插空法解排列组合题 专题辅导
排列组合专题12 插空法模型(练习版+解析版)
专题12插空法模型例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A．96B．144C．240D．288例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A．10B．15C．20D．24例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A．60B．48C．36D．24例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A．72种B．108种C．36种D．144种例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768C．810D．816例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A．1360B．16C．715D．115例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）A．48B．144C．288D．576例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A．432B．576C．696D．960例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种B．36种C．72种D．144种例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A．40B．36C．32D．20例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A．48B．54C．72D．84例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A．96B．120C．48D．72例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）A．72种B．144种C．360种D．720种例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.A B C D E F六人并排站成一排，,A B必须站在一起，且,C D不能相邻，那么不同的排法共有例20．,,,,,_____种（结果用数字表示）.例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.专题12插空法模型例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B .例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A ．96B ．144C ．240D ．288【解析】当重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：323436A C =个当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同∴满足题意的五位数共有：364144⨯=个本题正确选项：B例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A ．10B ．15C ．20D ．24【解析】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内∴关灯方案共有：3510C =种故选：A例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A ．60B ．48C ．36D ．24【解析】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为22222324A A A =，故选：D ．例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种【解析】先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A 种方法，再与另一个男生排列，则有22A 种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A 种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A 种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A =种.故选：D ．例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A ．720B ．768C ．810D ．816【解析】由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A 48=种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A 288=种情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434432C C A =种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【解析】由题意知先使五个人的全排列，共有55A种结果．(1)身穿红、黄两种颜色衣服的两人都相邻时，把相邻的两人看成一个整体，共有22322324A A A=种情况；(2)只穿红颜色衣服两人相邻，穿黄颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有22222324A A A=种情况；(3)只穿黄颜色衣服两人相邻，穿红颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有22222324A A A=种情况；∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有552422448A--⨯=种情况，故选：A．例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A．1360B．16C．715D．115【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810A．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有36A种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为5376A A．所以所求的概率537681016A APA==，故选：B．例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）A．48B．144C．288D．576【解析】分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有2323A A种不同排法，把高二年级两个同学排入4个空位中的2个（插空法）有24A种不同方法，故第一类有232234144A A A=种站法，第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144种站法，由分类加法计数原理知，共有144144288+=种站法，故选：C例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A．432B．576C．696D．960【解析】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A22A34(A+1224)576C A=种.故选：B.例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种B．36种C．72种D．144种【解析】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有22A种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有33A种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有24A种，由于是分步进行，所以共有232234144A A A ⋅⋅=种，故选：D .例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A ．40B ．36C ．32D ．20【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种.故选：A .例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A ．48B ．54C ．72D ．84【解析】根据题意，分2步进行分析：①先将3名乘客全排列，有336A =种情况，②3名乘客排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，有4种情况，在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，有3种情况，则恰好有2个连续空座位的候车方式有64372⨯⨯=种；故选：C ．例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A ．96B ．120C ．48D ．72【解析】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种，根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边，排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ，根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B.例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）A ．72种B ．144种C ．360种D ．720种【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有442A 种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有24A 中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有4244=1442A A ⋅种.