求解非线性方程及方程组的粒子群算法
求解非线性方程组的改进粒子群算法
中 圈分 类 号 ： Ｏ２ ４ １ ． ７ 文 献标 识 码 ： Ａ
Ｏ 引 言
非线 性方 程组 求解 是 一个具 有 重要 实践 意义
为 函数 优化 问题 ， 在 Ｐ Ｓ Ｏ 算法 的基 础 上融 合 蒙 特
其 当前 搜 索 到 的最 好 位 置 记 为 ｐ ｂ ｅ ｓ ｔ ， 所 有 为 ｇ ｂ ｅ ｓ ｔ ． 对 第 ｋ＋ １次
迭代 ， 第ｉ 个 粒子 的第 维状态 （ １ ≤ ≤ ） 根 据式
（ １～ ４ ） 更 新．
一 删 ＋
服 经典 算法 的 缺点 ， 文献 ［ ２ ］ 利用 遗传 算法 的全局 搜 索 能力 ， 结合 经 典 算 法 的 快 速局 部 搜 索 设 计 了 求 解非 线性 方 程组 的混 合 遗 传 算 法 ， 使 得 算 法 具 有 较 高 的收敛 速 度 和求 解 精 度 ， 但 依 然 对 方 程 组
程 度 上依赖 于 初 始 点 的选 择 ， 对 于某 些 非 线 性 方 程 组容 易 导致 求解 失败 ， 有效 性 较低 ， 同时对 于性
态 较差 的非 线 性 方 程 组 收 敛 效果 很 差 ［ １ ］ ． 为 了克
ｔ ｉ ｏ ｎ Ａｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ） ． 实 验证 明 了该 算 法 的有 效 性 ， 求
第２ ７卷 第 ３ 期
２ ０ １ ３年 ５月
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｓ ｕ Ｌ ｉ ａ ｎ ｈ ｅ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
非线性方程组求解方法的比较研究
非线性方程组求解方法的比较研究在数学中，非线性方程组是指其中一个或多个方程不满足线性关系的方程组。
尽管有解析解的一些特殊情况，但大多数非线性方程组需要使用数值方法来计算近似解。
本文将比较介绍几种非线性方程组求解方法，包括牛顿法，拟牛顿法，全局优化方法和粒子群算法。
1. 牛顿法牛顿法是求解非线性方程组最常用的迭代方法之一。
它基于局部线性逼近，每次迭代使用当前解的一阶导数信息来计算下一次迭代的更新方向。
令F(x)表示非线性方程组，J(x)=∇F(x)表示F(x)的雅可比矩阵。
给定一个当前近似解x_k，牛顿法的更新方程可以表示为：x_(k+1) = x_k - J(x_k)^(-1)F(x_k)其中，J(x_k)^(-1)是J(x_k)的逆矩阵。
如果J(x_k)是奇异的，则牛顿法不适用。
与其他迭代方法相比，牛顿法通常收敛更快，因为它基于二次局部逼近，而其他方法通常只适用于一次局部逼近。
但是，牛顿法要求计算和存储雅可比矩阵的逆，这可能是一个瓶颈。
2. 拟牛顿法拟牛顿法是一类不需要精确计算和存储雅可比矩阵逆的牛顿法。
它使用最小化当前近似解和实际解之间差异的信息来逼近Hessian矩阵的逆。
拟牛顿法的基本思想是建立一个称为拟Hessian矩阵的对称正定矩阵B_k，B_k的逆用于计算更新方向。
拟Hessian矩阵通过对不同x_k和x_(k+1)的F(x_k)和F(x_(k+1))差的比较来构建。
在每个迭代步骤k，拟牛顿法将F(x_k)和F(x_(k+1))的差异的值的与相对应的x_k和x_(k+1) 的差异相关联的拟Hessian方程式称为：B_k(x_(k+1) - x_k) = ∇F(x_(k+1))- ∇F(x_k)其中∇F(x) 是F(x)的梯度。
这个拟Hessian方程的解，将给出优化的下降方向。
拟牛顿法不需要计算和存储雅可比矩阵的逆，但它需要存储一个两倍于原始变量数的矩阵B_k。
3. 全局优化方法全局优化方法是一类寻找非线性方程组所有可能解的算法。
基于粒子群算法的寻优计算
在（ .3）中 为非负数，称为动力常量，控制前一速度对当前速度的影响， 较 大时，前一速度影响较大，全局搜索能力较强； 较小时，前一速度影响较小，局部 搜索能力较强。通过调整 大小来跳出局部极小值。 终止条件根据具体问题取最大迭代次数或粒子群搜索到的最优位置满足的预定最 小适应阈值。 初始化过程如下： Ⅰ.设定群体规模 m 。 Ⅱ.对任意的 i ， s ，在 xmax , xmax 内服从均匀分布产生 xis ； Ⅲ.对任意的 i ， s ，在 vmax , vmax 内服从均匀分布产生 vis 。 Ⅳ.对任意的 i ，设 yi xi 。 PSO 算法步骤如下： Step1：初始化一个规模为 m 的粒子群，设定初始位置和速度。 Step2：计算每个粒子的适应值。 Step3：对每个粒子将其适应值和其经历过的最好位置 pis 的适应值进行比较，若 较好，则将其作为当前的最好位置。 Step4：对每个粒子将其适应值和全局经历过的最好位置 pgs 的适应值进行比较， 若较好，则将其作为当前的全局最好位置。 Step5：根据方程（ .1） ， （ .2）分别对粒子的速度和位置进行更新。 Step6：如果满足终止条件，则输出解；否则返回 Step2。
