离散数学及其应用课件第2章第2-4节
离散数学2PPT课件
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2021
4
定义
CHAPTER TWO
定义2.1 设A ,B 是两个命题公式，若A, B构成的等价式A ↔ B为 重言式，则称A与B是等值的, 记为A⇔B。
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例24
证明：(p→q)→r
⇔
p→(q→r）.
CHAPTER TWO
证 方法一：真值表法。
方法二：观察法。 方法三: 记A=(p→q)→r, B= p→(q→r)。先将A,B等值演算
化成易于观察真值的公式，再进行判断。
A=(p→q)→r⇔(┐p∨q)→r
(蕴含等值式)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r
(交换律，结合律)
(10) ⇔ p∧(1∨p)
（排中律）
(11) ⇔ p∧1
（零律）
(12) ⇔ p
（同一律）
(13) 可见，（3）中公式不是重言式，因为00，01 都是成假赋
值；它也不是矛盾式，因为10，11 都是其成真赋值，故它是可
3/25/20满21足式。
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例2.6
CHAPTER TWO
B2∧C3∧D10, B3∧C1∧D2p∧┐q∧r, B3∧C2∧D10 于是，由同一律可知 E(┐p∧q∧┐r) ∨(p∧┐q∧r)
但因为王教授不能既是苏州人，又是杭州人，因而p,r必有一个为假命 题，即p∧┐q∧r0 。
于是 E┐p∧q∧┐r 为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题， 即王教授为上海人，甲说得全对，丙说对了一半，而乙全说错啦。
离散数学课件第2章
序,而集合中的元素是不讲顺序的。但是 为了将所有的 概念都统一于集合概念， 可采用克亚托斯基(Kazimierz Kurafowski)在1921年给出的定义 (a, b)={{a},{a, b}} 将二元组定义为比其元素高二层的集合； (4) 也可用二元组来递归的定义n元组如下： (a,b,c)=((a,b),c)
例9 .设 A={1,2,3} R1 ={(1,1),(2,2)} ， R2 ={(1,2),(2,1)} 。
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元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)： R(a)={b : bBaRb }B ； (2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。 定理.设R A×B是一个二元关系， A1 ,A2 A 。则 (1)保序性：A1 A2 R(A1) R(A2) ； (2)R(A1∪A2) = R(A1)∪R(A2) ； (3)R(A1∩A2) R(A1)∩R(A2) 。
例.设A={a,b,c,d}， A1 = {c,d} ， R={(a,a),(a,b),(b,c),(c,a),(d,c),(c,b)}。
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§3 .关系的表示
关系的性质
一.关系表示法 1°关系的矩阵表示法 设关系RA×B ， 这里A,B是两个非空的有限集合， A={ a1,a2,a3,…,am } ， B={ b1,b2,b3,…,bn } 。 则 用一个m×n阶0—1矩阵MR来表示关系R， 称此矩 阵MR为关系R的关系矩阵(relation matrix)。 MR=(xij)m×n ，其中 1 当（ai,bj) R时 xij = ( i=1,…,m ； j=1,…,n) 0 当（ai,bj) R时
离散数学完整版课件全套ppt教学教程最全整套电子讲义幻灯片(最新)
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学第二章课件
2013/9/12
离散数学
15
关系图举例
• 例：设A={1,2,3,4,5} , R={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<1,4>,<5,4>,<5,1>}, 则，R的关系图GR如下：
1
5 4
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2 3
离散数学 16
下面关系图有什么性质
a b c a b d c b a c
(a)
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离散数学
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二元关系的性质的举例1
• 数值之间的相等关系“=” 对任意的x,y,z∈R(实数集),由“=”的性 质得: 对每一个x∈R ，x=x，∴ “=”是 自反的；若x=y,必有y=x,因此“=”是对 称的； 若x=y,y=x,必有x=y,因此“=”是 反对称的； 若x=y,y=z,必有x=z,因此“=” 是传递的；