故选：B .例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有44A 种排法，再安排空盒，有2252C A 种方法，再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有3232A A 种排法，再安排空盒，有2242C A 种方法，因此所求放法种数为44A 2252C A -3232A A 2242336.C A =例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．【解析】从3人选择2人进行捆绑，形成1个“大元素”，然后与另外1人形成2个元素，再由3把椅子所形成的4个空位中选择2个空位插入即可，由分步乘法计数原理可知，符合条件的坐法种数为242372A A =.故答案为：72.例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.【解析】从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，方法有236A =种，先排三个奇数，有336A =种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，方法有2412A =种根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：6612432⨯⨯=种若1排在两端，3个奇数的排法有12224A A ⋅=种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有236A =种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6位数共有646144⨯⨯=种故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有432144288-=种故答案为：288例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.【解析】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有3620C =种不同方法.故答案为：20例20．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB两人看成一个元素，与2EF人进行全排列，有232312A A=种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C、D，有2412A=种情况，则有1212144⨯=种不同的排法.故答案为：144.例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.【解析】5个相同的小球产生4个空，插入两块隔板，共有246C=种投放方法.故答案为：6.例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.【解析】第一步：从后排8人中，抽取2个不相邻的同学共有：65432121+++++=种选法；第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有222A=种方法；第三步：将所抽取的两名同学插入前排4人形成的5个空档中，共有155C=种方法，由分步乘法计数原理可知，共有2125210⨯⨯=种调整方法.故答案为：210.8。
排列组合中捆绑法和插空法的应用,典型例题讲解
相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元素，与其它元素排列，然后再对相邻的元素内部进行排列。
(例3）7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列，有55A种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列由分步计数原理可得：5353A A种不同排法例4：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有55A种排法，而三个女孩之间有33A种排法所以不同的排法共有：5353720A A（种）。
变式1：若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）对于相邻问题,常常先将要相邻的元素捆绑在一起,视作为一个元素,与其余元素全排列,再松绑后它们之间进行全排列.这种方法就是捆绑法.不相邻问题——插空法对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。
例4）7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分析：可先让其余4人站好，共有44A种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲，乙，丙插入，则有35 A种方法，这样共有3445AA种不同的排法。
变式2：若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有44A种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有35A种方法，所以共有：43451440A A=（种）排法。
变式3：男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？23423428 A A A=解：先把四个男孩排成一排有44A种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有33A种方法，所以共有：4343144A A=（种）排法。
例析求解排列组合问题的四个途径
解题宝典解答排列组合问题,需重点研究给定的元素在排列的过程中可能出现的情况的数量,需要考虑的情况比较多,很多同学在解题时得不到正确的答案.熟悉一些常用的解题途径,有利于提高解答排列组合问题的效率.一、利用插空法求解对于要求元素不相邻的排列组合问题，我们一般优先考虑插空法，即先排列没有要求的元素,然后把要求不相邻的元素插入其他元素的间隔中或者首尾的位置.若m 个元素中有n 个不相邻的元素，需首先排列其他没有要求的m -n 个元素，再把这n 个元素随机插入m -n +1个间隔中，即可求得问题的答案.例1.将2个男生和4个女生排成一排，要求男生既不相邻，也不站在队伍的两端，则共有____种排法.解析：首先将没有要求的4个女生排成一排,共有A 44种排法，然后把2个男生插入4个女生中间的3个空中，共有A 23种排法，根据分步计数原理可得，满足要求的排法有A 44A 23=144种.运用插空法解题主要分三步，首先对没有特殊要求的元素进行排列，再把不相邻的元素插入其他元素的空隔中，最后运用乘法原理得出结果.二、利用隔板法求解有些问题中的元素是相同的,没有任何区别，对于这样的问题,我们一般采用隔板法来求解.若把n 个相同元素分成m 份()n 、m 均为正整数，要求每份至少含有1个元素，就可以把m -1块隔板插进n -1个空隙中，这样就有C m -1n -1种分法.例2.已知有7个相同的小球，现将它们任意放入4个不同的盒子中，则每一个盒子都至少有1个小球的放法有_____种.解析：每2个球之间都有1个空，则7个小球中有6个空，把7个小球分成4份，只需在6个空中任选3个插入隔板，共有C 36=20种插法.运用隔板法解题的关键是确定隔板和空隙的个数.三、利用间接法求解有些问题如果从正面分析，要讨论的情况较多或者较为复杂，此时我们可以运用间接法来求解，从问题的对立面来进行分析，着重分析其对立事件，这样可以简化解题的过程，优化解题的方案.例3.某班级为晚会准备了6个不同类型的节目，为节目效果考虑，要求小品节目不排在第一个和最后一个，跳舞节目和唱歌节目必须排在一起，则该晚会节目的表演顺序有_____种.解：若跳舞节目和唱歌节目必须排在一起，则共有A 22A 55=240种排法，若小品节目排在第一个和最后一个，则有C 12A 22A 44=96种排法，所以该晚会的节目表演顺序共有240-96=144种排法.该问题若从正面进行考虑，要分析的情况较多，采用间接法解答较为简便.将总的节目表演顺序数目减去不满足要求的数目，便得到了满足要求的节目表演顺序数目.这样避免了分情况难以讨论清楚的问题，有效地提升了解题的效率.四、利用优先法求解优先法常用于求解有特殊要求的排列组合问题.在解题时，要首先对特殊的元素、位置进行分析，求出所有满足条件的可能，然后在满足特殊要求的情况下求出排列组合的可能个数，进而求出问题的答案.例4.已知生产过程含有4道工序，每道工序都需要安排1人进行质检，现从6人中选取4人对每道工序进行检验，若第1道工序只能由甲或乙负责，第4道工序只能由甲或丙执行，则不同安排的方案共有____种.解：分两种情况进行讨论：①若甲在第1道工序或第4道工序中，则第1道工序或第4道工序有C 12种方案，再从剩余的个4人中任意选取2个人安排到剩余的2道工序中，有A 24种方案.因此共有C 12A 24=24种方案，②若甲不在第1道工序也不在第4道工序中，则第1道工序只能安排乙、第4道工序只能安排丙，再从剩余的4个人中任意选取2个人安排到剩余的2道工序中，有A 24种方案.所以共有方案A 24=12种；综上，满足要求的方案有C 12A 24+A 24=36种.本题较为复杂，有特殊要求的元素、位置较多，需首先利用分类讨论思想，对甲的位置进行讨论，然后逐步安排第1道工序、第4道工序以及第2、3道工序上的检验员，最后根据分类计数原理求得结果.通过上述分析，同学们对解答排列组合问题的这四个途径有了基本的了解.可以看出，这四个途径适用的条件各不相同.插空法适用于解答相邻问题，隔板法适用于解答元素相同的问题，间接法适用于解答反面情况较少的问题，特殊优先法适用于求解有特殊要求的问题.因此，在解题时，同学们要注意分辨问题的模型，然后选择合适的途径来解题.(作者单位：安徽省无为市第二中学)例析求解排列组合问题的四个途径袁社军39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
排列组合之插空法
插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序
注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边
（2）要从题目中判断是否需要各自排序
【Example 1】
甲乙丙等6人站成一排，求甲乙丙不相邻的排队方案种类数.