的认知观点。J.Kennedy 和 R.Eberhart 对 Frank Heppner 的模型进行了修正，以使粒子 能够飞向解空间并在最好解处降落。其关键在于如何保证粒子降落在最好解而不降落 在其它解处，这就是信念的社会性及智能性所在。 信念具有社会性的实质在于个体向它周围的成功者学习。个体和周围的其他同类 比较，并模仿优秀者的行为。要解决这一问题，关键在于在探索（寻找一个好解）和 开发（利用一个好解）之间寻找一个好的平衡。太小的探索导致算法收敛于早期遇到 的好解处，而太小的开发会使算法不收敛。 另一方面，需要在个性与社会性之间寻找平衡。也就是说：既希望个体具有个性 化，像鸟类模型中的鸟不相互碰撞，又希望其知道其它个体已经找到的好解并向它们 学习，即社会性。 J.Kennedy 与 R.Eberhart 很好的解决了这个问题， 1995 年他们在 IEEE 国际神经网 络学术会议上正式发表了题为： “Particle Swarm Optimization”的文章，标志着粒子群 算法的诞生。 粒子群算法与其它的进化类算法类似，也采用“群体”和“进化”的概念，同样 也根据个体的适应值大小进行操作。不同的是，PSO 中没有进化算子，而是将每个个 体看作搜索空间中没有重量和体积的微粒，并在搜索空间中以一定的速度飞行，该飞 行速度由个体飞行经验和群体的飞行经验进行动态调整。 示为一个 S 维的向量 xi xi1 , xi 2 , 设在一个 S 维的目标搜索空间中，有 m 个粒子组成一个群体，其中第 i 个粒子表
数值分析中的非线性方程求解与优化
数值分析中的非线性方程求解与优化在数值分析领域中，非线性方程求解是一个重要的问题。
许多实际问题都可以被建模为非线性方程，而求解这些方程对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍非线性方程求解的基本概念、方法和优化技术。
一、非线性方程求解的概念非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
与线性方程不同，非线性方程的解不再是一条直线，而是一条曲线或曲面。
非线性方程的求解是寻找方程中满足特定条件的变量值或函数的过程。
二、非线性方程求解的方法1. 迭代法迭代法是解决非线性方程求解问题中常用的方法。
迭代法的基本思想是通过不断逼近方程的解，使得迭代序列逐步收敛于方程的解。
常见的迭代法包括牛顿迭代法、割线法和弦截法等。
以牛顿迭代法为例，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始估计值x0，然后通过迭代公式进行迭代计算直到满足收敛条件。
迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，其中f'(xn)表示f(x)在xn处的导数。
2. 区间划分法区间划分法是通过将求解区间划分为若干个子区间，然后在每个子区间内搜索方程的解。
这种方法常用于求解具有多个解的非线性方程。
一般可以使用二分法、割线法和弦截法等算法进行区间划分和求解。
3. 优化技术优化技术常用于求解非线性方程的最优解。
在数值分析中，优化问题可以理解为寻找使得目标函数达到最大或最小值的变量值。
常用的优化算法包括梯度下降法、拟牛顿法和粒子群算法等。
这些算法通过迭代过程不断调整变量值，使得目标函数逐渐趋于最优解。
三、非线性方程求解与优化的应用非线性方程求解和优化技术在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 工程领域：在工程设计中，需要求解非线性方程以确定优化的设计参数。
例如，在机械设计中，可以通过求解非线性方程来确定零件的几何尺寸和运动轨迹。
2. 金融领域：在金融衍生品定价和风险管理中，需要求解非线性方程来估计资产价格和风险敞口。
非线性微分方程的智能优化
非线性微分方程的智能优化随着科学技术的不断发展，非线性问题在各个领域中的出现越来越普遍。
在数学、物理、生物、医学等领域，非线性微分方程模型的建立和求解已成为研究的重要课题。
而传统的求解方法，如数值算法和解析方法，已经不能完全满足实际需求。
因为在实际问题中，通常涉及的非线性微分方程模型是十分复杂且多样的。
近年来，随着人工智能等技术的快速发展，非线性微分方程智能优化方法进入人们的视野。
智能优化算法包括遗传算法、粒子群优化、蚁群算法等，这些算法通过模拟自然界中生物的优化行为，寻找全局最优解。
其中，粒子群优化算法应用最为广泛。
粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种基于群体智能的优化算法。
它最初是由Eberhart和Kennedy于1995年提出的。
PSO算法根据群体的经验不断调整参数以达到最优状态，实现了较高的求解精度和计算效率。
该算法的优点在于其求解速度快，易于实现，而且不需要梯度信息。
以Lotka-Volterra方程为例，该方程模拟了一种生态系统中食肉动物和食草动物的相互作用。
