改进的粒子群算法求解非线性约束优化问题

ｉ＝１
足约束条件的可行解构成的可行域记为 Ｆ， 满足 Ｆ)Ｓ。
目前解决非线性约束优化问题的方法主要有确定性方法
和 随 机 性 方 法 两 大 类 ［１］。确 定 性 方 法 包 括 可 行 方 向 法 、约 束 变 尺
度法等， 一般需要大量的函数信息， 如函数的导数等， 因此对目
标函数和约束条件函数的连续性和可导性具有较高的要求， 比 较 适 用 于 分 析 性 质 明 确 、清 晰 的 函 数 ， 较 难 应 用 于 一 些 复 杂 的 工程优化问题。随机性方法对函数的要求较低， 只需要通过函 数值搜索目标空间， 因此对一般的复杂工程优化问题也具有很 好的求解能力， 适用面宽。遗传算法（ ＧＡ） 和粒子群算法（ ＰＳＯ） 采用得较多的随机算法， 对函数的连续可导等方面没有任何要 求， 因此在使用上极为方便， 搜索能力也比较强［７］。
ＷＵ Ｑｉａｎ， ＺＨＥＮＧ Ｊ ｉｎ－ ｈｕａ， ＳＯＮＧ Ｗｕ．Ｉｍｐｒ ｏｖｅｄ ｐａｒ ｔｉｃｌｅ ｓｗａｒ ｍ ａｌｇｏｒ ｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｓｔｒ ａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒ ｏｂｌｅｍｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒ ｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００７， ４３（ ２４） ： ６１－ ６４．
第 ｔ＋１ 代的速度和位置：
ｖｉ（ｄ ｔ＋１） ＝ｗｖｉ（ｄ ｔ） ＋ｃ１ｒ（１ ｐ （ ｂｅｓｔｉｄ ｔ） － ｘｉ（ｄ ｔ） ） ＋ｃ２ｒ（２ ｇ （ ｂｅｓｔｄ ｔ） － ｘｉ（ｄ ｔ） ） （ ２）
ｘｉ（ｄ ｔ＋１） ＝ｘｉ（ｄ ｔ） ＋ｖｉ（ｄ ｔ＋１） ）
（ ３）
１≤ｉ≤ｐｏｐｓｉｚｅ， １≤ｄ≤Ｄ
１ 引言
在实际生产与生活中， 一类问题可以归结为非线性的约束
优化问题， 例如在生产计划、控制、故障诊断等领域。不失一般
性， 非线性约束优化问题（ 最小值） 可以表述为：
ｍｉｎ（ｆ Ｘ）
#%ｇ（ｊ Ｘ） ≥０， ｊ＝１， …， ｑ
%
ｓ．ｔ．
ｈ（ %%
$ｐ
Ｘ） ＝来自百度文库， ｐ＝１， …， ｍ
（ １）
%
%ｌ
ｕ
其中， ｃ１ 和 ｃ２ 为加速权重， 取为正的常数； ｒ１ 和 ｒ２ 为［０， １］上的随 机系数； ｗ 为 惯 性 权 重 。 粒 子 的 速 度 Ｖｉ 由 最 大 速 度 Ｖｍａｘ 限 制 ， 以防止产生粒子群爆炸的极端无序现象。
３ 改进的粒子群算法
本 文 提 出 的 改 进 的 粒 子 群 算 法 ＩＰＳＯ 主 要 体 现 在 三 个 方
本文提出的改进的粒子群算法 ＩＰＳＯ， 采 用 了 一 种 新 型 的 变异策略， 其目的是使算法不但能够探测到目标空间中的孤立 区域， 而且避免搜索陷入局部极值； 算法通过将部分具有邻近 距离的粒子聚集成核形成多子群引导种群中粒子的飞行； 采用
基金项目： 国家高技术研究发展计划（ ８６３）（ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｈｉｇｈ－ Ｔｅｃｈ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｐｌａｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．２００１ＡＡ１１４０６０） ； 教育部留学回国人员科 研 启 动 基 金（ Ｔｈｅ Ｐｒｏｊｅｃｔ－ ｓｐｏｎｓｏｒｅｄ ｂｙ ＳＲＦ ｆｏｒ ＲＯＣＳ， ＳＥＭ 教 外 司 留［２００５］５４６ 号） ； 湖 南 省 自 然 科 学 基 金（ ｔｈｅ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．０５ＪＪ３０１２５） ； 湖南省教育厅重点科研项目（ Ｎｏ．０６Ａ０７４） 等。
｜ｈ（ｐ Ｘ） ｜－ ε≤０
（ ４）
其 中 ε是 一 个 较 小 的 正 数 。 这 样 在 算 法 中 只 需 要 考 虑 不 等 式
约束。
笔者提出的约束处理仍然属于死亡罚函数法的范畴， 但与
一般的死亡罚函数不同， 即当不满足约束条件时， 并不考虑粒
子搜索到的不可行区域的解的值， 而是只考虑其位置到可行解
区域的距离， 即粒子与约束边界的接近程度。本文定义粒子的
Ｆｆｉｔ 值表示如下：
%（ｆ Ｘ） ， Ｘ∈Ｆ
Ｆｆｉｔ＝
ｍａｘ（
ｇ（ｉ
Ｘ） ） ，（｜
｜ｈ（ｐ
