九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转第1课时旋转的概念和性质习题课件新版新人教版
人教版初中数学九年级上册 图形的旋转(第1课时)课件PPT
旋 转
第二十三章
23、1
旋 转
图形的旋转
第1课时 旋转的概念与性质
学习目标
1 了解旋转的概念，理解图形旋转的三要素“旋转中心、旋转
方向和旋转角”、（重点）
2 理解旋转的性质，并会运用其解决简单的旋转问题、（重点）
游乐园里的摩天轮、旋转木马、海
盗船的运动有什么共同点？
知识讲解
旋转的性质：
旋转前后的图形全等;
（旋转不改变图形的大小和形状）
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、
知识讲解
例3、 △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的、
已知∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°，AB=3,OA=5,则A ′ B ′
1
1
∴ AO=CO= AB= ×6=3，∴ OD1=DC﹣CO=7﹣3=4，
2
2
在Rt△AD1O中，由勾股定理得，AD1= 2 + 12 = 32 + 42 = 5 、
（2）点B在△D2CE2的内部、
理由如下：设直线CB与D2E2相交于点P，
∵ △D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°，∴ ∠PCE2=15°+30°=45°，
3 ,OA ′ = 5 ,旋转角= 44 ° 、
=
13
知识讲解
例4、把一副三角板按如图①放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，
∠D=30°，斜边AB=6 cm，DC=7 cm、把三角板DCE绕点C顺时针旋转
15°得到△D1CE1（如图②）、这时AB与CD1相交于点O、与D1E1相交
于点F、
（1）求线段AD1的长；
人教版九年级上册数学同步课件-第23章-23.1 第1课时 旋转的概念与性质
F
B D
O C
★旋转的性质 (1)旋转前后的图形全等; (2)对应点到旋转中心的距离相等; (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
随堂即练
1. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知 ∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°，AB=3,OA=5,则A ′ B ′ = 3 ,OA ′ = 5 ,旋转角= 44 ° .
随堂即练
填一填：
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是___O___，
旋转角是_∠_A__O_B____，旋转角等于_6_0__度，其中的对应点有
_A_与__B___、 _B_与__C___、 _C_与__D___、 _D_与__E___、 _E__与__F__、
_F__与__A__ .
怎样来定义 这种图形变换？
新课讲解
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着 平面内中心固定点转动一定角度.
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
★旋转的定义
新课讲解 P
把一个图形绕着平面内某点O沿 某个方向转动一个角度的图形变 换叫做旋转.
这个定点O称为旋转中心.
O
旋转中心
旋转角 120
P′
B
A C
O
F
D
E
2 旋转的性质
A
活动：如图，在硬纸板上，挖出一 个△ABC，再挖一个小洞O作为旋转 中心，硬纸板下面放一张白纸.先在 纸上描出这个挖掉的三角形图案 （△ABC），然后围绕旋转中心转 动硬纸板，再描出这个挖掉的三角 形（△DEF），移开硬纸板.
C O
F
E
新课讲OA
随堂即练
2.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得
人教版数学九年级上册学案23.1《图形的旋转》(含答案)
第二十三章旋转23.1 图形的旋转第1课时认识图形的旋转出示目标1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念.2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题.3.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.4.了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形.预习导学1知识准备(学生活动)请同学们完成下面各题.1.将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形.2.如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的吗？(是；是；等腰梯形、长方形、正多边形等.)点拨：(1)平移的有关概念及性质.(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质.(3)什么叫轴对称图形.自学指导：自学教材内容，思考和完成教材上的练习.观察：让学生看转动的钟表和风车等.(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间轴旋转)(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)问题：①从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)②风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(90°)③以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)思考：在数学中如何定义旋转？探究把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.合作探究1活动1 小组讨论例1 如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？(2)请画出旋转中心和旋转角.(3)经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？点拨：(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.(2)画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的.例2 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点A；旋转的度数是45°.活动1 小组讨论例3 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.点拨：关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置.活动2 跟踪训练1.如图，AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，BP=BQ，∠PBQ=90°.①此图能否旋转某一部分得到一个正方形？②若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由.③它的旋转角多大？并指出它们的对应点.解：①能.②由△BCQ绕B点旋转得到.理由：连结AB，易证四边形ABCD为正方形.再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.③90°.点C对应点A，点Q对应点P.2.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°.∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的.∴BK=DM.课堂小结1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.2.旋转的对应点及其它们的应用.3.本节课要掌握：(1)旋转的基本性质.(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别.第2课时旋转作图出示目标1.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果.2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.预习导学自学指导自学教材第61页.完成下列问题.1.回顾思考(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？(3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？2.学生独立完成作图题.如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形.点拨：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系:①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.探究从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.把一个图案以O 点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形.1.旋转中心不变，改变旋转角.2.3.旋转角不变，改变旋转中心.我们可以设计成如下图美丽的图案.因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案.