2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2015年福建省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
图表型；算法和程序框图.
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i,S的值，当i=6时满足条件
i>5，退出循环，输出S的值为0.
解答：
解：模拟执行程序框图，可得
i=1,S=0
c兀•c
S=cos,i=2
2
jr
不满足条件i>5,S=cos——+cosn,i=3
2
jr<?jr
不满足条件i>5,S=cos +cosn+cos,i=4
••• |PF2|=9.
故选：B.
点评：
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题.
4.（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社 区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万兀）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万兀）
6.2
7.5
8.0
2 2
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos+cos2n,i=5
22
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos ' +cos2n+cos ' =0-1+0+1+0=0,i=6
222
满足条件i>5，退出循环，输出S的值为0,
故选：C.
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i,S的
偶函数.
B.f（-x）=|sin（-x）|=|sinx|=f（x）,贝Uf（x）为偶函数.
C.y=cosx为偶函数.
2015年湖南省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年湖南省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每题5分，共50分1．〔5分〕〔2015•湖南〕已知=1+i〔i为虚数单位〕，则复数z=〔〕A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．解答：解：∵已知=1+i〔i为虚数单位〕，∴z===﹣1﹣i，故选：D．点评：此题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．〔5分〕〔2015•湖南〕设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．解答：解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．点评：此题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．3．〔5分〕〔2015•湖南〕执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=〔〕A．B．C．D．考点：程序框图．分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B点评：此题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．〔5分〕〔2015•湖南〕假设变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为〔〕A．﹣7 B．﹣1 C．1D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C〔0，﹣1〕．由解得A〔﹣2，1〕，由，解得B〔1，1〕∴z=3x﹣y的最小值为3×〔﹣2〕﹣1=﹣7．故选：A．点评：此题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．〔5分〕〔2015•湖南〕设函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，则f〔x〕是〔〕A．奇函数，且在〔0，1〕上是增函数B．奇函数，且在〔0，1〕上是减函数C．偶函数，且在〔0，1〕上是增函数D．偶函数，且在〔0，1〕上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．解答：解：函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，函数的定义域为〔﹣1，1〕，函数f〔﹣x〕=ln〔1﹣x〕﹣ln〔1+x〕=﹣[ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕]=﹣f〔x〕，所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f〔0〕=0；x=时，f〔〕=ln〔1+〕﹣ln〔1﹣〕=ln3＞1，显然f〔0〕＜f〔〕，函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．点评：此题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．〔5分〕〔2015•湖南〕已知〔﹣〕5的展开式中含x的项的系数为30，则a=〔〕A．B．﹣C．6D．﹣6考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．点评：此题考查二项式定理的应用，此题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．〔5分〕〔2015•湖南〕在如下列图的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分〔曲线C为正态分布N〔0，1〕的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔〕附“假设X﹣N=〔μ，a2〕，则P〔μ﹣σ＜X≤μ+σ〕=0.6826．p〔μ﹣2σ＜X≤μ+2σ〕=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：求出P〔0＜X≤1〕=×0.6826=0.3413，即可得出结论．解答：解：由题意P〔0＜X≤1〕=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．点评：此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8．〔5分〕〔2015•湖南〕已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，假设点P的坐标为〔2，0〕，则||的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．B为〔﹣1，0〕时，|4+|≤7，即可得出结论．解答：解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．所以B为〔﹣1，0〕时，|4+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．点评：此题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．〔5分〕〔2015•湖南〕将函数f〔x〕=sin2x的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=〔〕A．B．C．D．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．解答：解：因为将函数f〔x〕=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g〔x〕在x2=，取得最小值，sin〔2×﹣2φ〕=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g〔x〕在x2=，取得最大值，sin〔2×﹣2φ〕=1，此时φ=，满足题意．故选：D．点评：此题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．〔5分〕〔2015•湖南〕某工件的三视图如下列图．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为〔材料利用率=〕〔〕A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=〔1﹣〕，0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=〔1﹣〕，0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2〔1﹣〕2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断〔0，〕单调递增，〔，2〕单调递减，Ω最大值=2〔1﹣〕2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A点评：此题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每题5分，共25分11．〔5分〕〔2015•湖南〕〔x﹣1〕dx=0．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．解答：解：〔x﹣1〕dx=〔﹣x〕|=0；故答案为：0．点评：此题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．〔5分〕〔2015•湖南〕在一次马拉松比赛中，35名运发动的成绩〔单位：分钟〕的茎叶图如下列图．