【Example 2】
书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法
【Example 3】
从1，2，3，…20中任取5个不同的数，则这5个数都不相邻，这样的取法有多少种？
1. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.有2个空车位置连在一起，不同
的停车方法有多少种？
2. 马路上有编号为1，2，3，…9的九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
4. 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙
必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种类有多少？
5. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A −∉且1k A +∉，那么称k 是集合
A 的一个“孤立元”，给定{}
1,2,3,4,5,6,7,8S =，则S 的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）
A. 6
B. 15
C. 20
D. 25。
2024公务员联考行测数量关系解题技巧
2024公务员联考行测解题技巧1、利用插空法解决排列组合题“排列组合问题”是行测数量关系中常考的题型，也是大家觉得较难的题型。
往往很多同学看到排列全颗就直接放弃不做，其实解排列组合题目也是讲究方法的，当我们找准方法时，解题就能事半功倍了。
一、要点梳理插空法：当排列组合题中，有元素要求不相邻，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素指入到已排好的元素的间隙或两端位置。
二、例题解析【例1】某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。
某考生要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有（）种。
A.24B.72C.96D.120答案：B【解析】题目要求观看视频和阅读文章不能连续进行，也就是说两者不相邻，那我们可以使用插空法解题。
即先将除观看视频和文章阅读外的三个学习内容排好，题目当中说考生需要先后完成五个部分的学习且五个部分的学习内容不同，那收藏分享、论坛交流、考试答题中部分内容的安排可列式为A33，而三个元素排好包含两端会产生4个位置，接下来在4个位置中选两个位置插入观看视频和阅读文章即可，又因为需要考虑观看视频和阅读文章的顺序，所以列式为A24。
第一步安排其他三个学习内容，第二步按排观看视频和阅读文章，分步运算用乘法，因此该学员学习顺序共有A33×A24=72种，故选B项。
【例2】某条道路一侧共有20盥路灯。
为了节约用电，计划只打开其中的10盏。
但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有（）种开灯方案。
A.2B.6C.11D.13答案：c【解析】题目要求说相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，也就是找不到两盏相邻的不亮的路灯，即不亮的路灯不能相邻，选择插空法。
先将亮着的10盏路灯排好，因为路灯与路灯一样，没有顺序要求，所以10盏亮着的路灯就一种情况。
10盏路灯包括两端会形成11个位置C1011=11种，故选择c项。
山西政法干警行测排列组合知识点：插空法
山西政法干警行测排列组合知识点：插空法在政法干警考试中，排列组合题是行政能力测试中判断推理模块逻辑判断部分常考的题型，然而由于这种题目已知信息较为复杂，使得很多同学难以在很短时间内将其解答出来。
解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题;同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。
接下来，中公政法干警考试网就为大家详细分析排列组合的速解技巧，帮助大家充分做好政法干警行测备考工作。
插空法
所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。
注意：a.首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。
b.将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。
c.对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。
例：若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少排队方法?
A.9
B.12
C.15
D.20
正确答案【B】
解析：先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A(3，3)×A(2，2)=12种。
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高中数学二轮专题突破---插空法在排列组合中的运用
插空法在排列组合中的运用某些元素钚相邻的排列组合题，可采用“插空法”加以解决．其方法是先把一些受限制的元素（或不限制的元素）排列．然后再把其余的元素插到排列中去，用这种方法解题，思路清晰．简便易懂。
本文结合实例加以说明。
例1. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 33，○*○*○*○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A 14种，所以每个人左右两边都空位的排法有3314A A =24种.解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 34=24种.例2、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解：先排好8辆车有A 88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C 19种方法，所以共有C 19A 88种方法.注：题中*表示元素，○表示空.例3、一张节目表上原有8个节目，如果保持这8个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？解：9个节目要占九个位置。
○○○○○○○○○，现在只需将两个新添的两个节目排好原来的八个节目依次排放即可。
所以由2936C 种方法。
例4、一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有37C 种方法，因此所有不同的关灯方法为35种。
例题5. 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？解法一：列表解题，第四个数=第一个数＋第二个数。
捆绑法 插空法速解公务员考试行测中排列组合题
捆绑法插空法速解公务员考试行测中排列组合题公务员考试辅导专家王永恒老师在多年公务员考试辅导过程中，发现学员经常有这样的困惑，同样类型的题，因为表达形式有所变化，所以就不会用已学过的方法去解题，进而影响了复习进度和学习效率。
针对此，王永恒老师精选了一些典型试题，详细讲解排列组合问题两大重要方法——捆绑法和插空法的运用。
捆绑法和插空法是解数量关系中排列组合问题的重要方法，主要用于解决“相邻问题”和“不邻问题”。
总的解题方法是遵循“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”的规则。
一、“相邻问题”捆绑法——先捆绑，再排列“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
【王永恒提示】运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
二、“不邻问题”插空法——先排列，再插空“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成DCE，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
数量关系技巧：排列组合小技巧系列之插空法