活动1 小组讨论例1 如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图⑤.图①按顺时针方向至少旋转180度可得图③.例2 如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点P 是△ABC 内的一点，且AP=3，将△ABP 绕点A 旋转后与△ACP ′重合，求PP ′的长.点拨：依题意，AP 绕点A 旋转90°时得AP ′=AP=3，则△APP ′是等腰直角三角形. 所以PP ′=223332+=. 解题的关键是确定AP 与AP ′垂直且相等.课堂小练一、选择题1.下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是( )A. B.C. D.2.如图，在正方形网格中，将△ABC顺时针旋转后得到△A'B′C′，则下列4个点中能作为旋转中心的是( )A.点PB.点QC.点RD.点S3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是( )A.∠BCB′=∠ACA′B.∠ACB=2∠BC.∠B′CA=∠B′ACD.B′C平分∠BB′A′4.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是( )A.55°B.60°C.65°D.70°5.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(﹣2，5)的对应点A′的坐标是( )A.(2，5)B.(5，2)C.(2，﹣5)D.(5，﹣2)6.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是( )A.60°B.90°C.120°D.150°7.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( )A.10°B.20°C.50°D.70°8.如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A．120° B．90° C．60° D．30°二、填空题9.一个正n边形绕它的中心至少旋转18°才能与原来的图形完全重合，则n的值为.10.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为.11.在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_ _.12.时钟6点到9点，时针转动了＿＿度.13.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度.14.如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 .三、解答题15.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数.参考答案16.答案为：D17.答案为：A；18.答案为：C.19.答案为：C.20.答案为：B.21.答案为：D.22.答案为：B.23.A24.答案为：20.25.答案为：15°.26.答案为：(2，3)27.答案为：90º28.答案为：30.29.答案为：17°.30.解：∵菱形ABCD，∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF，∴∠F=∠E=86°.。
最新人教版数学九年级上册第二十三章—旋转知识点总结及其练习
第二十三章—旋转一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。
）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。
4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。
5、有关图形旋转的一些计算题和证明题例题练习1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°4.数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上滚动的足球C.工作中的风力发电机叶片D.传输带运输东西5.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC.其中正确的为( )A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且点D恰好在AC上,∠BAE=∠CDE=136°,则∠C的度数是（）8.如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.(1)求证:△FAC≌△BAE;(2)图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC,请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数.9.如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的动点(不与B,C重合),将线段AE 绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF,EF、AF分别与CD交于点M、N,连接EN,作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:BE=CG;(2)若BE=2,DN=3,求EN的长.二、中心对称图形1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
人教版初中数学九年级上册第二十三章23.1.1旋转的概念与性质
3.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得Rt △ADE,点B的对 应点D恰好落在BC边上.若AC= 3 , ∠B=60 °，则CD的长为（ D ） A. 0.5 B. 1.5 C. 2 D. 1
E
A
C
D
B
4. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°，AB=3,OA=5,则A ′ B ′ = 3 ,OA ′ = 5 ,旋转角等 于 44 ° .
A1 C，
A1B
BC，
A1BD CBF，
△BCF≌△BA1D；
1.下列现象中属于旋转的有( C )个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的
转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2 B.3 C.4 D.5
2. 下列说法正确的是( B )
A.旋转改变图形的形状和大小 B.平移改变图形的位置 C. 图形可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
3.旋转不改变图形的形状和大小.
A E
F
B
D O C
探究新知
素养考点 1 旋转作图
例1 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A 为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
想一想：本题中作 图的关键是什么？
A
D
E
作图关键－确定点E的对应点E′
B
C
例3 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点 B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝
x
A.45°，90° B.90°，45° C.60°，30° D.30°，60°
人教版初中九年级上册数学精品授课课件 第23章 旋转 图形的旋转 第1课时 旋转的概念与性质
③你还能发现哪些有 类似关系的线段和角？
OB=OB′， ∠ABC=∠A′B′C′ 等.
④ △A′B′C′ 和△ABC 的形状和大小有什么 关系？
△ABC≌△A′B′C′
OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′=∠COC′
举例：三角形绕外一点O旋转.
归纳
旋转的性质
对应点到旋转中心的距离相等. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等 于旋转角. 旋转前、后的图形全等.
平面内某一点O转动一个角度，叫
做图形的旋转. 点O叫做旋转中心.
OP
转动的角叫做旋转角.
P'
转动的方向为顺时针方向.
举例：三角形绕外一点O旋转.
如果图形上的点 P 经过旋转变 为点 P' ，那么这两个点叫做这个旋 转的对应点.
类似地，你能说一说什么是对 应线段和对应角吗？
OP P'
如图，△OPQ 围绕点 O 顺时针
3. 在如图所示的正方形网格中，△MNP 绕某
点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中 心是点_____.
B
旋转中心的确定:根据对应 点到旋转中心的距离相等, 可知旋转中心位于对应点连 线的垂直平分线上,即旋转 中心是两对对应点所连线段 的垂直平分线的交点.
4. 如图，△ABD，△AEC 都是等边三角 形. BE 与 DC 有什么关系？你能用旋转的性质 说明上述关系成立的理由吗？
课堂小结
定义
三要素：旋转中心，旋转 方向和旋转角
旋转 性质
对应点到旋转中心的距离相等
对应点与旋转中心所连 线段的夹角等于旋转角
旋转前、后的图形全等
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
人教版九年级上册数学同步教学课件-第23章-23.1 第1课时 旋转的概念与性质
随堂即练
1. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知 ∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°，AB=3,OA=5,则A ′ B ′ = 3 ,OA ′ = 5 ,旋转角= 44 ° .