假设将运发动成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运发动人数是4．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运发动人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运发动应抽取7×=4〔人〕．故答案为：4．点评：此题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．〔5分〕〔2015•湖南〕设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．假设C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F〔c，0〕，P〔m，n〕，〔m＜0〕，设PF的中点为M〔0，b〕，即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．解答：解：设F〔c，0〕，P〔m，n〕，〔m＜0〕，设PF的中点为M〔0，b〕，即有m=﹣c，n=2b，将点〔﹣c，2b〕代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．点评：此题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．〔5分〕〔2015•湖南〕设S n为等比数列{a n}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．解答：解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4〔1+q〕=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．点评：此题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．〔5分〕〔2015•湖南〕已知函数f〔x〕=假设存在实数b，使函数g〔x〕=f 〔x〕﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1}．考点：函数的零点．专题：计算题；创新题型；函数的性质及应用．分析：由g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点可得f〔x〕=b有两个零点，即y=f〔x〕与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围解答：解：∵g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点，∴f〔x〕=b有两个零点，即y=f〔x〕与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f〔x〕的图象如下列图，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f〔x〕在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f〔x〕单调递增，故不符合题意④a=0时，f〔x〕单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f〔x〕的图象如下列图，此时存在b使得，y=f〔x〕与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}点评：此题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．〔6分〕〔2015•湖南〕如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：〔1〕∠MEN+∠NOM=180°〔2〕FE•FN=FM•FO．考点：相似三角形的判定．专题：选作题；推理和证明．分析：〔1〕证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°〔2〕证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．解答：证明：〔1〕∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°〔2〕在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．点评：此题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．〔6分〕〔2015•湖南〕已知直线l：〔t为参数〕．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；〔2〕设点M的直角坐标为〔5，〕，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：〔1〕曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；〔2〕直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．解答：解：〔1〕∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为〔x﹣1〕2+y2=1；〔2〕直线l：〔t为参数〕，普通方程为，〔5，〕在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=〔5﹣1〕2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．点评：此题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．〔2015•湖南〕设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：〔ⅰ〕a+b≥2；〔ⅱ〕a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：〔ⅰ〕由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；〔ⅱ〕运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．解答：证明：〔ⅰ〕由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；〔ⅱ〕假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．点评：此题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．19．〔2015•湖南〕设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值范围．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ〕由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；〔Ⅱ〕由题意可得A∈〔0，〕，可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2〔sinA﹣〕2+，由二次函数区间的最值可得．解答：解：〔Ⅰ〕由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin〔+A〕又B为钝角，∴+A∈〔，π〕，∴B=+A，∴B﹣A=；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知C=π﹣〔A+B〕=π﹣〔A++A〕=﹣2A＞0，∴A∈〔0，〕，∴sinA+sinC=sinA+sin〔﹣2A〕=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2〔sinA﹣〕2+，∵A∈〔0，〕，∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2〔sinA﹣〕2+≤∴sinA+sinC的取值范围为〔，]点评：此题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．〔2015•湖南〕某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，则获一等奖，假设只有1个红球，则获二等奖；假设没有红球，则不获奖．〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：〔1〕记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．〔2〕顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．解答：解：〔1〕记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P〔A1〕=，P〔A2〕=，所以，P〔B1〕=P〔A1〕P〔A2〕==，P〔B2〕=P〔〕+P〔〕=+==，故所求概率为：P〔C〕=P〔B1+B2〕=P〔B1〕+P〔B2〕=．〔2〕顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由〔1〕可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P〔X=0〕==，P〔X=1〕==，P〔X=2〕==，P〔X=3〕==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE〔X〕=3×=．点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．〔2015•湖南〕如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．