () 成 为 图 的 距 离 矩 阵 ， 同 时 也 求 出 插 入 点 矩 阵 以 便 得 到 两 点 间 的 最 短 路 径 ．