运输问题及解法

供过于求：即产量大于销量时有
这两种情形都可以化为 ai
b
的形式来
j
求解
二.运输问题的模型
产销平衡问题模型
Min Z
cij xij
j
xij ai
(
p)
xij bj
i
xij 0
将约束方程式展开可得
x11
x1n x21
x2n
x11
x21
xm1 xm1
xmn
x12
x22
xm2
x1n
x2n
xmn
a1 a2
am b1 b2
bn
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
x11x12 x1n x21x22 x2n xm1xm2 xmn
1 1
m行
n行
1
1
1 11
1 1
1
11 1
1
0
1 i行
1
pij
0
1
m
j行
产销平衡表
销地
min z= 3x11+11x12+3x13+10x14 产地
B1 B2 B3 B4 产量
+x21 +9x22 +2x23 +8x24
A1
7
+7x31 +4x32+10x33+5x34
A2
4
x11+x12+x13+x14=7 x21+x22+x23+x24=4 x31+x32+x33+x34=9 x11+x21+x31=3 x12+x22+x32=6 x13+x23+x33=5
（ A2 B1 ）；
②计算出空格的检验数—等于闭回路上由此空格起奇
数顶点运价与偶数顶点运价的代数和。如σ11＝c11 -c13+c23-c21=1
销地
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产量
产地
B1 B2 B3 B4
A1
4 37
A1
A2
3
1
4
wk.baidu.com
A2
A3
6
39
A3
3 11 3 10 19 2 8 7 4 10 5
2.检验当前可行方案是否最优，常用的方 法有闭回路法和位势法，用这两种方法 计算出检验数，从而判别方案是否最优；
3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方 案，常采用闭回路法。
（Ⅰ）运输问题的常用解法： 最小元素法（确定初始方案）→闭回路法（检
验当前方案）→闭回路法（方案调整） 以下面例题说明这种方法的具体步骤：
3.调整:从σij 为最大正值的空格出发.对其闭回路上的 奇数顶点运量增加θ,偶数顶点的运量减少θ(这才能保 证新的平衡)，其中θ为该空格闭回路中偶数顶点的最 小值。
第五章 运输问题
一.运输问题的一般提法 在经济建设中，经常碰到物资调拨中
的运输问题。 例如 煤、钢材、粮食、木材等物资，在全 国都有若干生产基地，分别将这些物资调 到各消费基地去，应如何制定A调1，， 运方案， 使总的运输费用最少？
运输问题的一般提法是：
1.产销平衡问题
已知:m个产地A1，，A
，
m
x14+x24+x34=6 xij≥0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4)
运输问题一般用表上作业
法求解，需建立表格模型：
A3 销量
9 3656
单位运价表
销地
产地
A1 A2 A3
B1 B2 B3 B4
3 11 3 10 19 2 8 7 4 10 5
给出初始调运方案最常用的方法 ——最小元素法
产量分别是 : a1，，am，
n个销售地B1，，Bn，销量分别是: b1，，bn，
m
n
产销平衡,即 ai bj ,由Ai B j的运价为cij。
i 1
j 1
问:应如何调运使总费用最省 ?
即求Ai B j的运量xij，使运费可达极小化。
2.产销不平衡问题
此时分为两种情形来考虑： 供不应求：即产量小于销量时有
闭回路:从方案中某一始格出发，沿同行或同 列前进，当遇到一个数字格时可以可转90度 或继续前进，按此方法进行，直到回到始点 的一个封闭曲线。同行或同列最多有两个点。
最小元素法中的退化情况
销地
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产量
产地
B1 B2 B3 B4
A1
5 2 7 A1
A2
44
A2
A3
36
09
A3
3 11 3 10 39 4 8 1 2 10 5
销量 3 6 5 6
出现退化时，要在同时被划去的行列中 任选一个空格填0，此格作为有数字格。
2.检验（闭回路法:计算空格的检验数）
①找出任意空格的闭回路—除此空格外，其余顶点均 为有数格。如可找（ A1 B1 ）→ （ A1 B3 ） → （ A2 B3） →
1
1
1
0
0
1 i行
pij
0
1m
j行
0
0
0
ei
1
i行
0
0
pij ei em j
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含
有一个平衡关系式
ai bj ）
所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量
为m+n-1个。
三.运输问题的解法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用 线性规划法中的单纯形法来解决。但是：
销量 3 6 5 6
③计算出此空格的检验数σij,若σij≥０，则该方案为最
优方案，否则转３；
注：检验数的经济意义，以σ11为例，空格表示原方案中X11=0,
即A1 → B1 的运输量为0。若试着运1单位，则这样所引起的总
费用的变化恰是σ11，可见检验数σij的意义是： Ai → Bj增运１
单位所引起的总费用的增量。 σij >０，说明若增运一单位则在 总运输量不变情况下，总运费会增加。此时不应在 Ai → Bj上 增运。
销地
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产量
产地
B1 B2 B3 B4
A1
4 37
A1
A2
3
1
4
A2
A3
6
39
A3
3 11 3 10 19 2 8 7 4 10 5
销量 3 6 5 6
初始方案运费 Z0=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10+3×5=86(元)
表上作业法要求，调运方案的数字格必须 为m+n-1个，且所有数字格不构成闭回路。一 般，用最小元素法给出的方案符合这一要求。
例12：某食品公司下设3个加工厂A1， A2，A3， 和4个门市部B1， B2，B3，B4。各加工厂每天的 产量、各门市部每天的销售量以及从各加工厂 到各门市部的运价如下表所示。 问：该公司应如何调运，在满足各门市部销 售需要的情况下，使得运费支出为最少？
用线性规划法处理此问题。
设由产地i到销地j的运量为xij， 模型为：
1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯 形表太大；
2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0， 会使问题更加复杂。
以上两个原因使得我们不得不利用运输 问题的特点设计出它的特殊解法——表 上作业法。
表上作业法，实质上还是单纯形法。其步 骤如下：
1.确定一个初始可行调运方案。可以通过 最小元素法、Vogel 法来完成；