这个方程是一个经典的非线性微分方程，由以下两个公式组成：(dN1/dt) = r1N1 - a1N1N2(dN2/dt) = -r2N2 + a2N1N2其中，N1和N2分别表示食草动物和食肉动物的数量，r1和r2分别是它们的自然增长率，而a1和a2是它们之间的相互作用系数。
该模型的目标是预测不同时间下种群数量的变化，从而有助于采取相应的保护和管理措施。
对于这个模型的求解，传统的数值算法往往需要进行较多的试验和调整，难以得到全局最优解。
而PSO算法不仅具有较高的求解速度和精度，还能对参数进行非线性组合优化，能够更好地预测不同时间下种群数量的变化趋势。
在实际应用中，粒子群优化算法已被广泛用于生态学、气象预测、金融建模等领域中复杂非线性系统的建模和优化。
除了PSO算法，遗传算法、蚁群算法等优化方法也在非线性微分方程求解中得到了应用。
电力系统潮流计算机算法
电力系统潮流计算机算法电力系统潮流计算是电力系统分析中最基本的一项计算，其目的是确定电力系统中各母线电压的幅值和相角、各元件中的功率以及整个系统的功率损耗等。
随着计算机技术的发展，电力系统潮流计算算法也在不断更新和完善。
以下是电力系统潮流计算的一些常用算法：1. 牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson Method）：这是一种求解非线性方程组的方法，应用于电力系统潮流计算中。
该方法在多数情况下没有发散的危险，且收敛性较强，可以大大节约计算时间，因此得到了广泛的应用。
2. 快速迪科法（Fast Decoupled Method）：这是一种高效的电力系统潮流计算方法，将电力系统分为几个子系统进行计算，从而提高了计算速度。
3. 最小二乘法（Least Squares Method）：这是一种用于求解线性方程组的方法，通过最小化误差平方和来获得最优解。
在电力系统潮流计算中，可用于优化电压幅值和相角。
4. 遗传算法（Genetic Algorithm）：这是一种全局优化搜索算法，应用于电力系统潮流计算中，可以解决一些复杂和非线性问题。
5. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：这是一种启发式优化算法，通过模拟鸟群觅食行为来寻找最优解。
在电力系统潮流计算中，可用于优化网络参数和运行条件。
6. 模拟退火算法（Simulated Annealing）：这是一种全局优化搜索算法，应用于电力系统潮流计算中，可以在较大范围内寻找最优解。
7. 人工神经网络（Artificial Neural Network）：这是一种模拟人脑神经网络的计算模型，可用于电力系统潮流计算。
通过训练神经网络，可以实现对电力系统中复杂非线性关系的建模和预测。
以上所述算法在电力系统潮流计算中起着重要作用，为电力系统运行、设计和优化提供了有力支持。
同时，随着计算机技术的不断发展，未来还将出现更多高效、精确的电力系统潮流计算算法。
改进的粒子群理论及在非线性方程组中的应用
改进的粒子群理论及在非线性方程组中的应用
高雷阜， 齐 微
，
。
Ｇ ｅｆ ， ＩＷｅ ＡＯ Ｌ ｉ Ｑ ｉ ｕ
辽宁工程技术大学 理学 院 数学与系统科 学研 究所 ， 辽宁 阜新 １３０ ２００
摘 要： 针对基本粒子群优化算法的“ 早熟” 及参数设置的缺陷， 提出基于变尺度的粒子群优化算法。该算法利用变尺度法局部 收敛快的特点， 使改进后的算法能有效地跳出局部最优解， 快速地搜索到全局最优解。仿真结果表明新算法提 高了最优解的精 度和优化效率； 同时验证 了 算法有较好的鲁棒性 ， 新 然后把 改进算法成功应用于非线性方程组求解 问题。
ｉ ｒｖ ｄ ａｇ ｒｔｍ Ｓ ｓｃ ｅ ｓｕｌ ｐ ｌ ｄ ｔ ｏｖ ｈ ｒｂ ｅ ｏ ｏ ｌ ｅｒ ｅ ｕ ｔ ｎ ． ｍｐ ｏ ｅ ｌｏｉ ｈ ｉ ｕ ｃｓｆ ｌ ａ ｐｉ ｏ ｓ ｌｅ ｔ ｅ ｐｏ ｌｍ ｆｎ ｎｉ ａ ｑ ａｉ ｓ ｙ ｅ ｎ ｏ
Ｋｅ ｒ ｓ ｌｂ ｌｏ ｔ ｚ ｔ ｎ；ａｔ ｌ ｗａｍ ｐｉ ｉａｉｎ ａｇ ｒ ｈ ； ａｉｂｅ ｍｅｒｃ ａｇ ｒｔｍ ； ｏ ｌ ｅ ｑ ａｉｎ ｙ ｗｏ ｄ ：ｇｏ ａ ｐｉ ａｉ ｐ ｒｉ ｅ Ｓ ｒ ｏ ｔ ｚ ｔ ｌｏ ｉ ｍ ｖ ｒａ ｌ ｔ ｌｏｉ ｍｉ ｏ ｃ ｍ ｏ ｔ ｉ ｈ ｎ ｎｉ ａ ｅ ｕ ｔ ｓ ｎｒ ｏ
Ａ ｐｉａ ｏ ｓ２ １ 。７ ３ ）４ －０ ｐ ｌ ｔ ｎ 。０ １ ４ （５ ：８５ ． ｃｉ