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随堂即练
2.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得
个△ABC，再挖一个小洞O作为旋转
B
中心，硬纸板下面放一张白纸.先在
C
D
纸上描出这个挖掉的三角形图案
O
（△ABC），然后围绕旋转中心转
F
动硬纸板，再描出这个挖掉的三角
形（△DEF），移开硬纸板.
E
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新课讲解
问题1 在图形的旋转过程中，线段OA A
与线段OD的关系怎样?∠AOD与
∠BOE呢？△ABC与△DEF呢？
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新课讲解
★旋转的定义
P
把一个图形绕着平面内某点O沿 某个方向转动一个角度的图形变 换叫做旋转.
这个定点O称为旋转中心.
O
旋转中心
旋转角 120
P′
转动的角称为旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转 的对应点.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
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Rt △ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC= 3,
∠B=60 °，则CD的长为（ D ）
A. 0.5
B. 1.5
C. 2 D. 1
E
C
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A
B D
随堂即练
3.如图，正方形A′B′C′D′是由正方形ABCD按顺时针方向旋转 45°而成的. （1）若AB=4，则S正方形A′B′C′D′=16 ； （2） ∠BAB ′=45°, ∠B′AD= 45°.
2019九年级数学上册第23章旋转23.1图形的旋转23.1.1旋转的概念及性质作业本课件新版新人教版
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】A．正三角形的最小旋转角是 120°，故此选项错误； B．正方形的最小旋转角是 90°，故此选项错误； C．正六边形的最小旋转角是 60°，故此选项正确； D．正十边形的最小旋转角是 36°，故此选项错误．故选 C.
第1课时 旋转的概念及性质
12．2017·泰安 如图 23－1－9，在正方形网格中，线段 A′B′ 是线段 AB 绕某点逆时针旋转角 α 得到的，点 A′与点 A 对应，则角 α 的大小为( C )
AO＝DO，BO＝CO，AB＝DC ； 的图形， 点 D 在线段 AB 上． 图中的相等线段有______________________ ∠AOD，∠BOC，∠BDC 图中等于 30°的角有__________________________ ；图中的全等三角 △ODC≌△OAB ． 形是____________
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
图 23－1－9
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】AA′和 BB′的垂直平分线的交点即为旋转中心 O，根据网格 的特征可知∠AOA′＝90°，所以旋转角α＝90°.
图 23－1－1
第1课时 旋转的概念及性质
2．下列现象中是旋转的是( D ) A．推拉抽屉 B．火车车厢的直线运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动
【解析】A 中，推拉抽屉是物体的平移运动；B 中，火车车厢的直线运动 是平移；C 中，电梯的上下移动是平移；D 中，汽车方向盘的转动是绕着一个 点的转动，是旋转．故选 D.
第二十三章23.1来自旋转图形的旋转
第二十三章 旋转
第1课时 旋转的概念及性质
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
人教版九年级数学上册作业课件 第二十三章 旋转 图形的旋转 第1课时 认识图形的旋转
8．(2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A
按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，
则∠C′的度数为( )
C
A．18° B．20° C．24° D．28°
9．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕 点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则下列结 论错误的是( B )
A．AE∥BC B．∠ADE＝∠BDC C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9
10．如图，在正方形 ABCD 中，AD＝1，将△ ABD 绕点 B 顺时针旋转 45 °得到△ A′BD′，此时 A′D′与 CD 交于点 E，则 DE 的长为_2_－____2_．
11．如图，在正方形 ABCD 中，AD＝2 3 ，把边 BC 绕点 B 逆时针 旋转 30°得到线段 BP，连接 AP 并延长交 CD 于点 E，连接 PC，则 △ PCE 的面积为__9_－__5___3__________.
练习 2：如图，在△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ ABC
绕点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D
处，则 B，D 两点间的距离为( A )
A． 10
B．2 2
C．3 D．2 5
知识点1：旋转的概念 1．将左图按顺时针方向旋转90°后得到的图形是( A )
2．图形旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离____相__等_________； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ______旋__转__角____________________________________________________； (3)旋转前、后的图形___全__等___．
人教版九年级上册数学课件23.1第1课时 旋转的概念与性质
x
8.如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O.你能 借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说 你的做法.
A
D
C
O
B
旋转到同一个象限，构成四分之一个圆
拓展训练
将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使 一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示).你知道旋 转角是多少吗？连结BB’，△ABB’有什么特征吗？
150°
课堂小结
定义
三要素：旋转中心，旋转 方向和旋转角度
旋转 性质
① 旋转前后的图形全等； ② 对应点到旋转中心的距离
相等; ③ 对应点与旋转中心所连线
段的夹角等于旋转角.
课后作业
见《学练优》本课时练习
旋转中心是___O___，旋转角是∠__A_O__B____，旋转角
等于_6_0__度，其中的对应点有_A_与__B___、 _B_与__C___、 _C__与__D__、 _D__与__E__、 __E_与__F__、 _F_与__A___ .
B
A C
O
F
D
E
归纳总结
确定一次图形的旋转时, 旋转中心
O
0
45
B
A
思考:怎样来定
义这种图形变换？
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心 固定点转动一定角度.
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时 针转动了_1_2_0_°__度.
双击打开
怎样来定义 这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着 平面内中心固定点转动一定角度. 风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
观察下图，你能得
到什么结论？
A'
A
九年级数学上册教学课件《图形的旋转 (第1课时)》
形状、大小、位置是否发生变化呢？
素养目标
23.1 图形的旋转
2.能够根据旋转的基本性质解决实际
问题.
