25、玻尔兹曼方程-金属的电导过程

方程左边两项分别为温度梯度 外场梯度引起的漂移项。 方程左边两项分别为温度梯度和外场梯度引起的漂移项。 温度梯度和 引起的漂移项
第六章 自由电子论和电子的输运性质
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§6.3 玻尔兹曼方程
碰撞 碰撞对应于不可逆过程，它迫使系统趋于平衡分布，由于声子或杂质的散射， 碰撞对应于不可逆过程，它迫使系统趋于平衡分布，由于声子或杂质的散射， 电子可以从 k ⇔ k ′ 跃迁 假定
τ
恢复平衡所需时间---恢复平衡所需时间----平均驰豫 ----平均驰豫 时间的意义
那么分布函数大约偏离平衡态
eE τ − h
得到一个非平衡的定态分布函数。 得到一个非平衡的定态分布函数。
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§6.3 玻尔兹曼方程
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二、玻尔兹曼方程 通过非平衡情况下的分布函数来研究输运过程的方法通常称为分布函 数法。 数法。 在非平衡统计理论中， 在非平衡统计理论中，通过分布函数来研究输运过程的一个主要方法 就是列出粒子状态的分布函数的方程－－－玻尔兹曼方程， 就是列出粒子状态的分布函数的方程－－－玻尔兹曼方程，并由此求出分 －－－玻尔兹曼方程 布函数。 布函数。 确立了非平衡态分布函数f(k),就可以直接计算电流密度。 确立了非平衡态分布函数f(k),就可以直接计算电流密度。 f(k),就可以直接计算电流密度 模型假设： 模型假设： 近平衡态假设：系统中每个宏观小、微观大的区域已达到平衡，但整 近平衡态假设：系统中每个宏观小、微观大的区域已达到平衡， 个系统仍处于非平衡态
第六章 自由电子论和电子的输运性质
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§6.3 玻尔兹曼方程
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考虑分布函数的变化
f (k , r , t )
在粒子数守恒条件下， 在粒子数守恒条件下，分布函数的总变化率为
∂f ∂t
∂f ∂f = ∂t ∂ t
漂
+
碰
∂f ∂t
(7 )
漂
漂移项：温度梯度、密度梯度和外场引起的分布函数变化。 漂移项：温度梯度、密度梯度和外场引起的分布函数变化。
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实际上，在外场作用下，电子在k空间将以恒定的速度 实际上，在外场作用下，电子在k
& = − eE ⇒ k h dv dk 1 F =m =h = − e( E + v × B ) dt dt c
沿－E（电场）方向漂移。如图实线 电场）方向漂移。 所示。显然对于非平衡分布函数有 所示。
f ( k , T ) ≠ f ( − k , T ) ( 5)
它不再是k的对称函数， 它不再是k的对称函数，假定外场并 不影响能带结构，仍有 不影响能带结构，
（a）分布函数在外场下的变化 （b）费米球在外场下的漂移
v(k ) = −v(− k )
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§6.3 玻尔兹曼方程
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那么
2e Je = − v ( k ) f ( k )dk ≠ 0 3 ∫ (2π )
p = hk
电子的动量或波矢k 电子的动量或波矢k在外场中的变化规律与经典物理一样
dp dk =h = − e(E + v × B ) dt dt dr 1 = ∇ k E (k ) v= dt h
与外场相关
决定于体系的能带结构
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§6.3 玻尔兹曼方程
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1 exp[E − EF kBT ] + 1
(1)
考虑晶体的能带结构以及电子按能量分布，电导公式为 考虑晶体的能带结构以及电子按能量分布，
2e Je = − v ( k ) f ( k )dk 3 ∫ (2π )
f（k）是k波矢空间的分布函数。 波矢空间的分布函数。
( 2)
如果分布函数f(k)不受电场E的影响，仍然维持平衡态下的分布函数， 如果分布函数f(k)不受电场E的影响，仍然维持平衡态下的分布函数，那 f(k)不受电场 么，由