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• 定理2.2.1: 设R是A到B的关系,S是B到C的关系,T是C到D的关 系,则 ( R S ) T R (S T )
证明： 同理可证 R (S T ) ( R S ) T
于是有：( R S ) T R (S T )
2013/9/12
2013/9/12
离散数学
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关系及其表示
特别地： (1)若R= A×B,称R为全关系。 (2)若A=B,则称R为集合A上的二元关系。 设:|A|=n,则|A×A|=n2,于是,A上所有不同的二 n2 n2 元关系共有2 。（|(A×A)|= 2 ） 其中大多数关系没什么意义，我们关心的是 具有一定性质的关系。
7
反对称性的讨论：
在反对称性定义中，对任意x,y ∈A， 若xRy 且yRx ,则x=y， 就称R是反对称的。 xRy 且yRx是条件； x=y是结论，在这里， 只要条件不成立，关系R就是反对称的。 当条件成立时，R是否是反对称的，要视 结论的真假而定。[例如]
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学第2章ppt课件
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
《离散数学教案》课件2
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义介绍离散数学的概念和特点强调离散数学在计算机科学中的应用1.2 离散数学的重要性解释离散数学在算法设计、编程和计算机科学其他领域的应用强调离散数学对于解决问题和逻辑思维的重要性1.3 离散数学的基本概念介绍集合、图、逻辑、组合等基本概念解释这些概念在离散数学中的作用和相互关系第二章：集合论2.1 集合的基本概念定义集合、元素、集合之间的关系介绍集合的表示方法：列举法和描述法2.2 集合的运算介绍集合的并、交、差、补等基本运算解释集合运算的性质和规律2.3 集合的推理和公理化介绍集合论的基本公理和公理化体系解释集合论的公理化意义和作用第三章：逻辑与布尔代数3.1 逻辑的基本概念定义逻辑联结词、命题、真值表等基本概念介绍逻辑推理和论证的基本方法3.2 布尔代数的基本概念介绍布尔代数的基本元素和运算解释布尔代数在计算机科学中的应用3.3 逻辑与布尔代数的关系解释逻辑和布尔代数之间的联系和转化举例说明逻辑表达式和布尔代数表达式的相互转化第四章：图论4.1 图的基本概念定义图、顶点、边等基本概念介绍图的表示方法和图的类型4.2 图的运算和性质介绍图的连通性、路径、圈等基本概念解释图的运算和性质的应用和意义4.3 图的应用介绍图在计算机科学中的应用：算法设计、网络结构等举例说明图的应用实例和解决实际问题的方法第五章：组合数学5.1 组合数学的基本概念定义组合、排列、组合数等基本概念介绍组合数学的基本原理和方法5.2 组合计数原理介绍排列组合计数原理及其应用解释组合计数原理在离散数学中的重要性5.3 图着色和组合优化问题介绍图着色问题的定义和解决方案举例说明组合优化问题及其解决方法第六章：算法设计与分析6.1 算法的基本概念定义算法、输入、输出、有效性和可读性等基本概念解释算法在解决问题中的重要性6.2 算法设计技术介绍常用的算法设计技术：贪心法、分而治之、动态规划等解释每种技术的应用场景和特点6.3 算法分析与复杂性介绍算法分析和时间复杂度、空间复杂度的概念解释常用算法分析方法和评价标准第七章：数理逻辑与命题逻辑7.1 数理逻辑的基本概念介绍数理逻辑中的基本概念：命题、联结词、逻辑运算等解释数理逻辑在计算机科学中的应用7.2 命题逻辑的推理规则介绍命题逻辑中的推理规则：蕴含式、否定式、De Morgan定律等解释这些规则在逻辑推理中的应用和意义7.3 数理逻辑与计算机科学解释数理逻辑在计算机科学中的重要作用：编程语言、形式验证等举例说明数理逻辑在计算机科学中的应用实例第八章：集合论与数理逻辑的应用8.1 集合论在计算机科学中的应用介绍集合论在计算机科学中的应用：数据结构、数据库等解释集合论在计算机科学中的重要性和作用8.2 数理逻辑在计算机科学中的应用介绍数理逻辑在计算机科学中的应用：形式语言、编译原理等解释数理逻辑在计算机科学中的重要性和作用8.3 集合论和数理逻辑在其他领域的应用介绍集合论和数理逻辑在其他领域的应用：数学、哲学等解释集合论和数理逻辑在其他领域的重要性第九章：图论的应用9.1 社交网络与图论介绍社交网络中的图论应用：网络结构、关系分析等解释图论在社交网络分析中的作用和意义9.2 路径与圈的应用介绍路径和圈在图论中的应用：最短路径、环路检测等解释路径和圈在解决实际问题中的重要性9.3 网络流与匹配问题介绍网络流和匹配问题的定义和解决方案解释网络流和匹配问题在计算机科学中的应用第十章：组合数学的应用10.1 组合数学在计算机科学中的应用介绍组合数学在计算机科学中的应用：数据存储、编码理论等解释组合数学在计算机科学中的重要性和作用10.2 组合优化问题介绍组合优化问题的定义和解决方案解释组合优化问题在离散数学中的重要性和应用10.3 