数量关系技巧：排列组合小技巧系列之插空法中公教育研究与辅导专家 赵一雯行测考试中必然会涉及到数量关系，而排列组合是数量关系中比较令人头疼的题型。
排列组合的题目往往不会很难，技巧性也比较强，只需要掌握必要的计算原理和方法就可以解决这类题型，但仅仅学会基本定义和基本的计算方法还远远不够，掌握一些常用的解题方法，可以更快得应对此类问题，今天中公教育专家跟大家分享排列组合中一种常用的解题方法——插空法。
一、方法介绍五个人排成一列，3个男生，2个女生，要求2个女生不能相邻，有多少种不同的安排方法？问到有多少种不同的安排方法，可以知道需要运用到排列组合相关知识。
那么我们来想一下这道题目，两个女生不相邻，我们可以把将这两名女生安排在男生周围的空隙中，这样就可以保证一定不相邻。
因此，我们先将三名男生安排好顺序33A ，再将2名女生安排在这三个男生周围出现的4个空隙中，24A 。
因此共有安排方法7234232433=⨯⨯⨯=⨯A A 种安排方法。
刚才这道题目便是我今天要讲的可以利用插空法解决的排列组合题目，那么什时候可以使用这种方法呢？只要题目中出现某几个元素不相邻的要求，我们就可以采用插空法来满足题目的要求。
总结一下解题的思路。
我们是先将没有特殊要求的三个男生安排顺序，所以采用插空法，第一步，将无特殊要求元素排列。
之后将不能挨在一起的女生插空安排，所以第二步将不相邻的元素按照题目要求插空排列。
需要注意的是，插空安排的元素是否有顺序要求。
了解完插空法的使用环境和解题思路后，我们利用插空法来解决下这道题目：二、巩固提高某学校组织文艺汇演，节目包括歌曲类1个，相声类3个，舞蹈类4个，魔术类2个。
要求相声类节目不能连续演出且不能作为开场或闭场节目，两个魔术类节目连续出演，有多少种不同的安排方法?中公解析：因为相声类不能连续演出，因此相声节目插空安排，而魔术连续演出则需要捆绑在一起，所以除相声以外其他节目，排列有66A种方法。
公务员行测《插空法速解排列组合》
插空法速解排列组合在行测数量关系中，排列组合问题算是考生最头疼的问题了，考生往往需要思考很长时间，却依旧做不出来，导致考生在做题过程中会直接跳过排列组合问题，这无疑会影响考生的最终得分。
其实在排列组合中有一部分特殊题型，能够达到快速解题的效果，今天公考通带大家一起来看一下排列组合中的常用方法——插空法。
例1.有A、B、C、D、E五个人要排成一行，A、B要求不相邻，问一共有多少种排列方法?A.24B. 36C.48D.72【答案】D。
解析：问一共有多少种排列方法，从问题可以看出是排列组合问题，因为存在排序，交换A、B、C、D、E五个人的位置会对结果造成影响，所以是排列。
但这个问题中有一个要求：“A、B要求不相邻”，则可以先排C、D、E，为A33；之后在C、D、E形成的四个空中选两个空插入A、B，为C42，也就满足了题干要求的“A、B要求不相邻”；但此时A、B交换顺序对结果有影响，应考虑A、B的顺序，为A42；所以列式为A33 x A42=6x6x2=72，选择D。
提醒：排列组合问题中，出现要求“不相邻”，可以用插空法进行快速解题。
解题步骤为①先考虑其他元素②选空③排空。
例2.五本不同的童话书和四本相同的漫画书整齐的摆放在书架上，现在要求所有漫画书不能摆放在一起，问有多少种摆放方法?A.120B.1200C.1800D.17280【答案】C。
解析：问有多少种摆放方法，属于排列组合问题，出现“不相邻”。
考虑用插空法，步骤1先考虑剩余元素。
五本不同的童话书没有要求，先将童话书进行全排列，为A55。
2选空，从五本漫画书形成的六个空中选择四个空房漫画书，为C64。
3排空，四本漫画书相同，交换漫画书的位置对结果无影响，因此可列式为A55 x C64 =120x15=1800，选择C。
提醒：插空法中第三步为排空，一定要注意交换元素顺序对结果是否有影响。
通过以上讲解可以发现，排列组合问题中也有能够快速解决的问题，学会这些问题能够提高我们的能力与成绩。
(完整版)排列组合问题之捆绑法_插空法和插板法
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。
排列组合专题三 插空法
排列组合专题三插空法一、标准的插空法....................................................................................................................... - 1 -（一）插空法引入介绍....................................................................................................... - 1 - （二）插空法模型训练....................................................................................................... - 1 -二、插空中的定序....................................................................................................................... - 3 -三、插空中的转化：相邻至少与插空....................................................................................... - 3 -四、插空中的分类....................................................................................................................... - 4 -（一）三类元素各自不邻问题........................................................................................... - 4 - （二）相邻至多与插空....................................................................................................... - 5 - （三）部分同种元素相邻问题........................................................................................... - 5 - 五、疑惑诠释：插空法与分步法............................................................................................... - 6 -（一）分步插空法介绍....................................................................................................... - 6 - （二）分步插空法示例....................................................................................................... - 7 - （三）分步插空与插空法的区别....................................................................................... - 7 -一、标准的插空法（一）插空法引入介绍【例1】5个人站一排，甲乙不相邻，有多少种排法？【答案】443A【例2】8个人站一排，甲乙丙都不相邻，有多少种排法？【答案】3655A A【方法】①找出被插对象并排列②将不相邻者放入空中并排列（二）插空法模型训练【例1】5名妈妈和5个儿童进行排列，要求5个儿童不相邻，有多少种排法？【答案】5655A A【例2】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，有多少种排法？【答案】3544A A【例3】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，且不能排在第一节和最后一节，有多少种排法？【答案】4433A A【例4】8名同学和2名老师合影，要求老师不相邻且不排在两端，有多少种排法？