分式方程应用题-分类解析

分式方程应用题分类解析
一、营销类应用性问题
例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg 少3元，比乙种原料0.5kg 多1元，问混合后的单价0.5kg 是多少元？
解：设混合后的单价为0.5kg x 元，则甲种原料的单价为0.5kg (3)x +元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为x 48002000+斤，甲种原料的重量为32000+x ，乙种原料的重量为14800
-x ，依题意，得：
32000+x ＋14800-x =x 4800
2000+，解得17x =，
经检验，17x =是原方程的根，所以17x =．
二、工程类应用性问题
例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，
厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32
，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组． 解：⑴设甲队单独做需x 天完成，乙队单独做需y 天完成，丙队单独做需z 天完成，依题意可得： 116()11110()11125()3x y y z
x z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，
①，
②．③
①×61＋②×101＋③×51，得x 1＋y 1＋z 1=51
．④ ④－①×61，得z 1=301
，即z = 30，
④－②×101，得x 1=101
，即x = 10， ④－③×51，得y 1=151，即y = 15．
经检验，x = 10，y = 15，z = 30是原方程组的解．
⑵设甲队做一天厂家需付a 元，乙队做一天厂家需付b 元，丙队做一天厂家需付c 元，根据题意，得 6()870010()95005()5500a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，，．⇒800650300a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，
．
由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．
此工程由甲队单独完成需花钱108000a =元；此工程由乙队单独完成需花钱159750b =元．
所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．
评析：在求解时，把x 1，y 1，z 1
分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．
三、行程中的应用性问题
例3 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．
分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．
解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得
x x 6828-=x 5.1828
，解得46x =，
经检验，46x =是方程的根，且符合题意．
∴46x =，1.569x =，
即普通快车车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ．
列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义．
四、轮船顺逆水应用问题
例4 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度
分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即
顺水航行速度千米30=逆水航行速度千米
20．设船在静水中的速度为x 千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．
解：设船在静水中速度为x 千米／时，则顺水航行速度为(2)x +千米／时，逆水航行速度为(2)x -千米／时，依题意，得
230+x =220
-x ，解得10x =．
经检验，10x =是所列方程的根．
即船在静水中的速度是10千米／时．
五、浓度应用性问题
例5 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．
分析：浓度问题的基本关系是：溶液溶质
=浓度．此问题中变化前后三个基本量的关系如下表：
设加入盐x 千克．
根据基本关系即可列方程． 解：设应加入盐x 千克，依题意，得x x ++⨯40%1540=10020
．
100(40×15%＋x ) = 20(40＋x )，解得25x =．
． 经检验，25x =．
是所列方程的根，即加入盐2.5千克． 六、货物运输应用性问题
例6 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车
共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t ．
问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；
⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t 付运费20元计算)
分析：解题思路应先求出乙车与甲车每次运货量的比，再设出甲车每次运货量是丙车每次运货量的n 倍，列出分式方程．
解：⑴设这批货物共有T t ，甲车每次运x t ，乙车每次运y t ．
212a x T a y T x y ===g ∵，∶ ∴∶∶，
即乙车每次运货量是甲车的2倍．
⑵甲车每次运货量是丙车每次运货量的n 倍，乙车每次运货量是丙车每次运货量的2n 倍．
则180＋n 180= 270＋n 2170，解得
12n =． 所以这批货物总量为180＋180×2 = 540 (t)．
∵甲车运180t ，丙车运540－180 =360 (t)，
∴丙车每次运货量也是甲车的2倍．
∴甲车车主应得运费：540×51
×20 = 2160(元)，
乙、丙两车主各得运费：540×52
×20 = 4320(元)．
即应付甲车主运费2160元，付乙、丙两车车主运费各4320元．
1、 有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块
少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？
2、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。

已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。

求步行的速度和骑自行车的速度。

2、 一个分数的分母比分子大7，如果把此分数的分子加17，分母减4，所得新分数是原分数的倒数，求
原分数。

4、（2007吉林长春课改，5分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．
5、（2007辽宁沈阳课改，10分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天
数的45
，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？。