组合数学在其他领域的应用介绍组合数学在其他领域的应用：生物学、经济学等解释组合数学在其他领域的重要性第十一章：离散数学与计算机科学11.1 离散数学与算法强调离散数学在算法设计和分析中的作用解释如何使用离散数学工具解决算法问题11.2 离散数学与数据结构探讨离散数学在数据结构设计中的应用解释离散数学概念如何帮助优化数据结构11.3 离散数学与编程语言讨论离散数学在编程语言设计和实现中的角色举例说明离散数学在编程语言特性中的应用第十二章：离散数学与实际应用12.1 离散数学与网络科学介绍离散数学在网络科学中的应用解释图论和其他离散数学概念在网络结构和分析中的重要性12.2 离散数学与密码学探讨离散数学在密码学中的核心作用解释离散数学如何帮助设计和分析密码系统12.3 离散数学与讨论离散数学在领域的应用解释离散数学在知识表示、推理和问题解决中的作用第十三章：离散数学的实践项目13.1 离散数学项目的设计与实施介绍如何设计离散数学实践项目强调项目实施的重要性和方法13.2 离散数学项目的案例分析分析成功的离散数学项目案例从中提炼经验教训，为今后的项目提供参考13.3 离散数学项目的评价与反馈讨论离散数学项目评价的标准和方法强调项目反馈在持续改进和学习中的重要性第十四章：离散数学与数学逻辑14.1 离散数学与数理逻辑探讨离散数学与数理逻辑的紧密联系解释数理逻辑在离散数学问题求解中的作用14.2 离散数学与模型论介绍模型论及其在离散数学中的应用解释模型论在形式系统验证和解释中的重要性14.3 离散数学与计算理论讨论离散数学在计算理论中的应用强调计算理论在理解计算过程和设备中的价值第十五章：离散数学的未来发展15.1 离散数学的新兴研究领域介绍离散数学新兴研究领域和发展趋势强调跨学科合作在离散数学研究中的重要性15.2 离散数学在新技术中的应用探讨离散数学在云计算、大数据等新技术中的应用解释离散数学在未来信息技术发展中的关键作用15.3 离散数学教育的挑战与机遇讨论离散数学教育面临的挑战和机遇强调离散数学教育在培养创新人才中的重要性重点和难点解析重点：1. 离散数学的基本概念和特点2. 集合论、逻辑、图论和组合数学的核心理论和方法3. 离散数学在计算机科学中的应用，如算法设计、数据结构、网络科学、密码学等4. 离散数学实践项目的设计、实施和评价5. 离散数学教育的挑战与机遇难点：1. 集合论、逻辑、图论和组合数学的高级理论和复杂应用2. 算法设计和分析中的数学建模与优化3. 离散数学在跨学科领域中的应用，如生物学、经济学等4. 离散数学教育中的教学方法和策略设计5. 离散数学研究的前沿领域和未来发展趋势希望本文的重点和难点解析能对学习离散数学的教案有所帮助。
《离散数学第2章》课件
关系的运算
总结词
关系的运算包括并、交、差、对称差两个关系的元素合并，并 保留重复的关联；交运算是保留两个关系中 共有的关联；差运算是从一个关系中去除另 一个关系中的关联；对称差运算是将两个关 系中的不同元素合并；复合运算是根据一个 关系来定义另一个关系中的关联。
01
分布函数是单调非减的，且在无 穷大处的极限为1，在负无穷处 的极限为0。
03
离散随机变量的分 布函数
对于离散随机变量，其分布函数 可以表示为一系列离散的阶梯函 数。
随机变量的数字特征
数学期望
数学期望是随机变量所有可能取值的 概率加权和，表示随机变量取值的平 均值。
协方差和相关系数
协方差是两个随机变量的数学期望的 差的期望值，相关系数是协方差与两 个随机变量标准差的乘积的比值。
随机变量的取值范围
随机变量的取值范围称为随机变量的值域，可以是有 限集、可数无穷集或不可数集。
随机变量的分类
根据取值范围的不同，离散随机变量可以分为离散型 和连续型。
随机变量的分布函数
01
分布函数的定义
对于离散随机变量，其分布函数 是所有可能取值的概率之和，表 示随机变量取某个值的概率。
02
分布函数的性质
必然事件
概率值为1的事件，表示一定会 发生。
不可能事件
概率值为0的事件，表示一定不 会发生。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
条件概率
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率的应用
在决策树、贝叶斯定理等领域有广泛应用。
独立性
01
事件的独立性是指一个事件的 发生不受另一个事件是否发生 的影响。
离散数学及应用 第3版 第2章 谓词逻辑
2.1个体词、谓词与量词
（3）∃x∀yP(x,y)，其中D = {1,2,3}，谓词P(x,y) : x = y 解：∃x∀yP(x,y)=∀yP(1,y)∨∀yP(2,y)∨∀yP(3,y)
=(P(1,1)∧P(1,2)∧P(1,3))∨(P(2,1)∧P(2,2)∧P(2,3)) ∨(P(3,1)∧P(3,2)∧P(3,3)) =(1∧0∧0)∨(0∧1∧0)∨(0∧0∧1) =0
2.1个体词、谓词与量词
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 x 表示在个体域中存在x 设P (x)是以D为个体域的一元谓词， xP(x) = 0 :对任意的x ∈ D,P(x)取值0 xP(x) = 1 :存在a ∈ D,P(a)取值1
➢ 设D = {a1,···,an}是有限个体域， ∃xP(x) = P(a1)∨P(a2)∨···∨P(an)
所以，∃x∀yP(x,y)与∀y∃xP(x,y)值不相同。