1.掌握旋转的有关概念及基本性质.
探究新知
23.1 图形的旋转
知识点 1
旋转的概念
【观察】观察下列图形的运动，它有什么特点？
O
45°
B
A
探究新知
23.1 图形的旋转
C
M
B
探究新知
23.1 图形的旋转
根据上图填空.
C
旋转中心是点__________；
图中对应点 点A与点A′,点B与点B′,点M与点M′,点N与点N′
_______________________________________;
线段CA与CA′、CB与CB′、AB与A′B′
图中对应线段有_____________________________________.
_______
E与F
F与A .
D与E
A
O
C
F
D
E
探究新知
23.1 图形的旋转
旋转的判定
旋转中心
确定平面图形旋转时, 必须明确
旋转角
旋转方向
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中
“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转
的三要素；②旋转变换同样属于全等变换.
探究新知
素养考点 2
23.1 图形的旋转
23.1 图形的旋转
O
45
0
B
A
Ｏ
45
点A绕＿＿点，往＿＿＿方向，转动了＿度到点B．
顺时针
旋转的三要素: 旋转中心、旋转方向、旋转角度.
人教版九年级上册数学第二十三章旋转23.1图形的旋转课后练习(含答案)
九年级上册数学《第二十三章23.1 图形的旋转》课后练习一、单项选择题1．如图，在平面直角坐标系中，将点P(2,3) 绕原点O顺时针旋转90°获得点P，则P的坐标为（）A．(3,2)B． (3, 1)C．(2,3)D．(3, 2)2．如图，在同一平面内，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转50°到△AB′ C的′地点，使得 C′C∥ AB ，则∠ CAB 等于（）A ．50°B． 60°C． 65°D． 70°3．如图，四边形ABCD 是边长为 5 的正方形， E 是DC 上一点，DE1，将ADE绕着点 A 顺时针旋转到与ABF重合，则EF（）A．41B．42C．52D．2134．如图，△ A′ B′是C由′△ ABC 经过平移获得的，△ A′ B′还C可′以看作是△ ABC经过如何的图形变化获得？以下结论：① 1 次旋转；② 1 次旋转和 1 次轴对称；③ 2 次旋转；④ 2 次轴对称．此中全部正确结论的序号是（）A ．①④B ． ②③C ． ②④D ． ③④5．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A （ 3， 4）逆时针旋转90°，获得点 B ，则点B 的坐标为（）A ．（4， -3）B ．（ -4， 3）C ．（ -3， 4）D ．（ -3， -4）二、填空题6．在以下图的方格纸 (1 格长为 1 个单位长度 )中， △ABC 的极点都在格点上，将△ ABC绕点O 按顺时针方向旋转获得△ A'B'C' ，使各极点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________ ．．7．如图， 已知ABC 是等腰三角形， AB AC , BAC45 ,点 D 在 AC 边上，将 ABD绕点 A 逆时针旋转 45°获得 ACD ' ，且点 D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则ABD 的度数是 _____．8．如图将 △ ABC 绕点 C 逆时针旋转获得△AB C ，此中点 A 与 A 是对应点，点 B ′与 B 是对应点，点B ′AC上，连结 A B ，若ACB 45 ， AC 3 ， BC 2 ，则 A B的落在边长为 __________．9．如图，在菱形ABCD 中，AB 2 , BAD 60，将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针方向旋转，对应获得菱形AEFG ，点E在AC上，EF与CD交于点 P ，则DP的长是 _____．10．如图，将Rt ABC的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转090获得 AE，直角边AC绕点 A 逆时针旋转090 获得AF，连结EF．若AB=3，，且 B ，AC=2则 EF = _____．11．如图，等边三角形ABC 内有一点 P，分別连结 AP 、 BP、 CP，若AP6， BP8 ，CP 10 ．则 S ABP S BPC＝_______．12．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为 (10)，，以OA1为直角边作Rt OA1 A2，并使AOA ＝60 12，再以OA 为直角边作2Rt OA A ，并使23A OA＝6023，再以OA 为直角3边作 Rt OA3 A4，并使A3OA4＝60按此规律进行下去，则点A2019的坐标为_______．13．如图，将绕直角极点 C 顺时针旋转，获得，连结AD ，若，则______．三、解答题14． (1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ ACB=90° ,B,C,D在一条直线上.填空 :线段AD,BE之间的关系为.(2) 拓展研究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ ACB= ∠ DCE=90° ,请判断AD,BE的关系 ,并说明原因.(3) 解决问题如图 3,线段 PA=3,点 B 是线段 PA 外一点 ,PB=5, 连结 AB, 将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°获得线段AC, 跟着点 B 的地点的变化 ,直接写出 PC 的范围 .15．如图 1，ABC 中，CA CB,ACB, D 为ABC内一点，将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角获得CBE ，点A, D的对应点分别为点B, E ，且 A, D, E 三点在同向来线上．（ 1）填空：CDE（用含的代数式表示）；（ 2）如图 2，若60，请补全图形，再过点C作CF AE 于点F，而后研究线段CF , AE, BE 之间的数目关系，并证明你的结论；（3）若90 , AC 5 2 ，且点G知足AGB 90 , BG 6，直接写出点 C 到 AG 的距离．