2015年高考文科数学试卷全国卷1(解析版)

参考答案
1．D
【解析】
试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.
考点：集合运算
2．A
【解析】
试题分析：∵ =（3,1），∴ =(-7,-4)，故选A.
考点：向量运算
3．C
【解析】
试题分析：∴ ，∴z= ，故选C.
考点：复数运算
4．C
【解析】
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中 = ， =
（Ⅰ）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式
12．C
【解析】
试题分析：设 是函数 的图像上任意一点，它关于直线 对称为（ ），由已知知（ ）在函数 的图像上，∴ ，解得 ，即 ，∴ ，解得 ，故选C.
考点：函数对称；对数的定义与运算
13．6
【解析】
试题分析：∵ ，∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
执行第2次，S=S-m =0.25, =0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，
执行第3次，S=S-m =0.125, =0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，
执行第4次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，
（Ⅰ）当年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（Ⅱ）当年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 , ，……， ,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
20．（本小题满分12分）已知过点 且斜率为k的直线l与圆C： 交于M，N两点.
（Ⅰ）求k的取值围；
（Ⅱ） ，其中O为坐标原点，求 .
考点：简单线性规划解法
16．
【解析】
试题分析：设双曲线的左焦点为 ，由双曲线定义知， ，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ +|AF|=|PA|+ +|AF|+ ，
由于 是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+ 最小，即P、A、 共线，
∵ ， （－3,0），∴直线 的方程为 ，即 代入 整理得 ，解得 或 (舍)，所以P点的纵坐标为 ，
试题分析：从1,2,3,4,5 中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为 ，故选C.
考点：古典概型
5．B
【解析】
试题分析：∵抛物线 的焦点为（2,0），准线方程为 ，∴椭圆E的右焦点为（2,0），
∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为 ，c=2，
执行第5次，S=S-m =0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
执行第6次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
执行第7次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.
21．（本小题满分12分）设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是 直径，AC是 切线，BC交 与点E.
（Ⅰ）若D为AC中点，求证：DE是 切线；
（Ⅱ）若 ，求 的大小.
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（A） （B） （C） （D）
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
12．设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
13．数列 中 为 的前n项和，若 ，则 .
∵ ，∴ ，∴ ，∴椭圆E方程为 ，
将 代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B.
考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质
6．B
【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则 ，所以 ，所以米堆的体积为 = ，故堆放的米约为 ÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当 = ，即 时， 取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
20．（Ⅰ） （Ⅱ）2
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式，即可求出k的取值围；（Ⅱ）设 ，将直线l方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将 用k表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及 列出关于k方程，解出k，即可求出|MN|.
（A） （B） （C） （D）
5．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线 的焦点重合， 是C的准线与E的两个交点，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
6．《九章算术》是我国古代容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）
2015年高考文科数学试卷全国卷1（解析版）
1．已知集合 ，则集合 中的元素个数为( )
（A）5（B）4（C）3（D）2
2．已知点 ，向量 ，则向量 ( )
（A） （B） （C） （D）
3．已知复数 满足 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则 （）
（A） （B） （C） （D）
4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从 中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）
（A） 斛（B） 斛（C） 斛（D） 斛
7．已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
8．函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
9．执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （）
（A） （B） （C） （D）
10．已知函数 ，且 ，则 （ ）
在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 的极坐标方程.
（Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（Ⅰ）当 时求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值围.
∴ ，∴ ，∴n=6.
考点：等比数列定义与前n项和公式
14．1
【解析】
试题分析：∵ ，∴ ，即切线斜率 ，
又∵ ，∴切点为（1， ），∵切线过（2,7），∴ ，解得 1.
考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；
15．4
【解析】
试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 ： ，平移直线 ，当直线 :z=3x+y过点A时，z取最大值，由 解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.
19．（Ⅰ） 适合作为年销售 关于年宣传费用 的回归方程类型（Ⅱ） （Ⅲ）46.24
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令 ，先求出建立 关于 的线性回归方程，即可 关于 的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用 关于 的回归方程先求出年销售量 的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
又 ，可得 , ,
由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由(1)知 .
因为 90°，由勾股定理得 .
故 ，得 .
所以 ABC的面积为1.
考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力
18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC BD，由BE 平面ABCD知AC BE，由线面垂直判定定理知AC 平面BED，由面面垂直的判定定理知平面 平面 ；（Ⅱ）设AB= ，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在 AEC中，用x表示EG，在 EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥 的体积为 求出x，即可求出三棱锥 的侧面积.
7．B
【解析】
试题分析：∵公差 ， ，∴ ，解得 = ，∴ ，故选B.
考点：等差数列通项公式及前n项和公式
8．D
【解析】
试题分析：由五点作图知， ，解得 ， ，所以 ，令 ，解得 ＜ ＜ ， ，故单调减区间为（ ， ）， ，故选D.
考点：三角函数图像与性质
9．C
【解析】
试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5, =0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，