2.1个体词、谓词与量词
例2.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1) 人人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取二个不同的个体域 (a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 .
(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设T(x): x用左手写字, 符号化为 xT(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): x爱美 T(x): x用左手写字 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)T(x))
这是两个基本公式, 注意它们的使用
2.1个体词、谓词与量词
例2.4 在谓词逻辑中将下列命题符号化
(1) 正数都大于负数
(2) 有的无理数大于有的有理数
注意: 题目中没给个体域, 使用全总个体域
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学及应用PPT课件
28.04.2020
引 言（续）
六、参考教材：
1.《离散数学及其应用》魏雪丽等编著 机械工业出版社 2 .《离散数学》 左孝凌等著 上海科技文献出版社 3. 《离散数学 — 理论·分析·题解》 左孝凌等著
上海科技文献出版社 4. 《Discrete Mathematics and Its Applications》 （英文
1.1 命题及其表示方法
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元 之分。 命题常量：表示确定命题的命题标识符。 命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。 原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。
1.1 命题及其表示方法
小结：本节主要介绍了命题、命题的真值、 原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、 命题变元和原子变元的概念。 重点理解和掌握命题、命题变元、简单（原子） 命题、复合命题四个概念。
作业：P2 1,2
28.04.2020
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。
例：为了描述新开拓的应用领域中的各
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
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1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
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1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
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1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
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课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
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课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
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课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
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NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
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PQ
P
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离散数学标准讲义sy第2章精品PPT课件
2021/2/4
离散数学
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一阶逻辑命题符号化
例：在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将 下面两个命题符号化: (1) 凡是人都要呼吸. (2) 有的人用左手写字.