Ａｂｓｒ ｃ ： Ｐ ｒ ｃｅ ｓ ｒ ｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ｌ ｏ ｔ ｍ ａ ｅ ｎ ｖ ｒａ ｌ ｍｅｒｃ ｍ ｅｈ ｄ ｓ ｐ ｏ ｏ ｅ ｏ ｈ ｄ ｆ ｃ ｓ ｆ ｅ ｅ ｎ ａ ｙ ｔａ ｔ ａ ｔ ｌ ｗａ ｍ ｐ ｉ ａｉ ａｇ ｒ ｈ ｂ ｓ ｄ ｏ ａ ｂ ｅ ｉ ｍｉ ｏ ｉ ｉ ｔ ｔ ｏ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｆ ｒ ｔ ｅ ｅ ｅ ｔ ｉ ｏ ｌ ｍｅ ｔｒ ｐ ｒｉｌ ｗａ ｍ ｐ ｉ ｚ ｔ ｎ ａｇ ｒｔｍ ” ｒ ｍａ ｕ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｐ ｒ ｍｅｅ ｅｔ ｇ Ｔ ｅ ａｇ ｒ ｍ ｓ ｓ ｆ ｓ ｌ ｃ ｌ ｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅ ｃ ａ ａ ・ ａｔ ｅ ｓ ｒ ｏ ｔ ｃ ｍｉａ ｉ ｌ ｏ ｈ ｏ ｉ ｐ ｅ ｔ ｒ ” ｎ ｈ ａ ａ ｔｒ ｓ ｔ ｎ ． ｈ ｌ ｏ ｉ ｉ ｈ ｔ ｕ ｅ ａ ｔ ｏ ａ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｈ ｒ ｃ
求解非线性方程组的混合粒子群算法
２ １ ，７ ９ ０１４（ ）
３ ３
求 解 非线 性 方程 组 的混 合 粒 子 群 算 法
欧阳 艾嘉 刘 利斌 乐 光学 ， 肯 立 ， ， ～李
ｆ ｎ ｔｏ ｓＣｏ ｕ ｅ ｇｎ ｅ ｉｇ ａ ｄ Ａｐ ｌ ａ ｏ ｓ ２ １ ４ （ ：３ ３ ． ｕ ｃ ｎ ． ｍｐ ｔｒ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｎ ｐｉ ｔ ｎ 。０ １， ７ ９） ３ － ６ ｉ ｃｉ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ａ ｂ ｉ Ｐ ｒｉｌ Ｓ ｒ Ｈｙ ｒ ｄ ａｔ ｅ ｗａｍ Ｏｐ ｉ ｚ ｔ ｎ（ Ｓ ｃ ｔ ｍｉａｉ ＨＰ Ｏ） ａｇ ｒｈ ， ｉｈ ｃ ｍｂｎ ｓ ｈ ａ ｖ ｎａ ｅ ｏ ｈ ｍｅｈ ｄ Ｈｏ ｋ － ｏ ｌｏ ｔｍ ｗｈｃ ｏ ｉｅ ｔ ｅ ｄ ａ ｔｇ ｓ ｆ ｔｅ ｉ ｔｏ ｏ ｅ Ｊｅ ｅ （ ） ａ ｄ Ｐ ｒｉｌ ｗａｍ Ｏｐｉ ｚ ｔ ｎ（ Ｓ ｅｖ ｓ ＨＪ ｎ ａｔ ｅ ｃ Ｓ ｒ ｔ ａｉ Ｐ Ｏ），ｓ ｕ ｆ ｒ ｒ ｔ ｓ ｌｅ ｙ ｔｍｓ ｆ ｎ ｎｉｅ ｒ ｕ ｃｉｎ ， ｎ ｔ ａ ｂ ｍｉ ｏ ｉ ｐ ｔ ｏｗａｄ ｏ ｏｖ ｓ ｓｅ ｏ ｏ ｌ ａ ｆｎ ｔ ｓ ａ ｄ ｉ ｎ ｏ ｃ ｎ ｅ
Ｏ ＡＮＧ Ａ ｉ Ｌ Ｕ ｉｉ Ｙ ｕ ｎ ｘ ｅ Ｌ ｎｉ ＵＹ ｉａ， Ｉ Ｌｂｎ， ＵＥ Ｇ ａ ｇ ｕ ， ＩＫｅ ｌ ｉ １ 兴学 院 数理与信息工程学院 ， 江 嘉兴 ３４ ０ ． 嘉 浙 １０ １
２池州学 院 数学与计算机科学系 ， ． 安徽 池州 ２ ７ ０ ４００ ３ 南大学 计算机与通信学院 ， ． 湖 长沙 ４ ０ ８ １０ ２
求解非线性方程组的混合粒子群算法_欧阳艾嘉
1 引言
非线性方程组的求解是一个基本而又重要的问题，这是因 为在工程技术、经济学、信息安全和动力学等方面有大量的实际 问题最终转化为非线性方程组的求解问题。长期以来，对非线 性方程组在理论和数值计算方面都做了大量的研究，但是对其 求解还是一个难题[1]，由于传统数值求解常用的牛顿-拉普辛迭代 法需要给定初始迭代值，而且具有对初始迭代值的敏感性，同时 牛顿-拉普辛方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆问题，对 于某些导数不存在或是导数难求的方程，牛顿-拉普辛方法具有 一定局限性[2-4]。Hooke-Jeeves 具有算法简单，不需要求解目标函 数的导数，收敛快速的求解特点，存在的缺点是对初始值敏感。 粒子群优化算法是群智能算法中的一种，该方法具有群体智能、 迭代过程相对简单和收敛速度较快等优点，但是它的局部搜索 能力比较差，不能有效求解高维、复杂的非线性方程组问题。
Abstract：A Hybrid Particle Swarm Optimization（HPSO） algorithm，which combines the advantages of the method HookeJeeves（HJ） and Particle Swarm Optimization（PSO），is put forward to solve systems of nonlinear functions，and it can be used to overcome the difficulty in selecting good initial guess for HJ and inaccuracy of PSO due to being easily trapped into local optimal.The algorithm has sufficiently displayed the performance of PSO’s global search and HJ’s accurate local search.Numerical computations show that the approach has great robustness，high convergence rate and precision，and it can give satisfactory solutions. Key words：systems of nonlinear functions；Hooke-Jeeves；particle swarm optimization