〔1〕假设P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；〔2〕假设PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：〔1〕首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q〔6，y1，0〕，只需求即可；〔2〕设P〔0，y2，z2〕，根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P〔0，y2，12﹣2y2〕．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q〔6，y2，0〕，设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．解答：解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如下列图空间直角坐标系，则：A〔0，0，0〕，B〔6，0，0〕，D〔0，6，0〕，A1〔0，0，6〕，B1〔3，0，6〕，D1〔0，3，6〕；Q在棱BC上，设Q〔6，y1，0〕，0≤y1≤6；∴〔1〕证明：假设P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；〔2〕设P〔0，y2，z2〕，y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴〔0，y2﹣6，z2〕=λ〔0，﹣3，6〕；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P〔0，y2，12﹣2y2〕；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6〔y1﹣y2〕=0；∴y1=y2；∴Q〔6，y2，0〕；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8〔舍去〕；∴P〔0，4，4〕；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=．点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．〔13分〕〔2015•湖南〕已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1〔a＞b＞0〕的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．〔Ⅰ〕求C2的方程；〔Ⅱ〕过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．〔ⅰ〕假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率；〔ⅱ〕设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔Ⅰ〕根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；〔Ⅱ〕设出点的坐标，〔ⅰ〕根据向量的关系，得到〔x1+x2〕2﹣4x1x2=〔x3+x4〕2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；〔ⅱ〕根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．解答：解：〔Ⅰ〕抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为〔0，1〕，因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为〔±，〕，所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．〔Ⅱ〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，C〔x3，y3〕，A〔x4，y4〕，〔ⅰ〕因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是〔x1+x2〕2﹣4x1x2=〔x3+x4〕2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得〔9+8k2〕x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16〔k2+1〕=+，即16〔k2+1〕=，所以〔9+8k2〕2=16×9，解得k=±．〔ⅱ〕由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1〔x﹣x1〕，即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M〔x1，0〕，所以=〔x1，﹣1〕，而=〔x1，y1﹣1〕，于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．点评：此题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．23．〔13分〕〔2015•湖南〕已知a＞0，函数f〔x〕=e ax sinx〔x∈[0，+∞]〕．记x n为f〔x〕的从小到大的第n〔n∈N*〕个极值点．证明：〔Ⅰ〕数列{f〔x n〕}是等比数列；〔Ⅱ〕假设a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：〔Ⅰ〕求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；〔Ⅱ〕由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a〔nπ﹣φ〕恒成立⇔＜，①设g〔t〕=〔t＞0〕，求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．解答：证明：〔Ⅰ〕f′〔x〕=e ax〔asinx+cosx〕=•e ax sin〔x+φ〕，tanφ=，0＜φ＜，令f′〔x〕=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，假设〔2k+1〕π＜x+φ＜〔2k+2〕π，即〔2k+1〕π﹣φ＜x＜〔2k+2〕π﹣φ，则f′〔x〕＜0，因此在〔〔m﹣1〕π，mπ﹣φ〕和〔mπ﹣φ，mπ〕上f′〔x〕符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f〔x〕取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f〔x n〕=e a〔nπ﹣φ〕sin〔nπ﹣φ〕=〔﹣1〕n+1e a〔nπ﹣φ〕sinφ，易知f〔x n〕≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f〔x n〕}是首项为f〔x1〕=e a〔π﹣φ〕sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；〔Ⅱ〕由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a〔nπ﹣φ〕恒成立⇔＜，①设g〔t〕=〔t＞0〕，g′〔t〕=，当0＜t＜1时，g′〔t〕＜0，g〔t〕递减，当t＞1时，g′〔t〕＞0，g〔t〕递增．t=1时，g〔t〕取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g〔1〕=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g〔ax n〕＞g〔1〕=e=，故①亦恒成立．综上可得，假设a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．点评：此题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．2015年湖南省高考数学试卷〔理科〕一、选择题，共10小题，每题5分，共50分1．〔5分〕〔2015•湖南〕已知=1+i〔i为虚数单位〕，则复数z=〔〕A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．〔5分〕〔2015•湖南〕设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．〔5分〕〔2015•湖南〕执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=〔〕A．B．C．D．4．〔5分〕〔2015•湖南〕假设变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为〔〕A．﹣7 B．﹣1 C．1D．25．〔5分〕〔2015•湖南〕设函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，则f〔x〕是〔〕A．奇函数，且在〔0，1〕上是增函数 B．奇函数，且在〔0，1〕上是减函数C．偶函数，且在〔0，1〕上是增函数 D．偶函数，且在〔0，1〕上是减函数6．〔5分〕〔2015•湖南〕已知〔﹣〕5的展开式中含x的项的系数为30，则a=〔〕A．B．﹣C．6D．﹣67．〔5分〕〔2015•湖南〕在如下列图的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分〔曲线C为正态分布N〔0，1〕的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔〕附“假设X﹣N=〔μ，a2〕，则P〔μ﹣σ＜X≤μ+σ〕=0.6826．p〔μ﹣2σ＜X≤μ+2σ〕=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．