其中: (a)个体域 D1为人类集合； (b)个体域 D2为全总个体域.
解答
2021/2/4
离散数学
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F (x) : x呼吸。
再取i癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险2020622离散数学57一阶逻辑知识结构21一阶逻辑基本概念22一阶逻辑等值演算23一阶逻辑的推理理论第四次课第一二次课第三次课癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险2020622离散数学58一阶逻辑等值演算知识点量词消去等值式量词否定等值式量词辖域收缩与扩张等值式量词分配等值式代替规则癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险2020622离散数学59一阶逻辑等值式b为逻辑有效式则称a与b是等值的记作
(a)个体域 D1为人类集合；
(b)个体域 D2为全总个体域.
2021/2/4
离散数学
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一阶逻辑命题符号化
例：在个体域限制为(a)和(b)条件时，将下列命题符 号化:
(1) 对于任意的x，均有 x2-3x+2=(x-1)(x-2) .
(2) 存在x，使得 x+5=3.
其中: (a) 个体域 D1=N (N为自然数集合) (b) 个体域 D2=R (R为实数集合)
离散数学及其应用课件第2章谓词逻辑
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
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例题
给定解释I如下： I. 个体域为自然数集合N； II. a=0； III. N中特定的函数f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy； IV. N中特定的谓词F(x,y)：x=y。
在解释I下，求下列公式的真值。 1. xF(g(x,y),z); 2. xF(g(x,a),x)F(x,y); 3. xyzF(f(x,y),z);
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例题
在个体域分别为：(a):自然数集合，(b):实数集合时，将下列命题符号化， 并给出它们的真值。 1. 对于任意的x，均有x2−3x+2=(x−1)(x−2); 2. 存在x，使得x+5=2。
解 假设F(x)：x2−3x+2=(x−1)(x−2)，G(x)：x+5=2。 (a) 个体域为自然数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为0。 (b) 个体域为实数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为1。
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2.1.2 量词
定义2.1.5 表示个体常元或个体变元之间数量关系的词称为 量词。
量词有两种： • 全称量词 符号：
x表示对个体域“所有的x”，“每一个x”，“一切x”等。 • 存在量词 符号：
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证明： 5. xA(x) B xA(x) B
xA(x) B
x(A(x)Βιβλιοθήκη B)x( A(x) B)
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谓词逻辑的等价式（3）
定理2.4.3（量词分配律）设A(x)，B(x)是包含自由变元x的公式，则有 (1)xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) (2)xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)) 证明 （1）设I为任意解释。 如果xA(x) xB(x)在I下为真，则xA(x)和xB(x)都为真，于是对于任 意一个个体a都有A(a) B(a)为真，所以x(A(x) B(x))为真，因此xA(x) xB(x)x(A(x) B(x))。 如果x(A(x) B(x))在I下为真，则对于任意一个个体a都有A(a)和B(a)为 真，从而xA(x)和xB(x)都为真，于是xA(x) xB(x))为真，因此x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)。 故xA(x) xB(x) x(A(x) B(x))。
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例题
证明下面的蕴含式成立。 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) 解 xA(x) xB(x) xA(x)xB(x)