数学建模中的非线性问题与求解
智能算法在非线性问题求解中的重要性 智能算法的效率和有效性对非线性问题求解的影响 智能算法在不同非线性问题中的表现和适用性 提高智能算法效率和有效性的方法与策略
数值解法：高 效、精确的数
值计算方法
近似解析解法： 简化问题复杂 度，提高求解
效率
人工智能与机 器学习：用于 求解复杂非线
性问题
混合方法：结 合数值解法和 近似解析解法 的优势，提高 求解精度和效
介绍偏微分方程 的基本概念和分 类
阐述非线性偏微 分方程的求解方 法，如有限元法、 有限差分法等
举例说明非线性 偏微分方程的求 解过程，包括建 立数学模型、选 择合适的求解方 法、进行数值计 算等
总结非线性偏微 分方程求解的难 点和挑战，以及 未来发展的方向
求解方法：梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等 应用场景：机器学习、图像处理、信号处理等领域 实例：最小二乘问题、支持向量机等 注意事项：选择合适的求解方法，避免陷入局部最优解
非线性方程的 求解方法：迭 代法、牛顿法、
二分法等
求解实例：求 解非线性代数 方程的数值解
法
求解过程：迭 代过程、收敛 性判断、误差
估计等
实例：求解非线性常微分方程的数值方法 常用算法：欧拉法、龙格-库塔法等 实例应用：在物理、化学、生物等领域的应用 求解技巧：如何处理非线性项、如何选择合适的初值和步长等
离散问题：非线性离散问题通常涉 及到离散的变量和关系，如图论、 组合优化等问题。
定义：非线性问题是指数学模型中的变量之间存在非线性关系的问题，即变量的输出值与输入 值不成正比例关系。
分类：非线性问题可以分为多种类型，如非线性方程、非线性优化、非线性动力学等。
应用场景：非线性问题在各个领域都有广泛的应用，如物理、化学、工程、经济等。
新型粒子群算法在多元方程组求解中的应用
求解方程组（ 等价于求解下面一个极小值的优化 问题 ： １ Ｊ
Ｆｎ × （１ ２ ， ） ｉｄ： ＝ｘ， ， ｘ ｘ…
ｎ
ａ≤ｘ≤ｈｉ１… ， ｉ ． ｉ ， ｎ ， ＝
（） ２
ｓ．ｉ（ ＝ Ｉ） ａ ｘ ｂ ， ｎ ． ｎｘ ∑（ｘ ｉ ． ｌ１ ｔ ｆ） ｍ （） ≤ ＜ Ｉ …， ｉ Ｆ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｄ ｒ ｓ：ｍ ｕ ｔ ｅ ａ ｉ ｎｓ ｐ ｒｉ ｌ ｓ ｒ ｌ ｌ ｏ ｉ ｍ ； ｍｕ ｔ ｌ ａ ａ ｌ ｌ ｉ ｅ ｔａ ｗｅ ｇ ｔ ｌ — ｑｕ ｔｏ ； ａ ｃ ｅ ｗａ ｌ ａ ｇ ｒｔ ｉ ｔ ｌ ｈ ｌｉ ｅ ｐ ｒ ｌ ； ｎ ｒｉ ｐ ｅ ｉｈ
Ｏ 引言
ｉ ｅ ｓｌ ｔａ ｐ ｄ ｉ ｌ ｃ ｌ ｏ ｔ ａ ｓ ｌ ｔｏ ｂ ｅ ｅ ｔｖ ｌ ｓ ｌ ｅ ． Ｆｉ ａ ｌ ， ｔ ｒ ｕ ｈ ｓ ｌ ｉ ｇ ｏ ｅ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｃ ｍ ｐ ｒ ｄ ｓ ａｉ ｙ ｒ ｐ ｅ ｎ ｏ ａ ｐ ｉ ｌ ｏ ｕ ｉ ｎ ｍ ｅ ｆ ｃｉｅｙ ｏｖ ｄ ｎｌ ｙ ｈ ｏ ｇ ｏ ｖ ｎ ｐ ｒ ｔｏ ， ｎ ｏ ａ ｅ ｗ ｉ ｔ ｅ ｔ ｈ ｈ ｔａ ｉｉ ｎ ｌ ａ ｉ ｌ ｓ ｒ ｌ ａ ｇ ｒｔ ｍ，ｔ ｅ ｕ ｅ ｉ ｉ ｏ ｈ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｉ ｓ ｌ ｉ ｇ ｍｕｌ － ｑ ｔ ｎｓ ｓ ｒ ｅ ｒ ｄ ｔｏ ａ ｐ ｒ ｃ ｅ ｗａ ｌ ｌ ｏ ｉ ｔ Ｔ ｈ ｈ ｓ ｐ ｒｏｒ ｙ ｆ ｔ ｅ ｎ ｗ ｌ ｏ ｉ ｔ ｈ ｎ ｏｖｎ ｔ ｅ ｕａ ｉ ｉ ｉ ｏ ｐ ｏｖ ｄ
源于对鸟群捕 食行 为的研究 。粒子群算法 同其他进 化类 题 ； 汁算 后期 由于 所有粒子 都 向最 优的方 向飞去 ， 子多样 出的 ， 在 粒 算法相类 似 ， 采用 “ 群体 ” 进化 ” 与“ 的概 念 ， 依据个体 （ 子 ） 粒 的 性变差， 收敛 速度变 慢 ， 易陷 入局 部最 优 。因此 ， 某些 方 容 对 维搜 程， 文献 ［，】 ２３的方法并 不能得到最优解 。针对粒子群 算法的 以 适 应值大小进行操作 。粒子群算法将每个个体看作是在 ｎ
粒子群算法在求解方程组中的应用
Ｏ 引言
科学和工程 计算 中 ， 求解方程 组是非常 重要的 内容 。以往
粒子群算法 的实 际计 算步 骤如 下 。 第一步 ： 对每个粒子的速度和位置进行初始化 ；
第二步 ： 算每个粒子的适应值 ； 计