（ Ｘ） ｜－ ε） ｜） ＋Ｎ， ｊ＝１， …， ｑ， ｐ＝１， …， ｍ， Ｘ$Ｆ
５）
其中 Ｎ 是一个很大的正数。当粒子处于非可行解区域时， 其当
动态变化；（ ３） 通过一个简单的罚函数机制来处理约束。本节详
细讨论上述三个方面。
３．１ 约束处理机制以及粒子的比较准则
在 非 线 性 约 束 优 化 问 题（ １） 中 ， 约 束 条 件 包 括 不 等 式 约 束
ｇ（ｊ Ｘ） ≥０ 和 等 式 约 束 ｈ（ｐ Ｘ） ＝０。 本 文 采 取 将 等 式 约 束 通 过 式 （ ４） 转化为不等式约束：
摘 要： 提出了一种改进的粒子群算法（ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ＩＰＳＯ） ， 使用了一种新型的变异策略， 并在搜索过程 中将部分邻近的个体聚集成核， 从而形成多子群引导粒子探测新的搜索区域， 采用了简单易行的罚函数约束处理机制， 使算法在 求解较难的非线性约束优化问题时具有很强的全局搜索能力与效率。对比数值实验结果表明 ， 该算法能够有效、稳定地求解非线 性约束优化问题。 关键词： 粒子群； 多子群； 非线性约束优化 文章编号： １００２－ ８３３１（ ２００７） ２４－ ００６１－ ０４ 文献标识码： Ａ 中图分类号： ＴＰ１８
面：（ １） 考虑到约束区域的复杂性与某些优化函数的形态呈多峰
性 等 性 质 ， 使 不 同 的 粒 子 选 取 不 同 的 ｇｂｅｓｔ 值 ， 因 此 存 在 多 个 局 部 最 优 的 ｇｂｅｓｔ 值 ， 这 里 将 其 称 为 ｌｂｅｓｔ， 并 将 种 群 划 分 为 多 个 子 种 群；（ ２） 一种新型的变异策略， 其中变异概率随着算法的运行而
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 计算机工程与应用
２００７， ４３（ ２４） ６１
改进的粒子群算法求解非线性约束优化问题
吴 茜， 郑金华， 宋 武 ＷＵ Ｑｉａｎ， ＺＨＥＮＧ Ｊｉｎ－ ｈｕａ， ＳＯＮＧ Ｗｕ
湘潭大学 信息工程学院， 湖南 湘潭 ４１１１０５ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｘｉａｎｇｔａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉａｎｇｔａｎ， Ｈｕｎａｎ ４１１１０５， Ｃｈｉｎａ Ｅ－ ｍａｉｌ： ｊｈｚｈｅｎｇ＠ｘｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
一个简单的罚函数处理约束的机制， 使得算法高效实现。对比 数值实验结果表明， ＩＰＳＯ 能够有效、稳定地求解非线 性 约 束 优 化问题。
２ 基本粒子群算法及相关概念
ＰＳＯ 算 法 首 先 随 机 产 生 种 群 中 的 所 有 粒 子 以 及 每 个 粒 子
的初始速度， 通过迭代修改粒子的速度及极值， 最终找到问题
的最优解。每个粒子都保存两个极值： ｐｂｅｓｔ 和 ｇｂｅｓｔ。ｐｂｅｓｔ 记录粒子 自身所找到的最优值， ｇｂｅｓｔ 记录群体中所有粒子找到的最优值。 通过这两个极值引导粒子的飞行。ＰＳＯ 可用 ５ 元组形式描述：
ＰＳＯ＝（ ｐｏｐｓｉｚｅ， ｍａｘ＿ｇｅｎ， Ｖ， Ｐ， Ｆｆｉｔ） 其 中 ｐｏｐｓｉｚｅ 为 群 体 规 模 ， ｍａｘ＿ｇｅｎ 为 迭 代 次 数 ， Ｖ 和 Ｐ 分 别 表
作者简介： 吴茜（ １９８１－ ） ， 硕士研究生， 主要研究方向为进化计算； 郑金华（ １９６３－ ） ， 教授（ 博士） ， 博士生导师， 主要研究方向为进化计 算 、智 能 科 学 等； 宋武（ １９８２－ ） ， 硕士研究生， 主要研究方向为进化计算。
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Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 计算机工程与应用
前解的值对于引导粒子的下一步飞行并不重要， 因为其当前解
的值并不能为算法提供更多的信息； 但是该粒子所处的位置，
即粒子到可行解区域 Ｆ 的距离能够为算法有效地引导该粒子
飞向可行解区域 Ｆ 和对两个粒子进行比较时带来更多的决策
信息。采用以上的约束处理实际上是使可行解优于不可行解，
不可行解中接近可行区域的粒子为优。
在求解非线性约束优化问题时， 无论采取什么方法， 处理 约 束 的 机 制 都 是 其 中 的 一 个 重 要 环 节［２－１０］。 约 束 处 理 的 一 个 原 则是将处于非可行域内（ Ｓ－ Ｆ） 的解通过一定的方法引导到可行 解区域 Ｆ 中来， 目前在实际应用中， 处理约束机制主要包括罚 函数法和 ｌａｇｒａｎｇｉａｎ 乘数法， 将有约束问题转化为无约束问题 进行求解。