xA(x)xB(x) x(A(x) B(x)) x(A(x)B(x))
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谓词逻辑的蕴含式
定理2.4.6 设A(x,y)是包含自由变元x,y的二元谓词公式，则有：
1. xyA(x,y)xA(x,x) 2. xA(x,x) xy A(x,y) 3. xyA(x,y)yxA(x,y) 4. yxA(x,y)xyA(x,y)
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前束范式
定义2.5.1 一个谓词公式A，若具有形式Q1x1Q2x2QnxnM， 其中每个Qi(1in)为或，M为不含量词的谓词公式，则称谓 词公式A为前束范式。
(1) xA(x) xA(x) (2) xA(x) xA(x) 证明 （1）xA(x)为真 xA(x)为假 a使A(a)为假 a使A(a)为真 xA(x)为真，所以xA(x) xA(x)。 (2) xA(x)为假 a使A(a)为假 a使A(a)为真 xA(x) 为真 xA(x)为假，所以xA(x) xA(x)。
5
例题
对下列谓词公式中的变元更名，使每一变元只呈现一种出现形式。 (1)x(P(x) Q(x，y))R(x，y)； (2)x(P(x，y)Q(y，z))x R(x，y)yS(y) 解 (1)利用约束变元换名规则，将x(P(x) Q(x，y))中的约束变 元x换成z，得公式为：z(P(z) Q(z，y))R(x，y)； 或利用自由变元代入规则，将R(x，y)中的x用z代入，得公式为： x(P(x) Q(x，y))R(z，y)。 (2)利用约束变元换名规则，将x R(x，y)中的约束变元x换成u， 利用自由变元代入规则，将自由出现的三处y用t代入，得公式为： x(P(x，t)Q(t，z))uR(u，t)yS(y)。
3
例题
说明以下谓词公式中各量词的辖域及变元的约束情况。 (1)x(P(x)Q(x))； (2)x(P(x) yQ(x，y))； (3)xy(P(x，y)Q(y，z))x R(x，y) 解 (1)x的辖域是P(x)Q(x)，x为约束变元。 (2)x的辖域是P(x) yQ(x，y)，y的辖域是Q(x，y)， x，y为 约束变元。 (3)x的辖域是y(P(x，y)Q(y，z))，y的辖域是P(x，y)Q(y， z)， x的辖域是R(x，y)。在xy(P(x，y)Q(y，z))中，x，y为约束 变元，z为自由变元。在x R(x，y)中，x为约束变元，y为自由变元。
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量词的辖域及变元的约束
定义2.2.2 谓词公式xA和xA中出现在量词和后面的变元x称为量 词的指导变元。 每个量词后面的最小的谓词子公式，称为该量词的辖域。 在量词的辖域中，x的所有出现都称为约束出现。约束出现 的变元称为约束变元。 除约束变元以外的其它变元的出现称为自由出现。自由出 现的变元称为自由变元。
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谓词逻辑的等价式（4）
定理2.4.4 设A(x,y)是包含自由变元x,y的二元谓词公式，则 有：
(1)xyA(x,y) yxA(x,y) (2) xyA(x,y) yxA(x,y)
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例题
证明下面的等价式成立。 1. x(A(x) B(x)) xA(x)x B(x)； 2. xA(x) B(x) y(A(y) B(x))
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谓词逻辑的等价式（2）
定理2.4.2 （量词辖域扩张和收缩律）设A(x)是包含x为自由 变元的公式，B是不包含x的公式，则有
1. x(A(x) B) xA(x) B 2. x(A(x)B) xA(x)B 3. x(A(x) B) xA(x) B 4. x(A(x)B) xA(x)B
5. xA(x)B x(A(x)B) 6. xA(x)B x(A(x)B) 7. B xA(x) x(BA(x)) 8. B xA(x) x(BA(x))
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命题公式的代换实例
定义2.3.3 设A0是含命题变元p1，p2，p3， pn的命题公 式，A1,A2,…An是n个谓词公式，用Ai(1in)处处代替A0中的pi， 所得公式 A称为A0的代换实例。
如F(x)G(y)，xF(x)xF(x)都是pq的代换实例。 定理2.3.2 命题公式中永真式的代换实例都是永真式，矛盾 式的代换实例都是矛盾式。 证明略。
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2.3.2 谓词公式的分类
定义2.3.2 设A是一个谓词公式，如A在任何解释下的真值恒为真，则 称A为永真式(或逻辑有效式)； 如A在任何解释下的真值恒为假，则称该谓词公式为永假式 (或矛盾式)； 如果至少存在一个解释使A的真值为真，则称A为可满足式。