〔5分〕〔2015•湖南〕已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，假设点P的坐标为〔2，0〕，则||的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．99．〔5分〕〔2015•湖南〕将函数f〔x〕=sin2x的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕〔2015•湖南〕某工件的三视图如下列图．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为〔材料利用率=〕〔〕A．B．C．D．二、填空题，共5小题，每题5分，共25分11．〔5分〕〔2015•湖南〕〔x﹣1〕dx=．12．〔5分〕〔2015•湖南〕在一次马拉松比赛中，35名运发动的成绩〔单位：分钟〕的茎叶图如下列图．假设将运发动成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运发动人数是．13．〔5分〕〔2015•湖南〕设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．假设C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．〔5分〕〔2015•湖南〕设S n为等比数列{a n}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．〔5分〕〔2015•湖南〕已知函数f〔x〕=假设存在实数b，使函数g〔x〕=f 〔x〕﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．〔6分〕〔2015•湖南〕如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：〔1〕∠MEN+∠NOM=180°〔2〕FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．〔6分〕〔2015•湖南〕已知直线l：〔t为参数〕．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；〔2〕设点M的直角坐标为〔5，〕，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．〔2015•湖南〕设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：〔ⅰ〕a+b≥2；〔ⅱ〕a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．〔2015•湖南〕设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值范围．20．〔2015•湖南〕某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，则获一等奖，假设只有1个红球，则获二等奖；假设没有红球，则不获奖．〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．〔2015•湖南〕如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．〔1〕假设P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；〔2〕假设PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．〔13分〕〔2015•湖南〕已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1〔a＞b＞0〕的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．〔Ⅰ〕求C2的方程；〔Ⅱ〕过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．〔ⅰ〕假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率；〔ⅱ〕设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．〔13分〕〔2015•湖南〕已知a＞0，函数f〔x〕=e ax sinx〔x∈[0，+∞]〕．记x n为f〔x〕的从小到大的第n〔n∈N*〕个极值点．证明：〔Ⅰ〕数列{f〔x n〕}是等比数列；〔Ⅱ〕假设a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．。
2015年高考理科数学(新课标全国卷1)(含解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|= （ ）A ．1BCD ．2 2．sin 20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A．BC ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2nn n ∀∈N 2，＞ B ．2nn n ∃∈N 2，≤ C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212 xC y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A．( B．( C．( D．( 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3[)21,e -B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数()=(ln f x x x 为偶函数，则a =________.14．一个圆经过椭圆22=1164x y +的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i ωω=8i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c =＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.1sin20cos10cos20sin10sin302+==，故选10<数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）2exy，AB 的取值范围是(62,62)-+．11111111=235572123n b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=AC FG G=，⊥平面AFC⊂平面AEC3数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）60（Ⅰ）连接AE 90， 90，90，∴DE 是圆1AE =，CE BE ，212x -，解得∴60ACB ∠=．90，可得1sin45=2．数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g （x ）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f （x ）＞0⇔x•g （x ）＞0⇔或，⇔0＜x ＜1或x ＜﹣1． 故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行， ∴λ+=t （+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z=x +y 的最大值为 ．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由得D （1，），所以z=x +y 的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n =﹣．【考点】8H ：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】通过S n+1﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n+1=S n+1S n，∴S n+1﹣S n=S n+1S n，∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．祝福语祝你考试成功!。
2015年高考全国新课标1卷理科数学试题(含答案)
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（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ，则
（ A）
=
+
(B)
=
（C）
=
+
(D)
=
【解析】本题考查平面向量，画出图形，
1 1 1 4 AD AC CD AC BC AC ( AC AB) AB AC 3 3 3 3
y y 可以看做是与原点连线的斜率，因此如果 最大值，也就是求斜率的最大值，通过图形观察可知在(1,3) x x
处有最大值是 3，因此
x 的最大值是 3. y
（16）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是
【解析】如下图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则可知
1 1 1 1 1 Tn ( 2 3 5 5 7
（18）如图， ，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平 面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值
（3）设命题 P： n N， n 2 > 2 n ，则 P 为 （A） n N, n 2 > 2 n （C） n N, n 2 ≤ 2 n （B） n N, n 2 ≤ 2 n （D） n N, n 2 = 2 n
【解析】本题考查命题的否定，条件和结论都需要否定，因此选择 C.