16．如图，在△ ABC 和△ADE 中，点 E 在 BC 边上，∠ BAC ＝∠ DAE ，∠ B＝∠ D， AB ＝AD ．（1）试说明△ ABC ≌△ ADE ；（2）假如∠ AEC ＝ 75°，将△ ADE 绕点 A 旋转一个锐角后与△ ABC 重合，求这个旋转角的大小．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ C=90°， AB=10 ，AC=8 ．线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转90°获得，△ EFG 由△ ABC 沿 CB 方向平移获得，且直线EF 过点 D．（1）求∠BDF 的大小；（2）求 CG 的长．18．请仔细阅读下边的数学小研究系列，达成所提出的问题：研究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，将边AB绕点B 顺时针旋转获得线段BD，连结求证：的面积为提示：过点 D 作BC 边上的高 DE，可证≌研究2：如图2，在一般的中，，，将边AB 绕点B 顺时针旋转获得线段BD ，连结请用含 a 的式子表示的面积，并说明原因．研究 3：如图 3，在等腰三角形ABC 中，获得线段BD ，连结尝试究用含 a 的式子表示，，将边AB绕点B顺时针旋转的面积，要有研究过程．19．如图 1，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，以点 E 直角极点的直角三角形EFG 的两边EF，EG 分别过点 B ， C，∠ F＝ 30°.（ 1）求证： BE＝CE（ 2）将△ EFG 绕点 E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF与 AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC订交于点M，N.（如图2）①求证：△ BEM ≌△ CEN ；②若 AB ＝ 2，求△ BMN 面积的最大值；③当旋转停止时，点 B 恰幸亏 FG 上（如图3），求 sin∠ EBG 的值 .答案1． D2．C 3．D 4．D 5．B6． 90°7． 22.5 °8．139．31 10．|13|11．2416 322017 ,22017 313．12．14．解（ 1）结论： AD=BE ，AD ⊥BE．原因：如图 1 中，∵△ ACB 与△ DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ ACB= ∠ ACD=90°，在 Rt△ ACD 和 Rt△BCE 中AC＝BCACD＝BCECD＝CE∴△ ACD ≌△ BCE （ SAS），∴AD=BE ，∠ EBC=∠ CAD延伸 BE交AD于点 F，∵BC⊥AD ，∴∠ EBC+∠ CEB=90°，∵∠ CEB=AEF ，∴∠ EAD+ ∠ AEF=90°，∴∠ AFE=90°，即 AD ⊥BE ．∴AD=BE ， AD ⊥ BE ．故答案为 AD=BE ， AD ⊥BE ．（ 2）结论： AD=BE ， AD ⊥ BE ．原因：如图 2 中，设 AD 交 BE 于 H，AD 交 BC 于 O．∵△ ACB 与△ DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ， CE=CD ，∠ ACB= ∠ECD=90°，∴ACD= ∠ BCE ，在 Rt△ ACD 和 Rt△BCE 中AC＝BCACD＝BCE ，CD＝CE∴△ ACD ≌△ BCE （ SAS），∴AD=BE ，∠CAD= ∠CBE ，∵∠ CAO+ ∠ AOC=90°，∠ AOC= ∠BOH ，∴∠ BOH+ ∠ OBH=90°，∴∠ OHB=90°，∴AD ⊥BE，∴AD=BE ，AD ⊥BE．（3）如图 3 中，作 AE ⊥ AP，使得 AE=PA ，则易证△ APE ≌△ ACP ，∴ PC=BE ，，图 3-1 中，当 P、 E、 B 共线时， BE 最小，最小值 =PB-PE=5-3 2，图 3-2 中，当 P、 E、 B 共线时， BE 最大，最大值 =PB+PE=5+3 2∴5-3 2 ≤BE≤5+32，即 5-3 2 ≤PC≤5+32．15．解：（1）将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角获得 CBE ACD BCE ， DCE aCD CECDE 1802故答案为：1802（2）AE BE23CF 3原因以下：如图，将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角60 获得CBE ACD BCEAD BE,CD CE,DCE60CDE是等边三角形，且CF DEDF EF3 CF3AE AD DF EF2 3AE BE CF3（ 3）如图，当点G 在AB上方时，过点C作CE AG 于点 E ，ACB90, AC BC52CAB ABC45,AB10ACB90AGB点C，点G ，点 B ，点 A 四点共圆AGC ABC45 ,且CE AGAGC ECG 45CE GEAB10,GB6, AGB 90AG AB2GB28AC2 AE2 CE2 ，(52) 2(8CE) 2CE 2CE 7 （不合题意舍去），CE1若点 G在AB的下方，过点C作CF AG，同理可得： CF7点C到 AG的距离为1或7．16.解：（ 1）、∵∠ BAC= ∠DAE ， AB=AD ，∠ B=∠ D，∴△ ABD ≌△ ADE.（ 2）、∵△ ABC ≌△ ADE ，∴ AC 与 AE 是一组对应边，∴∠ CAE的旋转角，∵ AE=AC ，∠AEC=75°，∴∠ ACE= ∠ AEC=75°，∴∠ CAE=180° —75°—75°=30°17．解（ 1）∵线段 AD 是由线段AB 绕点 A 按逆时针方向旋转90°获得，∴∠ DAB=90°， AD=AB=10 ，∴∠ ABD=45°，∵△ EFG 是△ ABC 沿 CB 方向平移获得，∴AB ∥ EF，∴∠ BDF= ∠ ABD=45°；（2）由平移的性质得， AE ∥ CG， AB ∥ EF，∴∠ DEA= ∠ DFC= ∠ABC ，∠ ADE+ ∠ DAB=180°，∵∠ DAB=90°，∴∠ ADE=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ ADE= ∠ ACB ，∴△ ADE ∽△ ACB ，∴，∵AB=8 ， AB=AD=10 ，∴ AE=12.5 ，由平移的性质得， CG=AE=12.5 ．