& (r − vdt, k − kdt, t − dt)
& f (r, k, t ) = f (r − vdt, k − kdt, t − dt)
(9)
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§6.3 玻尔兹曼方程
实际上，碰撞也使分布函数发生改变，称为散射项， 实际上，碰撞也使分布函数发生改变，称为散射项，所以有
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§6.3 玻尔兹曼方程
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唯象方程的形式意味着输运过程是一个扩散过程。 唯象方程的形式意味着输运过程是一个扩散过程。 金属的电导过程 经典的电子气电导理论描述： 经典的电子气电导理论描述： 金属中自由电子在外加电场作用下加速 电子受到来自同金属离子碰撞而表现为阻尼力，阻尼力的大小与速度 电子受到来自同金属离子碰撞而表现为阻尼力， 成正比。 成正比。 达到电流稳定时，电场力和阻尼力相平衡，电子达到其在电场中获得 达到电流稳定时，电场力和阻尼力相平衡， 的稳定速度， 的稳定速度，即附加的漂移速度 漂移速度与电场成正比，从而解释欧姆定律。 漂移速度与电场成正比，从而解释欧姆定律。
∂f ∂t
电子因受碰撞散射引起的分布函数变化－碰撞项 电子因受碰撞散射引起的分布函数变化－
碰
假设电子分布不随时间变化而处于稳定状态
∂f ∂t +
漂
∂f =0 ∂t
∂f ∂t
=0
碰
( 8)
外场与散射的作用相互抵消。 外场与散射的作用相互抵消。
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§6.3 玻尔兹曼方程
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§6.3 玻尔兹曼方程
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索末菲的电子气量子理论 同样能给出欧姆定律，并能更深刻地描绘电导过程的物理图像。 同样能给出欧姆定律，并能更深刻地描绘电导过程的物理图像。 在量子理论里电子的状态是以波矢k来表征的， 在量子理论里电子的状态是以波矢k来表征的，在电场中电子态的改变 是以k的变化来描述的。 是以k的变化来描述的。电子的动量为
1
3
(13)
[1 − fຫໍສະໝຸດ Baidu(k ′, r , t )]
表示 k ′ 末被占据的几率
a表示为单位时间中由于碰撞离开（r,k）处单位体积的电子数 表示为单位时间中由于碰撞离开（r,k）
第六章 自由电子论和电子的输运性质
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§6.3 玻尔兹曼方程
同样 在单位时间由所有 k ′ 态散射到 k 的净增几率为
&dt, t − dt) + ∂f f (r, k, t) = f (r − vdt, k − k ∂t 碰
∂f & ⋅ ∇ f = ∂f + v ⋅ ∇f + k k ∂t ∂t 碰 & ⋅ ∇ f = ∂f v ⋅ ∇f + k k ∂t 碰 (11)
∫ f (k ′, r , t )[1 − f (k , r , t )]θ (k ′, k )dk ′ = b (2π )
1
3
(14)
b表示为单位时间中由于碰撞进入（r,k）处单位体积的电子数 表示为单位时间中由于碰撞进入（r,k） 两部分之差就是由于碰撞导致的分布函数的变化： 两部分之差就是由于碰撞导致的分布函数的变化：
(6)
这时就有电流在晶体中流动。 这时就有电流在晶体中流动。 除了点阵周期势对电子的散射外，下列因素是电阻产生的主要原因： 除了点阵周期势对电子的散射外，下列因素是电阻产生的主要原因： 晶格振动引起的声子对电子的无规散射，它是温度的函数； 晶格振动引起的声子对电子的无规散射，它是温度的函数； 晶体中的缺陷和杂质对电子的无规律散射。 晶体中的缺陷和杂质对电子的无规律散射。
(10)
将上式右边第一项展开(多元展开) 只保留与dt成正比项， 将上式右边第一项展开(多元展开)，只保留与dt成正比项，得 dt成正比项
对于稳态情况，分布函数不随t变化，便得到电子气系统的玻尔兹曼方程： 对于稳态情况，分布函数不随t变化，便得到电子气系统的玻尔兹曼方程： 电子气系统的玻尔兹曼方程
(12 )
∂f ∂t
得到定态玻尔兹曼方程
=b−a
碰
(15)
& v ⋅ ∇f + k ⋅ ∇ k f = b − a (16)
§6.3 玻尔兹曼方程