在 RtEBG 中，可得 BE = 2 故 DF =
2 2
在 RtFDG 中，可得 FG =
6 2 3 2 2
2015年湖南省高考数学试卷(理科)及答案
2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣6【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=0．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b 有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（ⅰ）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（ⅱ）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．。
2015年高考数学(四川卷,解析版)
（B）120 个
（C）96 个
（D）72 个
综上所述：总共有 72+48=120 种,选 B。 7.设四边形 ABCD 为平行四边形， AB 6 ， AD 4 .若点 M，N 满足 BM 3MC ， DN 2 NC ，则
(D) y sin x cos x
2
) sin 2 x ，为关于原点对称，且最小正周期是π，符合题
y2 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则 AB 3
（B） 2 3 （C）6 （D） 4 3
（A）
4 3 3
【答案】D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为 y 3 x ，且右焦点 (2, 0) ，则直线 x 2 与两条渐近线的交 点分别为 A (2, 2 3) ， B (2, 2 3) ，∴ | AB | 4 3 ,选 D. 6.用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有 （A）144 个 【答案】B 【解析】这里大于 40000 的数可以分两类：
2 5
Q
M
P
【解析】以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AQ 为 z 轴建立空间直角坐标系， 并设正方形边长为 2 ，则 A 0, 0, 0 ， F 2,1, 0 ， E 1,0,0 ，
M 0, m, 2 ，∴ AF 2,1,0 ， EM 1, m, 2
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．CD．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2015高考理科数学新课标全国2答案及解析
（5）C
解析：当 x=-2 时
f(x)=1+log2(2 − ������) = 1 + log2 4 = 1 + 2 = 3
当 x=log2 12 时 f(x)=2������−1=2log2 12−1=2log2 6=6
（6）D
f(-2)+ f(log2 12)=3+6=9
解析：
截去部分为三棱锥 B-AC������1 截去部分体积为正方体体积减去三棱锥体积
传播正能量 启迪大智慧 2015 高考理科数学新课标全国Ⅱ卷
选择题部分答案
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
（1）A
解析：B=｛x|（x -1）（x+2）＜0｝解得 B=｛x|-2＜x＜1｝含有整数-1,0；
所以 A∩B=｛--1,0｝
（2）B
解析：（2+ai）（a-2i）= 2a+（������2 − 4）i-2a������2=2a+（������2 − 4）i+2a=4a+（������2 − 4）i=-4i,
=
1 2
解析：λa+b=������(������
+
������������)则������
=
λ，2������
=
������，所以λ
=
1 2
（14）32
解析：三个交点为（-2，-1），（1，12），（0，1）最大值必在交点取得，代入32最大. （15）3
解析：a 与奇数项相乘 8a，x 与偶数项相乘系数为 8,8a+8=32，则 a=3
{ 1 }为首相为-1，公差为-1
������������
的等差数列 1
2015年广东高考数学试卷真题含答案(文科+理科)
） D．
Hale Waihona Puke 2、若复数 z i 3 2i （ i 是虚数单位） ，则 z （ A． 2 3i B． 2 3i
3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） 1 1 A． y 1 x 2 B． y x C． y 2 x x D． y x e x x 2 4、 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球， 其中有 10 个白球，5 个红球． 从袋中任取 2 个球， 所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为（ 5 10 A． B． 21 21 ） C．
18.（本小题满分 14 分） 如图 2， 三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD
PC 4,AB 6, BC 3 ，
点 E 是 CD 的中点，点 F、G 分别在线段 AB、BC 上，且 AF 2FB ,CG 2GB . (1) 证明： PE FG ； (2) 求二面角 P AD C 的正切值； (3) 求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.
19. （本小题满分 14 分） 设 a 1 ，函数 f (x ) (1 (1) 求 f (x )的单调区间； (2) 证明 f (x )在(, )上仅有一个零点； (3) 若曲线 y f (x )在点 P 处的切线与 x 轴平行， 且在点 M（m,n） 处的切线与直线 OP 平行， （O 是坐标原 点） ，证明： m
x 2) ex a
3
a
2
e
1.
3
20. （本小题满分 14 分） 已知过原点的动直线 l 与圆 C 1 : (1) 求圆 C 1 的圆心坐标； (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； (3) 是否存在实数 k,使得直线 l : y k(x 4)与曲线 C 只有一个交点？若存在， 求出 k 的取值范围； 若 不存在，说明理由.