18．解如图1，过点D作交CB的延伸线于E，，由旋转知，，，，，，在和中，，≌，，；的面积为，原因：如图2，过点 D 作 BC 的垂线，与BC 的延伸线交于点E，，线段AB绕点，B 顺时针旋转，获得线段BE ，，，，在和中，，≌，，，如图；3，过点 A 作与 F，过点 D 作的延伸线于点E，，，，，，，线段 BD 是由线段 AB 旋转获得的，，在和中，，≌，，，的面积为．19．解（ 1）证明：如图 1 中，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB=DC ，∠A= ∠D=90°，∵E 是 AD 中点，∴AE=DE ，∴△ BAE ≌△ CDE ，∴BE=CE ．（2）①解：如图 2 中，由（ 1）可知，△ EBC 是等腰直角三角形，∴∠ EBC=∠ ECB=45°，∵∠ ABC= ∠ BCD=90°，∴∠ EBM= ∠ ECN=45°，∵∠ MEN= ∠ BEC=90°，∴∠ BEM= ∠ CEN，∵EB=EC ，∴△ BEM ≌△ CEN ；②∵△ BEM ≌△ CEN ，∴BM=CN ，设 BM=CN=x ，则 BN=4-x ，2∴S△BMN =?x（ 4-x ） =-（x-2）+2，∵—＜ 0，∴ x=2 时，△ BMN 的面积最大，最大值为2．③解：如图 3 中，作 EH⊥ BG 于 H ．设 NG=m ，则 BG=2m ， BN=EN=m，EB= m．∴ EG=m+ m= （ 1+）m，∵S△BEG= ?EG?BN= ?BG?EH，∴ EH==m，在 Rt△ EBH 中， sin∠ EBH=．。
九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转第1课时旋转的概念及性质作业课件新版新人教版
(2)过点 E 作 EG⊥AB 于点 G，∵∠A＝∠ABE＝30°，AB＝1，
13．如图，在平面直角坐标系中，将点P(－4，2)绕原点O顺时针 旋转90°，则其对应点Q的坐标为____(_2_，__4_)．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°， 将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°得△A1BC1，A1B交AC于点E， A1C1分别交AC，BC于点D，F. (1)试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； (2)求DE的长．
9．(长春中考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°， 点E是菱形ABCD内一点，连接CE绕点C顺时针旋转110°， 得到线段CF，连接BE，DF，若∠E＝86°，求∠F的度数．
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠A＝110°， 由旋转的性质知，CE＝CF，∠ECF＝∠BCD＝110°， ∴∠BCE＝∠DCF＝110°－∠DCE，
在△BCE 和△DCF 中，C∠BB＝CEC＝D ∠DCF， CE＝CF
∴△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠E＝86°
10．(天津中考)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE， 点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD. 下列结论一定正确的是 C A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC 11．(临沂中考)如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120° 得到△EDC，连接AD，BD.则下列结论： ①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是 D A．0 B．1 C．2 D．3
九年级数学上册第23章旋转23.1图形的旋转第1课时旋转的概念及性质课件【人教版】
大小为( A )
A．42°
B．48°
C．52°
D．58°
图2318
3．[2017·菏泽]如图 23-1-9，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°得到
△A′B′C，连接 AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是( C )
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
图2319
4．[2017·聊城] 如图 23-1-10，将△ABC 绕点 C 顺时针旋
AB＝DB， 在△ABC 和△DBE 中，∠ABC＝∠DBE，
CB＝EB，
∴△ABC≌△DBE(SAS)， ∴AC＝DE. (2)解：如答图，连接 CE. 由 CB＝EB，∠CBE＝60°，可得△BCE 是等边三角形，∴∠BCE＝60°. 又∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°. ∵DC＝4，BC＝6＝CE， ∴DE＝ 42＋62＝2 13， ∴AC＝2 13.
知识管理
1．旋转的概念 旋 转：在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度， 叫做图形的旋转，点 O 叫做 旋转中心 ，转动的角叫做 旋转角 ． 注 意：(1)本节我们学习的旋转中心是点，而不是直线，如生活中的开 门、关门是绕轴旋转一定的角度，不属于我们研究的绕定点旋转； (2)经过旋转后，图形上任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋 转角．
2．旋转的性质 性 质：(1)对应点到旋转中心的距离 相等 ； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角 ； (3)旋转前、后的图形 全等 ．
归类探究
类型之一 旋转的概念
如图 23-1-1，若把△ABC 绕点 A 旋转一定角 度就得到△ADE，那么对应边 AB＝ AD ，BC＝ DE ， 对应角∠CAB＝ ∠EAD ，∠B＝ ∠D .
