概率论基础知识
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及任意的1≤i1<i2<…<ir≤n有 P(Ai1Ai2…Air)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Air)
则称A1,A2,…,An相互独立。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
二、概率
4. 全概率公式与Bayes公式
（1）完备事件组的定义：
设H1, H2,…,Hn为n个事件，若
n
= Hi 且HiHj=, i,j
P(B|C)=0.95及P(B|C )=0.05。那么若血压计显示高血
压，被测成人患有高血压的概率有多大？
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数 1. 一维随机变量及其分布 （1）随机变量定义：设(Ω,F,P)为概率空间，定义 在Ω上的单值实函数X(w)称为随机变量。
（2）离散型随机变量
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数 例3. （二项分布）设在一次试验中事件A发生的概率为p
(0≤p≤1)，X表示n次独立重复试验中事件A发生 的次数，则称X服从二项分布，记作X~B(n,p).
P(X =k)=k npk(1-p)n-k, k=0,1,2, ,n
例4. （泊松分布）设离散型随机变量X可能的取值为所 有非负整数，且
例1. （单点分布）若随机变量X概率为1地取常数值c， 即P(X=c)=1，则称X服从单点分布或退化分布。 此时X可被视为常数。
例2. （两点分布）若随机变量X只取两个值，称其分布
为两点分布。分别用0与1表示其取值，则分布可被
表示为
x
01
P(X x) 1-p p
记作X~B(1,p).
概率论基础知识
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
（1）条件概率定义： 设A、B是两个随机事件，且P(A)＞0，则称
P(AB) P(B A)=
P(A)
事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
（4）独立性推广： 设A1,A2,…,An为n个事件，若对任意的r (1<r≤n)
概率论基础知识
课程的地位 Importance of the Course
对于理工科的研究生来讲，应用数理 统计是最重要的基础课程之一。
在数理统计中，同学们不仅可以学到 处理随机性数据的具体的学科知识，而且 还能受到严谨细密的思维方法和科学精神 的熏陶。
概率论基础知识
研究生课程与本科生有许多区别。比如难度大、进 度快、讲课不再面面具到。要想尽快适应这种学 习，加强预习是个好方法。这里讲的预习，不仅仅 是课前5分钟翻翻书，而是安排专门的时间，按照指 定的进度有计划地预习新内容。预习中不能光阅 读，还要钻研概念、推导证明、演算例题，查表计 算，等等。坚持预习也是培养自学能力的好方法。
P(Xk)ke-, k0,1,2,
k!
其中λ >0 ,则称X服从参数为λ的Poisson分布，记作X~P(λ).
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数 1. 一维随机变量及其分布
（3）连续型随机变量 若X为随机变量，若存在非负函数f(x)满足在 R上的积分小于-∞，且
x
P(X≤x) = f (t ) dt
二、概率
1. 概率的定义
设Ω为样本空间，F为所有事件的全体。如果
定义在F上的函数P()满足如下性质，则对于F中的 任意元素A，称P(A)为事件A发生的概率，P为F上
的概率测度，(Ω,F,P)为概率空间。
（1）0 ≤ P(A) ≤ 1
（2）P(Ω)=1
（3）对两两互斥的事件序列A1,A2,…Ak…，有
则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的分布密度 （简称密度）或概率函数。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数
例1. （均匀分布）若随机变量X的密度函数为
1 f (x)=b-a
a xb
0 其他
则称X服从[a,b]上的均匀分布，记作X~U(a,b)。
例2. （指数分布）若随机变量X的密度为
定义:若随机变量X的所有可能取的值是有限多个或 可列无限多个,则称X为离散型随机变量。
设X可能的取值为x1,x2,…,xn,…, 记P{X = xi } = pi , i = 1, 2,...，则称{p1,p2,…}为X的概率函数或概率分布。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数
2. 事件的运算（与集合运算对应） （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA； （2）分配率：A(B ∪ C)=AB ∪AC，A(B-C)=AB-AC （3）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC, A ∪(B ∪ C)=(A ∪ B) ∪C=A ∪ B ∪ C
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
概率论基础知识
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
概率论是数理统计的理论基础，为了使它 们能更好地衔接起来，本章扼要地复习概 率论的基本概念、定理与公式。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
一、事件及其运算
1. 基本事件：随机试验中，每个可能出现的结果； 样本空间：全体基本事件组成的集合； 事件：样本空间的子集，常用A、B等表示； 事件发生、不可能事件、必然事件； 互斥事件、对立事件。
n i=
是一完备事件组，且对任意的i有
1
P(Hi)>0及P(A)>0，则 P(Hi
A)=
P(Hi )P(A Hi )ຫໍສະໝຸດ Baidu
n
P(Hj )P(A Hj )
j=1
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
二、概率
例. 用自动血压计计量血压。以C表示被测成人患高血压， B表示血压计显示高血压。假定P(C)=0.15，
i=1
则 H
n
i i=1
为一个完备事件组。
（2）全概率公式：
设
H
i
n i=
1
是一完备事件组，且对任意的i有
P(Hi)>0，则对任一n 事件A，都有
P(A)= P(Hi)P(AHi )
概率i=论1基础知识
第一章 概率论基础知识
二、概率 4. 全概率公式与Bayes公式
（3） Bayes公式：
设
H
i
k k
P A i= P(A ), P A i= P(A )
i=1 i=1
i=1 i=1
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
二、概率 2. 概率的性质
（1） 不可能事件的概率为零 P（Ø）= 0; （2） P(A∪B)= P(A)+ P(B)－ P(AB) .