【答案】2788A A【例5】把5名同学排到6个座位中，且B A ,不相邻，有多少种排法？【答案】2544A A【例1】文艺演出舞台上有15只相同的彩灯，每次闪灯恰有6只是关着的，且相邻的灯不能同时关，两端的灯必须一直亮，有多少种排法？【答案】28【例2】显示屏一排有7个小孔，可以显示0或1两种信号，每次显示3个小孔，但相邻孔不能同时显示，则显示屏能显示的信号种数是多少？【答案】80三、插空中的转化：相邻至少与插空【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至少有一节艺术课，有多少种排法？【答案】3433A A（一）三类元素各自不邻问题【引理】两人分类的相邻与不邻A,都不与C相邻，共有多少种排法？【例1】5人排成一排，B【答案】36【破解方法】1.从最多开始2.相邻与不邻的讨论【例1】5本不同的书，其中语文2本，数学2本，物理1本，对其进行排列，要求同一科目不相邻，有多少种排法？【答案】48【例2】文艺演出中有三类节目，3个歌舞类节目，2个小品类，1个相声类，对其排列，要求同类节目不相邻，有多少种排法？【答案】120（二）相邻至多与插空【破解方法】讨论相邻个数【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至多有一节艺术课，有多少种排法？【答案】22222333A A C A （三）部分同种元素相邻问题【破解方法】打包+不邻【例1】将4个白球，1红1蓝1黄1绿进行排列，要求只有2个白球相邻，有多少种排法？【答案】441524A C C【例2】将4名男生，2名女生排成一排，男生只有两个相邻，则不同的排法有多少种？【答案】144【例3】某名学生默写英文单词()”会计“bookkeeper ，他记得这个单词是由3个""e ，2个""o ，2个""k ，r p b ,,各一个组成，2个""o 相邻，3个""e 恰有两个相邻，e o ,都不在首位，他按此条件写出的结果有多少个？【答案】9000五、疑惑诠释：插空法与分步法（一）分步插空法介绍 1.可以用分步法理解2.用分步法涉及从一堆元素中多次选取时会重复（二）分步插空法示例【例1】5名同学排成一排，甲不站排头或排尾，有多少种排法？【答案】1344C A【例2】12名同学合影，前排站4人，后排站8人，摄影师从后排找2人站在前排，剩下的同学相对顺序固定，有多少种排法？【答案】2830C【小结】向一群元素中插入多个元素，不涉及相邻时，可采用多次插入的方法. （三）分步插空与插空法的区别【例1】6个人站一排，甲乙不相邻，共有多少种排法？【答案】141544C C A【小结】避开相邻的特殊空也可以插入。
2020长春市事业单位公共基础知识备考：排列组合问题——插空法
2020长春市事业单位公共基础知识备考：排列组合问题——插空法排列组合作为事业单位考试考点，事业单位一直也有考到排列组合的题型，不仅可以考察排列和组合，在概率，最不利原则里也经常会用到排列组合，所以这也是一个重点知识，作为即将成功上岸的各位考生，前期复习就是要掌握常考理论要点。
排列组合中包含众多不同类型的考察点，今天我们要分享的是排列当中的插空法题型，希望通过今天的分享，各位备考学子能掌握其中的核心点和应试技巧!一、插空法插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到他们的间隙或两端位置，从而解决问题的策略，运用插空法解答有关元素不相邻的问题非常方便。
二、插空法的解题思路①：先排其他元素②再插空不相邻的元素三、插空法的简单应用例1、有4盒不同红花和3盘相同的白花排一排，有多少种不同的排法?A.120B.240C.360D.180【答案】B。
解析：先将不同的红花先排，有A44种排法，然后将相同的白花插入到4盘红花中，有5个空，因为花一样，不考虑排序，有C53种插法，由乘法原理得A44xC53等于240。
例2、有4盒不同红花和3盘不同的白花排一排，有多少种不同的排法?A.240B.480C.720D.1440【答案】D。
解析：先将不同的红花先排，有A44种排法，然后将不同的白花插入到4盘红花中，有5个空，因为花不相同，考虑排序，有A53种插法，由乘法原理得A44xA53等于1440。
例3、学校安排一天的课程，有4节不同的理论课，3节不同实训课，2节不同活动课制定课表，要求实训课排一起，活动课不相邻的排法有几种?A.1680B.21800C.21600D.28600【答案】C。
解析：可将3节实训课捆绑在一起当做1个元素，但是有内部排序A33，将4节理论课和实训课看成5个元素先排，A55种方法，5个元素中有6个空，将2节实训课插入到6个空中，A62种插空法，一共有A55×A3 3×A62种方法，等于21600。
排列组合问题之捆绑法_插空法和插板法
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用 (1)
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用之五兆芳芳创作捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比方：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑.这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区此外还需进行一定的顺序考虑.插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素按照题目要求拔出到已排好的元素的空隙或两端位置.插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采取将比分组数目少1的隔板拔出到元素中的一种解题战略.题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”.例1：分两种情况考虑14个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2种24个空，这就相当于考虑两个数在4种综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法.例2：A、B、C、D、E五团体排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法.插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三团体站在那有一共留出4个空，将A、B辨4个空的不合的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，C、D、E三团体也存在一个，综上，共有6*12=72种例3：A、B、C、D、E五团体排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法.捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既考虑其和C、D、E共4，又因为A、B两人，综上，共有48种.例4：将8个完全相同的球放到3个不合的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种办法？插隔板法：解决这道题只需将8个球分红三组，然后依次将每一个组辨别放到一个盒子中便可.8个球分红3个组可以这样，用2个隔板插到这8个球中，这样就分红了3个组.这时我们考虑的问题就转化成了我们在8个球的空隙中放2.8个球有7个空隙，7个空隙要放221种.个隔板放到9颗糖形成的8个空隙中，便可分红4天要吃的.种.不邻问题插板法解题要点“不邻问题”插板法——先排列，再插空“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素拔出已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的战略.例1：若有A、B、C、D、E五团体排队，要求A和B两团体必须不站在一起，则有多少排队办法?【解析】题目要求A和B两团体必须离隔.首先将C、D、E三团体排列，有种排法;若排成DCE，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也便是：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法.由乘法原理，共有排队办法：.