人教版九年级数学上23.1图形的旋转第1课时旋转的概念及性质同步练习含答案
23．1图形的旋转第1课时旋转的概念及性质关键问答②旋转和平移有什么相同之处和不同之处？②图形的旋转和图形上任何一点的旋转具有怎样的关系？1.①下列现象中属于旋转的是()A．汽车在急刹车时向前滑动B．拧开水龙头C．雪橇在雪地里滑动D．电梯的上升与下降2．②如图23－1－1，△ABC和△DCE都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的，则下列叙述中错误的是()图23－1－1A．旋转中心是点CB．旋转角可能是90°C．AB＝DED．∠ABC＝∠D3．钟表的分针经过5分钟，旋转了________°.命题点1旋转的概念[热度：82%]4．③下列图案中，不能由一个图形通过旋转形成的是()图23－1－2解题突破③找轴对称图形是确定线，找旋转图形是确定点(即旋转中心)．命题点2旋转中心的确定[热度：89%]5．④如图23－1－3，在一个4×4的正方形网格中，若两个阴影部分的三角形绕某点旋转一定的角度后能互相重合，则其旋转中心可能是图中的()图23－1－3A．点A B．点B C．点C D．点D方法点拨④确定旋转中心的方法：作两对对应点连线的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心．6．⑤如图23－1－4，ABCD和DCGH是两块全等的正方形铁皮，要使它们重合，则存在的旋转中心有()图23－1－4A．1个B．2个C．3个D．4个易错警示⑤容易忽略D，C两个点也可以作为旋转中心．命题点3求角度[热度：82%]7．⑥2017·菏泽如图23－1－5，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是()图23－1－5A．55°B．60°C．65°D．70°方法点拨⑥将三角形绕某一顶点旋转后，有公共端点的对应边可构成一个新的等腰三角形.8．如图23－1－6，▱ABCD绕点A逆时针旋转30°得到▱AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C的度数是________．图23－1－6命题点4求长度[热度：92%]9．⑦如图23－1－7，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在CD边上，DE＝1，把△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接EE′，则线段EE′的长为()图23－1－7A．2 5 B．2 3 C．4 D．210方法点拨⑦利用旋转的性质，构建直角三角形(尤其是含30°，45°角的直角三角形)，再依据勾股定理求边长，这是旋转中求线段长的常用方法．10．如图23－1－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，连接AB′.若点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为()图23－1－8A．6 B．4 3 C．3 3 D．311．2017·黄冈已知：如图23－1－9，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm.将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D＝________cm.图23－1－912．⑧2016·眉山如图23－1－10，把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是()图23－1－10A．6 2 B．6 C．3 2 D．3＋3 2解题突破⑧连接BC′，点B在对角线AC′上．13．⑨2017·徐州如图23－1－11，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．图23－1－11模型建立⑨三角形的两边及这两边的夹角确定后，三角形是唯一确定的．命题点5求图形的面积[热度：95%]14．B10如图23－1－12，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′的位置，此时AC′的中点恰好与点D重合，AB′交CD于点E.若AB＝3，则△AEC的面积为()图23－1－12A．3 B．1.5 C．2 3 D.3方法点拨○10旋转中求面积是在旋转中求线段长的基础上，利用几何图形的面积公式(或几何图形的面积和与差)来求解的．15．⑪2016·台州如图23－1－13，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”(阴影部分)．若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是________．图23－1－13方法点拨⑪把“星形”分割成菱形与四个全等的三角形，并求出四个全等三角形中任意一个三角形的面积．16．如图23－1－14，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，求图中阴影部分的面积．图23－1－1417．⑫2017·贵港如图23－1－15，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是()图23－1－15A．4 B．3 C．2 D．1解题突破⑫在旋转过程中，点P到点C的距离会变化吗？点C到点M的距离呢？18．⑬如图23－1－16，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是________．图23－1－16模型建立⑬有公共端点的两条线段，另外两个端点间的最大距离是两条线段的长度和，最小距离是两条线段的长度差．典题讲评与答案详析1．B 2.D 3.304．C [解析] 只有选项C 不能通过旋转得到．5．C [解析] 两对对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心．6．C [解析] 根据旋转的性质，可得要使正方形ABCD 和DCGH 重合，有3种方法，即可以分别绕点D ，C 或CD 的中点旋转，即旋转中心有3个．7．C [解析] ∵将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ，∴AC ＝A ′C ，∴△ACA ′是等腰直角三角形，∴∠CA ′A ＝∠CAA ′＝45°，∴∠CA ′B ′＝20°＝∠BAC ，∴∠BAA ′＝20°＋45°＝65°.8．[导学号：04402145]105°[解析] 由题意可得AB ＝AB ′，∠BAB ′＝30°，所以∠B ＝∠AB ′B ＝75°.