反函数的性质PPT教学课件
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3
y Y=3x-2
y x2 3
o1
x
Y=x
例2、求函数y=x3(x∈R)的反函
数,并画出原来的函数和它的反函
数的图象。
解:从y=x3,解得x 3 y ,所以函数
y=x3(x∈R)的反函是y 3 x x R。
函数y=x3(x∈R)和它的反函数 y 3 x x R
的图像如图
y
0
x
性质:
1
3分钟 + 3分钟
3
1
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟
o3k ok
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟=9分钟
①烙2张饼需要6分钟, 烙3张饼的最佳方案需要9分钟。
②每次烙饼,锅里都有两张饼,速度最快。
两个人合作完成三张正反面的贺卡, 要怎样分工合作好呢?
① 时间只剩10分钟!!!
②
一次能放两个烧饼
③
每个饼要烙两面
④ 每个饼每面要烙3分钟才熟!!!
1
2
3
1 1
1
2
3
2
1
2
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3
ห้องสมุดไป่ตู้ 1
2
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3分钟
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3分钟 + 3分钟
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ok
例3:若点P(1,2)在函数 y ax b 的 图象上,又在它的反函数的图象上,求a, b的值。
解:由题意知, 点P(1,2)在函数 y ax b 的反函数的图象上,根据互为反函数的函 数图象关于直线y=x对称的性质知,点P1 (2,1)也在函数 y ax b 的图象上。
因此,得
2
2.分段函数求解时注意分段求解 并分别注明定义域。
例1、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数, 并画出原函数和它的反函数的图象。
解:从y=3x-2,解得 x y 2 。因
此,函数y=3x-2
3
的反函数是 y x 2 , (x R)
3
函数y=3x-2(x∈R)和它的反函数
y x 2 ,x R的图象如图
1.函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于 直线y=x对称;
2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。
3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数.
4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的 反函数就是它本身.反之也成立。
小结:
互为反函数的两个函数的 性质
1、函数y=f(x)的图象和它的反函数 y f 1(x)的图象关于直线y=x对称。
2、互为反函数的两个函数在各自 的定义域内具有相同的单调性。
数学广角
沏茶前要做些什么事呢?
怎样才能让客人尽快喝上茶?
①
②
③
④
⑤
⑥
数学家,中国科学院院士 华罗庚
“统筹法”
5.点P(a,b)关于直线 y=x 对称的点是P1(b,a).
6. f 1a b f b a
若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数, 求证它的反函数f-1(x)也是增函数。
证明:在f-1(x)的定义域内任取x1,x2且x1<x2 令 f-1(x1)=y1, f-1(x2)=y2
于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以 f(y1)<f(y2) 因为f(x)在其定义域D上是增函数,所以y1<y2 所以 f-1(x1)<f-1(x2),所以f-1(x)也是增函数
ab
1 2a b
解得, a=-3,b=7
例4、若函数f(x)与g(x)的图象关于
直线y=x对称,且f(x)=(x-1)2(x≤1) 求g(x2) 解:∵函数f(x)与g(x)的图象关于直 线y=x对称
∴ g(x)是f(x)的反函数,
∴ g(x)=f -1(x)= x 1(x 0)
g(x2 ) x2 1(x R)
学习目的:
进一步掌握反函数的概念 掌握互为反函数的两个函数的 性质
重点难点: 重点: 反函数的概念
互为反函数的两个函数的性质
难点: 互为反函数的两个函数的性质
复习:
求函数反函数的步骤: 1 求原函数的值域 2 反解x 3 x与y互换 4 写出反函数及它的定义域
注:1.一般函数的反函数在求解时要
注意定义域;
y Y=3x-2
y x2 3
o1
x
Y=x
例2、求函数y=x3(x∈R)的反函
数,并画出原来的函数和它的反函
数的图象。
解:从y=x3,解得x 3 y ,所以函数
y=x3(x∈R)的反函是y 3 x x R。
函数y=x3(x∈R)和它的反函数 y 3 x x R
的图像如图
y
0
x
性质:
1
3分钟 + 3分钟
3
1
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟
o3k ok
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟=9分钟
①烙2张饼需要6分钟, 烙3张饼的最佳方案需要9分钟。
②每次烙饼,锅里都有两张饼,速度最快。
两个人合作完成三张正反面的贺卡, 要怎样分工合作好呢?
① 时间只剩10分钟!!!
②
一次能放两个烧饼
③
每个饼要烙两面
④ 每个饼每面要烙3分钟才熟!!!
1
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1 1
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ห้องสมุดไป่ตู้ 1
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例3:若点P(1,2)在函数 y ax b 的 图象上,又在它的反函数的图象上,求a, b的值。
解:由题意知, 点P(1,2)在函数 y ax b 的反函数的图象上,根据互为反函数的函 数图象关于直线y=x对称的性质知,点P1 (2,1)也在函数 y ax b 的图象上。
因此,得
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2.分段函数求解时注意分段求解 并分别注明定义域。
例1、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数, 并画出原函数和它的反函数的图象。
解:从y=3x-2,解得 x y 2 。因
此,函数y=3x-2
3
的反函数是 y x 2 , (x R)
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函数y=3x-2(x∈R)和它的反函数
y x 2 ,x R的图象如图
1.函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于 直线y=x对称;
2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。
3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数.
4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的 反函数就是它本身.反之也成立。
小结:
互为反函数的两个函数的 性质
1、函数y=f(x)的图象和它的反函数 y f 1(x)的图象关于直线y=x对称。
2、互为反函数的两个函数在各自 的定义域内具有相同的单调性。
数学广角
沏茶前要做些什么事呢?
怎样才能让客人尽快喝上茶?
①
②
③
④
⑤
⑥
数学家,中国科学院院士 华罗庚
“统筹法”
5.点P(a,b)关于直线 y=x 对称的点是P1(b,a).
6. f 1a b f b a
若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数, 求证它的反函数f-1(x)也是增函数。
证明:在f-1(x)的定义域内任取x1,x2且x1<x2 令 f-1(x1)=y1, f-1(x2)=y2
于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以 f(y1)<f(y2) 因为f(x)在其定义域D上是增函数,所以y1<y2 所以 f-1(x1)<f-1(x2),所以f-1(x)也是增函数
ab
1 2a b
解得, a=-3,b=7
例4、若函数f(x)与g(x)的图象关于
直线y=x对称,且f(x)=(x-1)2(x≤1) 求g(x2) 解:∵函数f(x)与g(x)的图象关于直 线y=x对称
∴ g(x)是f(x)的反函数,
∴ g(x)=f -1(x)= x 1(x 0)
g(x2 ) x2 1(x R)
学习目的:
进一步掌握反函数的概念 掌握互为反函数的两个函数的 性质
重点难点: 重点: 反函数的概念
互为反函数的两个函数的性质
难点: 互为反函数的两个函数的性质
复习:
求函数反函数的步骤: 1 求原函数的值域 2 反解x 3 x与y互换 4 写出反函数及它的定义域
注:1.一般函数的反函数在求解时要
注意定义域;