例2：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不合的添加办法共有多少种?【解析】直接解答较为麻烦，可利用插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位(原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位)，有种办法;再用另一个节目去插8个空位，有种办法;用最后一个节目去插9个空位，有种办法，由乘法原理得：所有不合的添加办法为=504种.例3：一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不克不及同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不合的关灯办法有多少种?【解析】若直接解答须分类讨论，情况较庞杂.故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种办法(请您想想为什么不是)，因此所有不合的关灯办法有种.【提示】运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包含先排好元素“中间空位”和“两端空位”.解题进程是“先排列，再插空”.计数之插板法总结：插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中拔出若干个（b）个板，可以把n个元素分红（b+1）组的办法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分红的每一组至少分得一个元素(3)分红的组别彼此相异举个很普通的例子来说明：把10个相同的小球放入3个不合的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，C92=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用:a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此办法）1 ：把10个相同的小球放入3个不合的箱子，问有几种情况？2：把10个相同小球放入3个不合箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？b 添板插板法3：把10个相同小球放入3个不合的箱子，问有几种情况？4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不克不及再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不克不及再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？答案：1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不合箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？显然就是 c12 2=662、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不合箱子，每箱至少1个，几种办法？ c8 2=283、-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o暗示10个小球，-暗示空位,11个空位中取2个参加2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不克不及取空,此时若在第11个空位后参加第12块板，设取到该板时，第二组取球为空,则每一组都可能取球为空 c12 2=664、因为前2位数字唯一对应了合适要求的一个数，只要求出前2位有几种情况便可，设前两位为ab显然a+b<=9 ,且a不为0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - . 1代表9个1，-代表10个空位我们可以在这9个空位中拔出2个板，分红3组，第一组取到a个1，第二组取到b个110个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有5、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为01 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -在9个空位种插如3板，分红4组，第一组取a个1，第二组取b 个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不克不及取到空，所以添加2块板设取到第10b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0.。
行测排列组合问题技巧：插空法
⾏测排列组合问题技巧：插空法 ⾏测排列组合问题有哪些解题技巧？正在备考的朋友可以来本篇⽂章看看，下⾯店铺⼩编为你准备了“⾏测排列组合问题技巧：插空法”内容，仅供参考，祝⼤家在本站阅读愉快！⾏测排列组合问题技巧：插空法 ⼀、插空法的应⽤环境 元素不相邻 ⼆、插空法的操作步骤 1、将剩余元素（除不相邻元素）排序； 2、选空； 3、将不相邻元素排序。
三、插空法的应⽤ 例1.由数字1、2、3、4、5、6、7组成⽆重复数字的七位数，求三个偶数互不相邻的七位数的个数？A.360B.720C.1440D.2880 【答案】C。
解析：问题中出现三个偶数互不相邻，考虑⽤插空法解题。
⾸先将除三个偶数外的数字1、3、5、7进⾏排序，有种不同的排法；这4个数字会产⽣5个空隙，从5个空隙中选出3个，有种不同的排法；最后将三个偶数进⾏排序，有种不同的排法，所以总的排法有24×10×6=1440种，故选择C选项。
例2.某单位举办职⼯⼤会，5名优秀员⼯坐⼀排，其中有2名男员⼯，若要求2名男员⼯不能坐在⼀起，则有多少种不同的座次安排？A.24种B.36种C.48种D.72种 【答案】D。
解析：问题中出现2名男员⼯不能坐在⼀起，表述的意思是男员⼯不相邻，考虑⽤插空法解题。
⾸先将除男员⼯之外的3名⼥员⼯进⾏排序，有种不同的排法；3名⼥员⼯会产⽣4个空隙，从4个空隙中选2个，有种不同的排法；最后将2名男员⼯进⾏排序，有种排法，所以总共的排序⽅式有6×6×2=72种，故选择D选项。
例3.将三盆同样的红花和四盆同样的⻩花摆放成⼀排，要求三盆红花不相邻，共有多少种不同的⽅法？A.8B.10C.15D.20 【答案】B。
解析：问题中出现红花不相邻，考虑⽤插空法解题。
⾸先将红花之外的⻩花进⾏排序，由于⻩花相同，只有1种排法；四盆⻩花产⽣5个空隙，从5个空隙中选2个，有种排法；最后将红花排序，由于红花也相同，只有1种排法，所以总的排序⽅式有1×10×1=10种，故选择B选项。
插空法模型(解析版)排列组合题型全归纳 专题12
专题12插空法模型【方法技巧与总结】插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n 个不同的元素排成一排，其中k 个元素互不相邻（1k n k ≤-+）．求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共n k -个排成一排，其排列方法有k n k n A --种；②然后将要求两两不相邻的k 个元素插入1n k -+个空隙中，相当于从1n k -+个空隙中选出k 个，分别分配给两两不相邻的k 个元素，其排列方法有：kk n A 1+-种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有1n k k n k n k A A ---+⋅种．【典型例题】例1．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（）A ．12种B ．48种C ．72种D ．120种【答案】C【解析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为3234A A 72=.故选：C ．例2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（）A ．从六门课程中选两门的不同选法共有30种B ．课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种C ．课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种D ．