又因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠C ＝180°－∠B ＝105°.9．A [解析] 由题意可得AE ＝AE ′，∠EAE ′＝90°.因为AD ＝AB ＝3，DE ＝1，所以AE ＝AE ′＝32＋12＝10，所以EE ′＝10＋10＝2 5.10．A [解析] 因为∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝2，所以AB ＝4.由题意可得A ′B ′＝AB ＝4，∠A ′＝∠CAB ＝30°，∠A ′B ′C ＝∠B ＝60°，A ′C ＝AC ， 所以∠A ′＝∠CAA ′＝30°.又因为∠A ′B ′C ＝∠CAA ′＋∠B ′CA ＝60°， 所以∠CAA ′＝∠B ′CA ＝30°， 所以AB ′＝B ′C ＝BC ＝2， 所以AA ′＝A ′B ′＋AB ′＝6.11．1.5 [解析] ∵在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3 cm ，BO ＝4 cm ，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5 cm.∵D 为AB的中点，∴OD ＝12AB ＝2.5 cm.∵将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，∴OB 1＝OB ＝4 cm ，∴B 1D＝OB 1－OD ＝1.5 cm.12．[导学号：04402147]A [解析] 连接BC ′，CD ′，如图．∵旋转角∠BAB ′＝45°， ∠BAD ′＝45°， ∴B 在对角线AC ′上． ∵B ′C ′＝AB ′＝3，∴在Rt △AB ′C ′中，AC ′＝AB ′2＋B ′C ′2＝3 2.∵∠OBC ′＝90°，∠D ′C ′A ＝45°，∴△OBC ′为等腰直角三角形． ∵在等腰直角三角形OBC ′中，OB ＝BC ′， ∴AC ′＝AB ＋BC ′＝AB ＋OB ＝3 2. 同理可得AD ′＋OD ′＝3 2，∴四边形ABOD ′的周长＝3 2＋3 2＝6 2. 故选A.13．解：(1)∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴DC ＝AC ＝4.(2)如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E . ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD ＝60°. 又∵AC ⊥BC ，∴∠DCE ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－60°＝30°，∴在Rt △CDE 中，DE ＝12DC ＝2，CE ＝DC 2－DE 2＝2 3，∴BE ＝BC －CE ＝3 3－2 3＝3， ∴BD ＝DE 2＋BE 2＝22＋（3）2＝7.14．D [解析] ∵旋转后AC ′的中点恰好与点D 重合， 即AD ＝12AC ′＝12AC ，∴在Rt △ACD 中，∠ACD ＝30°，∠DAC ＝60°， ∴∠C ′AD ′＝60°，∴∠DAE ＝30°， ∴∠EAC ＝∠ACD ＝30°， ∴AE ＝CE ，AD ＝ 3.设AE ＝CE ＝x ，则有DE ＝DC －CE ＝AB －CE ＝3－x . 在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得x 2＝(3－x )2＋(3)2， 解得x ＝2，∴CE ＝2，则S △AEC ＝12CE ·AD ＝ 3.15．6 3－6 [解析] 在图中标上字母，令AB 与A ′D ′的交点为E ，过点E 作EF ⊥AC 于点F ，如图所示．∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°， ∴∠BAO ＝30°，∠AOB ＝90°，∴BO ＝12AB ＝1，AO ＝AB 2－BO 2＝22－12＝ 3.同理可知A ′O ＝3，D ′O ＝1， ∴AD ′＝AO －D ′O ＝3－1.∵∠A ′D ′O ＝90°－30°＝60°，∠BAO ＝30°， ∴∠AED ′＝30°＝∠EAD ′， ∴D ′E ＝AD ′＝3－1.在Rt △ED ′F 中，ED ′＝3－1，∠ED ′F ＝60°，∴D ′F ＝12D ′E ＝3－12，EF ＝3－32， ∴S 阴影＝S 菱形ABCD ＋4S △AD ′E ＝12·2AO ·2BO ＋4×12AD ′·EF ＝6 3－6.16．解：如图，设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE .在Rt △AB ′E 和Rt △ADE 中，∵AE ＝AE ，AB ′＝AD ，∴Rt △AB ′E ≌Rt △ADE (HL)，∴∠DAE ＝∠B ′AE .∵旋转角为30°，∴∠DAB ′＝60°，∴∠DAE ＝12×60°＝30°， ∴DE ＝12AE ，则DE 2＝4DE 2－1，∴DE ＝33， ∴阴影部分的面积＝1×1－2×⎝⎛⎭⎫12×1×33＝1－33. 17．B [解析] 连接PC .在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4.根据旋转的性质可知，A ′B ′＝AB＝4.∵P 是A ′B ′的中点，∴PC ＝12A ′B ′＝2.易得 CM ＝BM ＝1.又∵PM ≤PC ＋ CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3(此时P ，C ，M 三点共线)．18．[导学号：04402151]1.5[解析] 如图，取AC 的中点G ，连接EG .∵旋转角为60°，∴∠ECD ＋∠DCF ＝60°.又∵∠ECD ＋∠GCE ＝∠ACB ＝60°，∴∠DCF ＝∠GCE .∵AD 是等边三角形ABC 的对称轴，∴CD ＝12BC ，∴CD ＝CG .又∵将EC 旋转得到FC ，∴CE ＝CF ，∴△DCF ≌△GCE (SAS)，∴DF ＝GE .根据垂线段最短，得当GE ⊥AD 时，GE 最短，即DF 最短．此时，∵∠CAD ＝12×60°＝30°，AG ＝12AC ＝3，∴EG ＝12AG ＝12×3＝1.5，即DF 的最小值是1.5.【关键问答】①相同之处：旋转或平移前、后的图形都是全等的．不同之处：平移是一个图形沿某一方向移动了一段距离，旋转是一个图形绕着某一点沿顺时针或逆时针方向转动了一个角度．②图形的旋转和图形上任何一点的旋转是一致的，即都是绕一个相同的点，沿顺时针或逆时针转动了一个相同的角度．。