求解线性方程 组多采用 消去法和迭代 法 ， 而求 解非线性 方程组 则多 采用牛 顿迭代 法和其 各种 改进 的算法 。这些方 法 虽然有
计 算机 时代 ２ １ 年 第 １ 期 ００ Ｏ
粒 子 群 算 法在 求解 方 程 组 中的应 用
孟 纯 青
（ 东大学 第二 附属 中学 ， 山东 济 南 ２０ ６） 山 ５０ １
摘 要 ：提 出了采 用粒子 群算 法求解线性方程组和 非线性方程 组的智能算 法。采用粒子群 算法求解方程组具 有形式简 单、 收敛迅 速和容 易理解等特 点 ， 能在 一 次计 算 中多次发现 方程组的解 ， 以解 决非线性方程组 多解的求解问题 ， 且 可 为线
２ 本 文算 法 介绍
本文针 对线性方程组 和非线性方程 组各 自的特 点详细 内容 可参 阅参 考文献 【Ｊ ［】本 文仅 用 了不 同的粒 子群 算法 。求解 线性方程 组 时采用上 面给 出的 ｌ和 ２， 标准 的粒子群算 法 ， 求解非线性方程组 时采用改进算法 。 作 以下简单介绍 。
群算法步骤如 下。 第一步 ： 对每个粒子 的速度和位置作 初始化 ； 第二步 ： 计算每个粒子 的适应值 ；
通过反复调整使得整体 向着最 优值靠近 。
在实 际的粒子群算法 中， 每个个体被 称为粒子 。每个粒子 包含 以下参 数 ： 当前位 置矢 量 ， 历史最 优位置 ， 速度矢 量 ， 当前 适应值 ， 历史最优适应值 。 粒子按照下 面的公式 调整 自己的速度和位置 ：
自适应粒子群算法在非线性回归中的应用
ｌ 期
陈高波 ， 杨小 红 ：自适应粒子群 算法在非线性 回归 中的应用
１１ ０
１ 自适 应 粒 子 群 算 法
标准 粒 子群优 化 算 法 初 始 为一 组 随机 粒 子 （ 随
机 解 ） 然 后通 过 迭代 寻找 最 优 解 ． 子 追 随 两个 当 ， 粒
２ 基 于 自 适 应 粒 子 群 的 非 线 性 回 归
简 称 Ｐ Ｏ 源 于对 鸟群捕食 行 为 的研 究 ， Ｓ） 是近几 年 进
将很多的非线性回归转化为线性 回归． 因而 ， 可以用
线 性 回归方 法解决 非 线 性 回归 预 测 问 题 ． 并 非 所 但 有 的非 线性模 型都 可 以线 性 化 ， 即使 可 以转 化 为 线 性模 型 ， 可能造成 模 型随机 误差 项性 质 的 改变 ． 也 在 这 种情 况下 ， 直接 采 用 非线 性 最 小 二 乘 估 计 比较 有
为：
＝ 。
—
系 可用 米 氏 （ ｃ ａｌ ） 程 Ｙ＝ Ｍｉ ｅｉ 方 ｈ ｓ
ｐ２十
表 示． 氏方 米
ｌ
＋ Ｉ 。 Ｐ 一 ） ｃ ｒ （ ） ｃ‘ （ 十 ２‘２’ ｐ 一 ， （） １ ＝ ＋ ． （） ２
程 中参 数 ， 为最 大反 应速 度 ， 用 于计算 酶 的催化 可
摘
要 ：采 用 自适 应算 法调 整粒 子群 的 权重 ， 优化 非 线性 回 归模 型 的参 数 ， 并将 其 应 用 于酶促
反应 的参数 求 解 。与线性 化 、 线性 最 小二 乘 以及 标 准粒子 群 的 结果 比较 表 明 ， 自适应 粒子 非 用
群 求解 的非线性 回 归方程 有 更 高的精 度 。 关键 词 ：自适应 ； 子群 ； 线性 回归 粒 非 中图分类 号 ： ２ Ｏ２ 文 献标识 码 ： Ａ
求解非线性方程组的一种新方法及应用
（） ６
（，，，）０ … ＝
求解方程组等价于求解下面一个约束优化问题
ｍｎ￣ ｉ ） ｆ（ ｓ （ ＝ ． ０ ｔ ） （ ＝ ０ ）
（ ７）
≤ ≤ （ １，， ｘ ． ｉ ，… ＝２ ）
这 （，，，）Ｒ， （ 为目 适 值 数， ＝，＝，， 表 第 个 式 束， 量 里 －ｘ ２ ∈ ” 标 应 函 （ ｏ ２ ｍ 示 等 约 变 ，… Ｘ ） ） （ … ）
＋
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（） ２
（ ３）
０５ ．× ｍａ ｉｒ ．＋０５ （ ｘｔ —ｎ／ ｘｔｒ ｅ ｍａ ｉ ｅ
（ ４）
收稿 日期 ： ２ １－９ １ ０ １０— ９
基 金项 目：内蒙 师范大 学青 年政治 学 院 ２ １ 年 度科研 项 日 （ｃ １１ ０１ ｚＩ０ ）
作者简介：朱铁锋 （ ９９ ） １７ 一 ，男，助教 ，硕士 ，主要从事最优化理论与算法方而的研究工作 ，ｚ２ Ｏ＠ｓ ａ ｏｌ ｔＯ ４ ｉ ． ｒ ｔ ｎ ｃｒ
法收敛速度 ，一般以 １ 线性递减到 ０ ， ． ０ ． 效果较好 ；ｍ ｘ ｅ 是迭代最大次数 ；ｆ 当前迭代次数 ； 为种 ５ ａｉｒ ｔ 为 Ｍ
群规模。
２ 方程组 问题转化
对 于 问题 （ ）的一般 形式 为 １
（，，， － … ）ｏ （，，，）ｏ ｘｘ…ｘ ＝ 】ｚ
第 ２ 卷第 １ ８ 期
２１年 １ ０２ 月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｕｎ ｆ ｑｈ ｒＵｎｖ ｒｉ ｏ ｒａｌ ｉａ ｉｅ ｓｔ ｏ Ｑｉ ｙ
Matlab中的神经网络优化方法