课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种【答案】D【解析】对于A ，从六门课程中选两门的不同选法有2615C =(种)，A 选项不正确；对于B ，除第三天外的5天中任取1天排“书”，再排其他五门体验课程共有555A 600=(种)，B 选项不正确；对于C ，“礼”“数”排在不相邻两天，先排其余四门课程，再用插空法排入“礼”“数”则不同排法共有4245480A A =(种)，C 选项不正确；对于D ，六门课程的全排列有66A 720=(种)，“乐”、“射”、“御”排在都相邻的三天的不同排法有3434A A 144=(种)，则“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有720144576-=(种)，D 选项正确.故选：D例3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（）种排法？A ．72B ．36C ．24D ．12【答案】A【解析】先排三个唱歌节目这有：33A 6=种情况，然后四个空排两个舞蹈节目这有：24A 12=种情况，所以舞蹈节目不能相邻的情况有：61272⨯=情况.故选：A.例4．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926π 3.1415927<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）A ．24个B ．36个C ．72个D ．60个【答案】B 【解析】分两步：第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有33A 6=种方法；第二步：将两个1选两个空插进去有24C 6=，由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有6636⨯=种，故选：B例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（）A ．1440B ．2400C ．14400D ．86400【答案】C【解析】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有55A 种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有36A 种不同的排法，所以有5356A A 14400⋅=（种）不同的排法.故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）“四书”“五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（）A ．622622A A AB ．6262A A C ．622672A A A D ．622662A A A 【答案】C【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有66A 种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有22A 种排法，排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有27A 种排法，故总共有622627A A A 种排法，故选：C.例7．（2023·全国·高三专题练习）A ，B ，C ，D ，E ，F 这6位同学站成一排照相，要求A 与C 相邻且A 排在C 的左边，B 与D 不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（）A ．72B ．48C ．36D ．24【答案】C【解析】首先将A 与C 捆绑到一起，与除B 、D 以外的其他2位同学共3个元素进行排列，有33A 6=种排法，再将B 、D 插空到除最右边的3个位置中，有23A 6=种排法，因此共有6636⨯=种排法，故选：C例8．（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（）A ．24B ．48C ．144D ．240【答案】C【解析】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“雨水”、“谷雨”一起排列，然后将“清明”与“惊蛰”两块展板插空，所以不同的放置方式种数有232234A A A 2612144⨯⨯=⨯⨯=种.故选：C例9．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A ．240种B ．408种C ．1092种D ．1120种【答案】B【解析】1、将安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有33A 种，再分两类讨论：第一类：2、安排不相邻的乙丙，相当于将2个球在3个球所形成的4个空中任选2个插入有24A 种，3、安排不在第一天的甲，相当于5个球所成的后5个空中任选一个插入，有15C 种，第二类：2、将甲安排在乙丙中间有22A 种，3、把甲乙丙作为整体安排，相当于将1个球插入3个球所形成的4个空中有14C 种，所以不同的方案有33A (24A 121524)408C A C +=种.故选：B例10．（2023·全国·高三专题练习）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（）A ．120种B ．96种C ．48种D ．24种【答案】C【解析】若将2名男老师安排在相邻两天，由捆绑法知有4242A A 种安排方案，同理将2名女老师安排在相邻两天，有4242A A 种安排方案，2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天，有322322A A A 种安排方案，所以符合条件的安排方案共有542423225424232248A A A A A A A A --+=.故选：C.例11．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（）A ．7377A A B ．3636A A C ．3133A A D ．6367A A 【答案】D【解析】先将6个小吃类店铺进行全排列，有66A 种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有37A 种排法，故排出的摊位规划总个数为6367A A ．故选：D例12．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（）A ．48B ．72C ．54D ．36【答案】B【解析】由题意，“礼”排在第一节，1种排法，“射”和“御”两门课程不相邻，可先排“乐”、“书”、“数”三门课程，有336A =种排法，再由“射”和“御”插空排序，有2412A =种排法，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有161272⨯⨯=种不同的排法.故选：B.例13．（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（）．A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种【答案】B【解析】先安排甲，其选座方法有14C 种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有22A 种，所以共有坐法种数为1242C A 428⋅=⨯=种．故选：B ．例14．（2023·高二课时练习）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A ．144B ．120C ．72D ．24【答案】D【解析】先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A =种考点：排列、组合及简单计数问题例15．（2023·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式在北京鸟巢举行，小明一家五口人观看开幕式表演，他们一家有一排10个座位可供选择，按防疫规定，每两人之间必须至少有一个空位.现要求爷爷与奶奶之间有且只有一个空位，小明只能在爸爸妈妈中间且与他俩各间隔一个空位，则不同的就座方案有___________种.