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例题
判定公式 xyA(x，y)yxA(x，y) 的类型。 解 设个体域为自然数集合，令A(x，y)表示xy=y。 yxA(x， y)在该解释下的真值为1，而此时xyA(x，y)的真值也为1。因 而在此解释下xyA(x，y)yxA(x，y)的真值为1。 再设个体域为自然数集合，A(x，y)表示xy。 yxA(x，y)在 该解释下的真值为1，而此时xyA(x，y)的真值为0。因而在此 解释下xyA(x，y)yxA(x，y)的真值为0。 因此公式xyA(x，y)yxA(x，y)不是永真式，是可满足 式。
证明
(1) x( A(x) B(x)) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) xA(x) xB(x) xA(x) xB(x)
(2) xA(x) B(x) xA(x) B(x)) xA(x) B(x) yA( y) B(x) y(A( y) B(x)) y(A( y) B(x))
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例题
给定解释I如下： I. 个体域为自然数集合N； II. a=0； III. N中特定的函数f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy； IV. N中特定的谓词F(x,y)：x=y。
在解释I下，求下列公式的真值。 1. xF(g(x,y),z); 2. xF(g(x,a),x)F(x,y); 3. xyzF(f(x,y),z);
2.2 谓词演算公式
一个谓词P和n个个体变元，如x1，x2，x3， xn，表示成
P(x1，x2，x3， xn)的形式，称为n元原子谓词公式，简称n 元谓词公式。
如果谓词公式中没有个体变元，即n=0时称为0元谓词公式。 0元谓词公式就是原子命题。
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谓词演算公式
定义2.2.1 谓词演算的合式公式，简称谓词演算公式，定义如下： • 每一个原子谓词公式都是谓词演算公式。 • 如果A是谓词公式，则( A)是谓词公式。 • 如果A和B都是谓词公式，则(A B),(A B),(A B),(A B)都是谓 词公式。 • 如果A是谓词公式，x是其中的任一变元，则xA和xA都是谓词公 式。 • 当且仅当有限次地应用上面的步骤得到的符号串才是谓词公式。
5. yxA(x,y)xyA(x,y) 6. xyA(x,y)yx A(x,y) 7. xyA(x,y)yxA(x,y) 8. yxA(x,y)xyA(x,y)
证明 (1) 设I为任意解释，如果xA(x,x)在解释I下为假，则存 在一个个体a,使得A(a,a)为假，于是yA(a,y)为假，因而有 xyA(x,y)为假，所以xyA(x,y)xA(x,x)。
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2.3 谓词公式的解释和分类
2.3.1 谓词公式的解释 定义2.3.1 谓词逻辑中公式A的一个解释（或赋值）I由如下 四部分组成： 1. 非空的个体域集合D； 2. A中的每个常元符号，指定D中的某个特定的元素； 3. A中的每个n元函数符号，指定Dn到D的某个特定的函数； 4. A中的每个n元谓词符号，指定Dn到{0,1}的某个特定的谓词；
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谓词逻辑的蕴含式
定理2.4.5 证明。 证明 （1）若x(A(x) B(x))为假，则存在个体a使A(a) B(a) 为假，于是A(a) 和B(a)都为假，因而xA(x)和xB(x)都为假， 从而xA(x) xB(x)为假。所以xA(x) xB(x)x(A(x) B(x))。 （3） 利用推理的CP规则，x(A(x)B(x)) xA(x) x((A(x) B(x)) A(x)) x((A(x) B(x)) A(x)) x(B(x) A(x)) xB(x) xA(x)xB(x)，所以x(A(x) B(x)) xA(x) x B(x)。
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谓词逻辑的蕴含式
定义2.4.2 设A和B是任意两个谓词公式，如果AB是永真 式，则称谓词公式A蕴含B，记为A B，称A B为蕴含式。
定理2.4.5 设A(x)，B(x)是包含自由变元x的公式，则有 (1) xA(x) xB(x)x(A(x) B(x)) (2) x(A(x) B(x))xA(x) x B(x) (3) x(A(x) B(x))xA(x)x B(x) (4) x(A(x) B(x)) xA(x)x B(x)
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2.4 谓词演算的关系式
定义2.4.1 设A和B是任意两个谓词公式，如果AB是永真 式，则称谓词公式A和B等价，记为A B。