Matlab中的神经网络优化方法引言神经网络是一种模拟人脑神经元网络的计算模型，它通过学习样本数据集来实现对未知数据的预测和分类。
而神经网络的优化则是为了找到最佳的模型参数，从而使网络的性能达到最优。
在Matlab中，有多种优化方法可以用于神经网络的训练和调参。
本文将介绍一些常用的神经网络优化方法，并探讨它们的特点和适用场景。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基本的优化方法，它通过计算损失函数对参数的梯度来更新参数。
在Matlab中，可以使用gradient descent函数来实现梯度下降法的优化。
然而，梯度下降法有时会陷入局部最优解，且收敛速度较慢。
因此，在实际应用中，通常需要结合其他优化方法来提高梯度下降法的性能。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种适用于解决大规模线性代数方程组的优化方法。
它利用共轭方向的思想，通过迭代的方式求解线性方程组的解。
在神经网络的优化中，可以使用Matlab中的cgtrust函数来实现共轭梯度法的优化。
共轭梯度法具有较快的收敛速度和低内存消耗的特点，适合于处理大规模网络和高维数据。
三、Levenberg-Marquardt算法Levenberg-Marquardt算法是一种基于海森矩阵的优化方法，用于非线性最小二乘问题的求解。
在神经网络的优化中，可以使用Matlab中的trainlm函数来实现Levenberg-Marquardt算法。
此算法通过近似计算海森矩阵，从而在每次迭代中调整学习率，提高收敛速度和稳定性。
Levenberg-Marquardt算法适用于小规模网络和数据不平衡的情况。
四、BFGS算法BFGS算法是一种基于拟牛顿思想的优化方法，用于求解非线性方程组或非线性最小化问题。
在神经网络的优化中，可以使用Matlab中的trainbfg函数来实现BFGS算法。
该算法通过近似计算海森矩阵的逆，从而迭代地优化模型参数。
BFGS算法具有较好的收敛性和稳定性，适用于大规模网络和高维数据。
解非线性方程组的全局收敛方法(ⅱ)
解非线性方程组的全局收敛方法(ⅱ)
非线性方程组是解决复杂问题的重要手段，其中的一个重要环节是获取全局收敛的方法。
全局收敛是指一个有效的求解方法在有限的步骤后得到的收敛结果必定是方程组的解（最
优解），而不会受局部最优解影响。
常见的全局收敛方法包括：
1. 全局梯度下降法：该法是通过迭代梯度，在每一步中，根据当前点处函数的梯度值，
搜索函数下降最快的方向，最终获取全局最优解。
2. 全局拟牛顿法：该法类似梯度下降法，但是引入了海森矩阵的概念，增加了搜索的可
靠性，可以加快函数的下降速度，最终获取全局最优解。
3. 全局平衡混合梯度方法：该方法借用了平衡理论，通过约束部分变量，把约束条件混
合到梯度下降法中，可以控制搜索的步长，从而获取全局最优解。
4. 全局混合型粒子群算法：该方法基于粒子群算法，把解的搜索范围划分为多个“密度高、稳定性强”的区域，不断寻找每个区域的最优解，从而获取全局最优解。
以上就是常见的几种非线性方程组的全局收敛方法，应用在实践中，需要根据不同的问题，选择恰当的方法，及时调整搜索步长，以最短时间获取最优结果。
具有全局收敛性的求解非线性方程组的新方法
中图 分 类 号 ： ０ ＴＰ３ １ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ９ ３ ４ （０ １０ — １ ７ ０ １ ０ — Ｏ ４２ ｌ ） １ ０ ９ — ２
Ａ ｗ ｅ ｈ ｉｈ Ｇ ｌｂａｌＣｏｎｖ ｒ ｎ ｅ ｆ ｏｌ ｎｇ Ｓ ｔ ｍ ｎｌｎｅ ｒ Ｅｑｕａ ｉ ｎｓ Ｎｅ Ｍ ｔ ｏｄ Ｗ ｔ ｏ ｅ ｇｅ ｃ ｏｒ Ｓ ｖｉ ｙｓｅ ｏｆＮｏ ｉ ａ ｔｏ
收 敛 区 间 都是 很 难 判 定 的 ， 就 使 得 选 取 合 理 的初 始 根 几 乎 是 不 可 能 的 。 另 外 ， 些 方 法 在 求 解 过 程 中 往往 需 要 方 程 的导 数 信 息 ， 这 这
非线性方程组问题的粒子群-邻近点混合算法
非 线性 方程 组 问题 的粒子 群 ． 邻 近 点 混 合 算 法
张 琳
ＺＨＡＮ Ｇ Ｌｉ ｎ
陕西理 工学 院 数学 与计算 机科 学学 院 ， 陕西 汉 中 ７ ２ ３ ０ ０ １