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输运现象 如果系统中存在像温度、浓度、电势等强度量的不均匀性，那么将导 如果系统中存在像温度、浓度、电势等强度量的不均匀性， 致像能量、粒子数、电荷数等的流动，这就是输运现象。 致像能量、粒子数、电荷数等的流动，这就是输运现象。 假定沿晶体的某个方向存在温度梯度、浓度梯度、电势梯度，则输运 假定沿晶体的某个方向存在温度梯度、浓度梯度、电势梯度， 过程中的热流通量、粒子流通量、电流通量与相应的梯度通过如下唯象关 过程中的热流通量、粒子流通量、 系相联系： 系相联系：
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§6.3 玻尔兹曼方程
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因此，在整个电导过程中 因此， 一方面，电子在外场中被加速， 一方面，电子在外场中被加速，使系统偏离平衡态 另一方面，电子受到无规散射，使电子失去在外场中获得的定向运动， 另一方面，电子受到无规散射，使电子失去在外场中获得的定向运动， 这种不可逆的因素产生两种效应：能量耗散 使系统趋于平衡。 使系统趋于平衡。 这种不可逆的因素产生两种效应： 这样，在恒定电场下， 这样，在恒定电场下，漂移和碰撞的共同作用就可以使体系处于一种定 态。 假定碰撞的平均驰豫时间为
阻尼力的微观机制是金属中能使电子平面波遭受散射的各种因素，主 阻尼力的微观机制是金属中能使电子平面波遭受散射的各种因素， 要是晶格振动和各种晶体缺陷、杂质。 要是晶格振动和各种晶体缺陷、杂质。 不同状态的电子有不同的速度，它们对电导的贡献是不同的，所以必 不同状态的电子有不同的速度，它们对电导的贡献是不同的， 须考虑电子的分布函数。 须考虑电子的分布函数。 在外场下，将是非平衡的分布函数 在外场下， 建立确定非平衡分布函数的方程－－玻尔兹曼方程，解决上述问题。 建立确定非平衡分布函数的方程－－玻尔兹曼方程，解决上述问题。 －－玻尔兹曼方程
它对于k是反对称的，因此， 它对于k是反对称的，因此，由（2）式
2e Je = − v ( k ) f ( k )dk ≡ 0 3 ∫ (2π )
即平衡态下，电流为0 即平衡态下，电流为0。
(4)
（a）分布函数在外场下的变化 （b）费米球在外场下的漂移
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§6.3 玻尔兹曼方程
E(k) = E(−k)
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§6.3 玻尔兹曼方程
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得到
f 0 (k , T ) = f 0 (− k , T )
( 3)
即分布函数对于k是对称的。如图虚线所示。 即分布函数对于k是对称的。如图虚线所示。
另外， 另外，由
v(k ) = −v(− k )
θ (k , k ′)
θ ( k ′, k )
表示在单位时间由 k → k ′ 的散射几率 表示在单位时间由 k ′ → k 的散射几率
在单位时间由 k 态散射到所有自旋相同的 k ′ 的净减几率为
∫ f (k , r , t )[1 − f (k ′, r , t )]θ (k , k ′)dk ′ = a (2π )
J u = − K∇ T J n = − D∇n J e = −σ∇ϕ = σE
热流通量 粒子流通量 电流通量
这就是所谓的热导、扩散、和电导现象。 这就是所谓的热导、扩散、和电导现象。
K
称为热导系数、扩散系数和电导系数。 D σ 称为热导系数、扩散系数和电导系数。
输运理论的任务就是要从微观上提揭示这些唯象系数与内禀性质的关系。 输运理论的任务就是要从微观上提揭示这些唯象系数与内禀性质的关系。
第六章 自由电子论和电子的输运性质
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§6.3 玻尔兹曼方程
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一、非平衡分布函数 温度均匀，无外场条件下，电子气在热平衡时的分布函数－－费米分布 热平衡时的分布函数－－ 温度均匀，无外场条件下，电子气在热平衡时的分布函数－－费米分布
f 0 ( Ek ) =
分布与电子位置r无关。 分布与电子位置r无关。
漂移 漂移项是外场作用力所引起的电子波矢的漂移以及速度导致位置漂 移的结果。 移的结果。 t时刻在（r,k）附近单位体积中的电子是 时刻在（r,k） 由t-dt时刻在 dt时刻在
& ( r − vdt , k − kdt )
(r , k , t )
处单位体积中的电子漂移而来的，即 处单位体积中的电子漂移而来的，