【答案】24【解析】根据题意，进行以下分类：爷爷或奶奶，排首位或排末位，这时候爸爸或妈妈只能排第五个或第六个位置，此时，就座方案为：222222A A 16⨯⨯⋅=种；爷爷或奶奶，排第二位或排倒数第二位，这时候爸爸或妈妈只能排第六个位置，此时，就座方案为：；22222A A 8⨯⋅=种；故不同的就座方案共有24种.故答案为：24.例16．（2023·上海·高三专题练习）已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的情况有___________种（用数字作答）【答案】2880【解析】设鸡的个数为x ,兔子的个数为y ，则72420x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：43x y =⎧⎨=⎩，故共有鸡4只，兔子3只，故4只鸡，3只兔子走出房门，恰有2只兔子相邻走出房子共有：422435=24620=2880A A A ⨯⨯种.故答案为：2880.例17．（2023·全国·高三专题练习）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答）【答案】12【解析】先将2个视频进行排序，再将2篇文章进行插空，则共有22223212A C A =种排法.故答案为：12.例18．（2023·高三课时练习）已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有______【答案】14400【解析】不管怎么排都能满足白颜色汽车至少2辆停在一起，所以分两步：第一步，将5辆白色汽车全排列，有55120A =种；第二步，3辆红色汽车插孔，有36120A =种；由分步计数原理得共有12012014400⨯=种，故答案为：14400例19．（2023·全国·高三专题练习）在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_____．【答案】60【解析】①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有11323336C C A ⋅⋅=种；②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有12222324C A A ⋅⋅=种.∴所有的出场顺序的排法种数为362460+=.故答案为60.例20．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）求下列问题的排列数:(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.【解析】（1）解:由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人,将4人全排共44A 种,4人排好后留下5个位置,将这5个位置分给甲乙,有25A 种,所以男生甲和女生乙不能相邻共4245480A A =种（2）由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾,当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为55A 120=种,当乙不排排头,因为乙不能排排尾,所以乙只能排中间4个位置中,共14A 种,因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外,还有4个位置,选一个位置给甲,有14A 种,此时还有另4人,没有限制,全排列有44A 种,故当乙不排派头时有441414A A A 384=种,所以男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾共计:51145444A A A A 384120504+=+=种.。
奥数-排列组合讲义-第三讲
排列组合方法综合一、 插空法：例1. 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.总结：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.例2. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 种，好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 不同的方法，由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种例3. 马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.二、 捆绑法：例4. 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有 种排法,其中女生内部也有66A 种排法,根据乘法原理,共有6633A A 种不同的排法.例5. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有480222255 A A A 种不同的排法例6. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种,其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三、 插板法：例7. 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这1288A 47A 4788A A 55A 46A 55A 46A个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有711C 种不同的放法,所以名额分配方案有711C 种.例8. 十块糖果，每天至少吃一块，把十块糖果吃完总共有多少种方法？解 十块糖有9个空，相当于要在空里插上若干块隔板，把糖果分成几分，每个空都有插或者不插两种方法，因此总共有92=512种方法。
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插空法解排列组合题
插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。
下面举例说明。
一. 数字问题
例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？ 解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有A 33
种排法，然后再将1，2插入四个空位共有A 42种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有A A 423372⋅=种。
二. 节目单问题
例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
解析：若直接解答则较为麻烦。
故可先用一个节目去插七个空位，有A 71种方法；再用另一个节目去插八个空位有A 81种方法；用最后一个节目去插九个空位有A 91种方法。
由乘法原理得，所有不同的添加方法为：A A A 718191789504⋅⋅=⨯⨯=种。
三. 关灯问题
例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有C 73种方法，因此所有不同的关灯方法为C 7335=种。
四. 停车问题
例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
解析：先排好8辆车有A 88种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C 91种方法。
所以共有A C 8891种方法。
五. 座位问题
例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？
解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 33种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A 41种，所以每个人左右两边都空位的排法有A A 334124=种。
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 4324=种。