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ Ｓ ｗａ ｒ ｍ Ｏｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ （ Ｐ Ｓ Ｏ） ； Ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｌ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ（ Ｐ Ｐ Ａ） ； ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｉ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｏ ｕ ｔ ｅ ｒ ｌ ａ ｙ ｅ ｒ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ， ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ Ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ Ｓ ｗａ ｒ ｍ Ｏｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｎ ｅ ｒ ｌ ａ ｙ ｅ ｒ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ
ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ， ２ ０ １ ３ ， ４ ９ （ ２ ４ ） ： ３ ８ — ４ ０ ．
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｒ ｅ ａ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｏ ｆ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｎ ｕ ｍｅ ｉ ｒ ｃ ａ ｌ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ， ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｅ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｙ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｒ ｅ ｑ ｕ ｉ ｒ ｅ ｓ ｎ ｏ ｔ ｏ ｎ ｌ ｙ ａ ｈ ｉ ｇ ｈ ｄ ｅ ｇ ｒ ｅ ｅ ｏ ｆ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ， ｂ ｕ ｔ ａ ｌ ｓ ｏ ｃ ａ ｎ ｎ ｏ ｔ １ ０ ０ ％ ｇ ｕ ａ ｒ ａ ｎ ｔ ｅ ｅ ｔ ｏ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ， Ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ Ｓ ｗａ ｒ ｍ Ｏｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｌ Ｐｏ ｉ ｎ ｔ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ａ ｒ ｅ ｍｉ ｘ ｅ ｄ ， ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ Ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｌ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ
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求解非线性方程及方程组的粒子群算法
近年来，随着计算机技术的发展，大量的复杂非线性方程及方程组可以用计算机求解，而粒子群优化(PSO)是最近比较受欢迎的一种优化技术。
粒子群算法不仅可以有效地求解非线性方程，而且能够在求解过程中提高算法的最优性。
粒子群优化算法(PSO)是一种迭代优化算法，它基于设置一群搜索实体，其最佳个体状态由迭代计算过程得出，这种方法无需指定任何搜索步骤或优化函数，可以有效地求解复杂非线性方程及方程组。
相对于传统的穷举法，粒子群算法的优点在于它对算法的参数开发要求较低，只需设置一些特定的参数，如粒子数、空间维数以及初始位置、速度等，就可以得到满足某种条件（如最小化和最大化）的最优解。
粒子群算法也拥有自我学习的能力，它可以记忆上一次结果，并根据最优值更新参数，以达到最优解。
这里的最优解可以是最小值或最大值，也可以是最小平方和。
此外，粒子群算法可以改进研究中的初始值，当非线性方程的参数发生变化时，粒子群算法也能根据环境的变化而自行调整，从而达到最优解。
粒子群算法在非线性方程和方程组方面有着巨大的潜力。
复杂的非线性方程，特别是多元非线性方程，可以有效地使用粒子群算法。
例如多元方程可以表示多维空间某一点的分布状况，利用粒子群算法可以更好地找到最佳解来描述该点在多维空间中的位置，从而解决多元非线性方程。
总结来说，粒子群算法具有自适应地特性，能够有效地解决复杂的非线性方程及方程组，从而在求解过程中提高算法的最优性。
未来，粒子群算法将继续受到计算机科学领域的广泛应用，用于多种复杂的求解问题。