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ａｎ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ （ ＩＰＳＯ） ．ＩＰＳＯ ａｄｏｐｔｓ ａ ｎｅｗ ｍｕｔａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ｃｏｎｇｒｅｇａｔｅｓ ｓｏｍｅ ｎｅｉｇｈｂｏｒｉｎｇ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｓ ｔｏ ｆｏｒｍ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｕｂ－ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｌｅａｄ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｔｏ ｅｘｐｌｏｒｅ ｎｅｗ ｓｅａｒｃｈ ｓｐａｃｅ．Ａｄｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ， ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｓ ａ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｅａｓｙ ｐｅｎａｌｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ．Ｔｈｕｓ， ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｈａｓ ｓｔｒｏｎｇ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｐｌｏｒａｔｏｒｙ ｃａｐａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｗｈｉｌｅ ｂｅｉｎｇ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｎ－ ｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＩＰＳＯ ｉｓ ｒｏｂｕｓｔ ａｎｄ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ； ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｕｂ－ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓ； ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ
示所有粒子的速度空间和位置空 间 ， Ｆｆｉｔ 为 适 应 度 函 数 ， 即 从 解 空间到目标空间的映射。
设在 Ｄ 维的搜索空间中， 第 ｉ 个粒子的位置表示为向量
Ｘｉ＝（ ｘｉ１， ｘｉ２， … ， ｘｉＤ） ； 第 ｉ 个 粒 子 的 ｐｂｅｓｔ 表 示 为 ｐｂｅｓｔｉ ＝（ ｐ ， ｐ ， ｂｅｓｔｉ１ ｂｅｓｔｉ２ …， ｐ ） ｂｅｓｔｉＤ ， 那么 ｇｂｅｓｔ 即为 ｐ （ ｂｅｓｔｉ ｉ＝１， ２， …， ｐｏｐｓｉｚｅ） 中的最优值 ； 第 ｉ 个粒子的位置变化率为向量 Ｖｉ＝（ ｖｉ１， ｖｉ２， …， ｖｉＤ） 。对于第 ｔ 代的 第 ｉ 个粒子， 粒子群算法分别根据式（ ２） 和（ ３） 来更新 该 粒 子 在
Ｘ%%
&ｉ
≤Ｘｉ≤Ｘｉ
，
ｉ＝１，
…，
ｎ
其 中 Ｘ＝（ ｘ１， ｘ２， … ， ｘｎ） ∈Ｒｎ 是 ｎ 维 向 量 ， （ｆ Ｘ） 为 优 化 的 目 标 函
数， ｇｊ 表示第 ｊ 个不等式约束， ｈｐ 表示第 ｐ 个等式约束， 变量 ｘｉ
ｎ
( ｌ ｕ
ｌｕ
在区间［ｘｉ ， ｘｉ ］中取值。Ｓ＝ ［ｘｉ ， ｘｉ ］表 示 搜 索 空 间 ， Ｓ 中 所 有 满
３．２ 划分子种群及选择引导核粒子
与基本 ＰＳＯ 算法中为每个粒子保存相同的 ｇｂｅｓｔ 不同， 本文 的 ＩＰＳＯ 将种群中的粒子划分为多个子种群， 分别通过子种群
中的核引导粒子为子种群中的其他粒子更新其 ｇｂｅｓｔ， 将其记为 ｌｂｅｓｔ。其中有一个子种群的仍然保存了全局的 ｇｂｅｓｔ， 这样使得搜索 不仅能朝着全局较优解的方向飞行， 而且能朝着其他多个方向