(3) P(A)=1-P(A)
则称A1,A2,…,An相互独立。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
二、概率
4. 全概率公式与Bayes公式
（1）完备事件组的定义：
设H1, H2,…,Hn为n个事件，若
n
= Hi 且HiHj=, i,j
P(B|C)=0.95及P(B|C )=0.05。那么若血压计显示高血
压，被测成人患有高血压的概率有多大？
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数 1. 一维随机变量及其分布 （1）随机变量定义：设(Ω,F,P)为概率空间，定义 在Ω上的单值实函数X(w)称为随机变量。
（2）离散型随机变量
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数 例3. （二项分布）设在一次试验中事件A发生的概率为p
(0≤p≤1)，X表示n次独立重复试验中事件A发生 的次数，则称X服从二项分布，记作X~B(n,p).
P(X =k)=k npk(1-p)n-k, k=0,1,2, ,n
例4. （泊松分布）设离散型随机变量X可能的取值为所 有非负整数，且
例1. （单点分布）若随机变量X概率为1地取常数值c， 即P(X=c)=1，则称X服从单点分布或退化分布。 此时X可被视为常数。
例2. （两点分布）若随机变量X只取两个值，称其分布
为两点分布。分别用0与1表示其取值，则分布可被
表示为
x
01
P(X x) 1-p p
记作X~B(1,p).
概率论基础知识
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
（1）条件概率定义： 设A、B是两个随机事件，且P(A)＞0，则称
P(AB) P(B A)=
P(A)
事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
（4）独立性推广： 设A1,A2,…,An为n个事件，若对任意的r (1<r≤n)
概率论基础知识
课程的地位 Importance of the Course
对于理工科的研究生来讲，应用数理 统计是最重要的基础课程之一。
在数理统计中，同学们不仅可以学到 处理随机性数据的具体的学科知识，而且 还能受到严谨细密的思维方法和科学精神 的熏陶。
概率论基础知识
研究生课程与本科生有许多区别。比如难度大、进 度快、讲课不再面面具到。要想尽快适应这种学 习，加强预习是个好方法。这里讲的预习，不仅仅 是课前5分钟翻翻书，而是安排专门的时间，按照指 定的进度有计划地预习新内容。预习中不能光阅 读，还要钻研概念、推导证明、演算例题，查表计 算，等等。坚持预习也是培养自学能力的好方法。
P(Xk)ke-, k0,1,2,
k!
其中λ >0 ,则称X服从参数为λ的Poisson分布，记作X~P(λ).
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数 1. 一维随机变量及其分布
（3）连续型随机变量 若X为随机变量，若存在非负函数f(x)满足在 R上的积分小于-∞，且
x
P(X≤x) = f (t ) dt
二、概率
1. 概率的定义
设Ω为样本空间，F为所有事件的全体。如果
定义在F上的函数P()满足如下性质，则对于F中的 任意元素A，称P(A)为事件A发生的概率，P为F上
的概率测度，(Ω,F,P)为概率空间。
（1）0 ≤ P(A) ≤ 1
（2）P(Ω)=1
（3）对两两互斥的事件序列A1,A2,…Ak…，有
则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的分布密度 （简称密度）或概率函数。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数
例1. （均匀分布）若随机变量X的密度函数为
1 f (x)=b-a
a xb
0 其他
则称X服从[a,b]上的均匀分布，记作X~U(a,b)。
例2. （指数分布）若随机变量X的密度为
定义:若随机变量X的所有可能取的值是有限多个或 可列无限多个,则称X为离散型随机变量。
设X可能的取值为x1,x2,…,xn,…, 记P{X = xi } = pi , i = 1, 2,...，则称{p1,p2,…}为X的概率函数或概率分布。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
三、随机变量及其分布函数
2. 事件的运算（与集合运算对应） （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA； （2）分配率：A(B ∪ C)=AB ∪AC，A(B-C)=AB-AC （3）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC, A ∪(B ∪ C)=(A ∪ B) ∪C=A ∪ B ∪ C
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
概率论基础知识
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
概率论是数理统计的理论基础，为了使它 们能更好地衔接起来，本章扼要地复习概 率论的基本概念、定理与公式。
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
一、事件及其运算
1. 基本事件：随机试验中，每个可能出现的结果； 样本空间：全体基本事件组成的集合； 事件：样本空间的子集，常用A、B等表示； 事件发生、不可能事件、必然事件； 互斥事件、对立事件。
n i=
是一完备事件组，且对任意的i有
1
P(Hi)>0及P(A)>0，则 P(Hi
A)=
P(Hi )P(A Hi )ຫໍສະໝຸດ Baidu
n
P(Hj )P(A Hj )
j=1
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
二、概率
例. 用自动血压计计量血压。以C表示被测成人患高血压， B表示血压计显示高血压。假定P(C)=0.15，
i=1
则 H
n
i i=1
为一个完备事件组。
（2）全概率公式：
设
H
i
n i=
1
是一完备事件组，且对任意的i有
P(Hi)>0，则对任一n 事件A，都有
P(A)= P(Hi)P(AHi )
概率i=论1基础知识
第一章 概率论基础知识
二、概率 4. 全概率公式与Bayes公式
（3） Bayes公式：
设
H
i
k k
P A i= P(A ), P A i= P(A )
i=1 i=1
i=1 i=1
概率论基础知识
第一章 概率论基础知识
二、概率 2. 概率的性质
（1） 不可能事件的概率为零 P（Ø）= 0; （2） P(A∪B)= P(A)+ P(B)－ P(AB) .
(3) P(A)=1-P(A)