2015年四川高考数学试卷试卷及参考答案(理科)word版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB （ ）A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3} 2.设i 是虚数单位，则复数32i i- =（ ） A.3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（ ） A.32 B.3212D.124.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+C. sin 2cos 2y x x =+ D sin cos y x x =+5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）（Ａ） （B ） （C ）6 （D ）6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则.AM NM =（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81210.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．22．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3125．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．6011．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．812．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．2．（5分）（2015•新课标Ⅰ）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．3．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．4．（5分）（2015•新课标Ⅰ）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．5．（5分）（2015•新课标Ⅰ）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．6．（5分）（2015•新课标Ⅰ）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．7．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．8．（5分）（2015•新课标Ⅰ）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos （πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．9．（5分）（2015•新课标Ⅰ）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C10．（5分）（2015•新课标Ⅰ）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．=，【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．11．（5分）（2015•新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．12．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g （x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）（2015•新课标Ⅰ）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a= 1．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．14．（5分）（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．15．（5分）（2015•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．16．（5分）（2015•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．方法二：如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（﹣，+）．三、解答题：17．（12分）（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．18．（12分）（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE 丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．19．（12分）（2015•新课标Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．20．（12分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．21．（12分）（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f （x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅰ）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC 交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．选修4一5：不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f （x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如下图（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．ad＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 14．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），应选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如下图（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．应选：C．点评：此题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．ad＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 1考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．3解答：解：设等差数列{a}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，n由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．应选：B．点评：此题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，应选：D．点评：此题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如下图，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，应选：A点评：此题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决此题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card （B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，应选：A点评：此题考查了，元素和集合的关系，以与逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意此题对充要条件的考查．集合的元素个数，表达两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|考点：函数解析式的求解与常用方法．专题：函数的性质与应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．应选：D．点评：此题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α考点：二面角的平面角与求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，应选：B．点评：此题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是 2 ，渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：此题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= 0 ，f（x）的最小值是．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质与应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．点评：此题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性与其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：此题考查三角函数的化简，涉与三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质与应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log3，可知4a=3，4即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：此题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．考点：异面直线与其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：此题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以与计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 3 ．考点：函数的最值与其几何意义．专题：不等式的解法与应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点评：此题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= 1 ，y0= 2 ，|= 2 ．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量与应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：此题考查空间向量的数量积，涉与向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：此题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角与求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA所在直线分别为x、y、z轴建系，通1过•=•=0与线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA所在直线分别为x、y、1z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：此题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质与应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以与三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以与分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：此题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答此题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以与利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式与其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：此题考查了椭圆的定义标准方程与其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；n（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a≤（n∈N*），n又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：此题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决此题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年湖南省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）B4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）B7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣ς＜X≤μ+ς）=0.6826．p（μ﹣2ς＜X≤μ+2ς）=0.9544．8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=B10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）B二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）已知=3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）BS=S=S==4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）作出可行域如图，，解得．由解得，由时，））﹣﹣）6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）B的指数为=的项的系数为∴，并且7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣ς＜X≤μ+ς）=0.6826．p（μ﹣2ς＜X≤μ+2ς）=0.9544．××8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）||=|2|=|4+|||+|=|4+|||9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=B＜，==×﹣，不合题意，，，即=×﹣=10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）B（）V==n=﹣==）单调递增，，×，=×=二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=0．（（|=012．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．×=413．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．﹣=．故答案为：14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1}．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．∴=选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．：）在直选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．+=，19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．），化简可得），由二次函数区间的最值可得．==，+A为钝角，∴，+A A=A+=）﹣），）由二次函数可知）≤的取值范围为（，20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．，B，+=，（（+=．的概率为：所以．= ==．×．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．只需求从而由便知道与平面法向量为，根据即可表示，从而由∴∴∴；∴，∴∴的一个法向量为；∴，则：∴，则的一个法向量为的余弦值为∴=22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．2=1，±，）=1的方程为=1）因为与=，+，±= x xxx=x=•=x23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．＜⇔，①=（=，＜，而⇔，①（＞=，＜，＜＞≠=e=≥参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；qiss；吕静；刘长柏；sdpyqzh；changq；742048；双曲线；lincy；wkl197822；whgcn（排名不分先后）菁优网2015年7月10日。
2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 2．（5分）若a 为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（5分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5 分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．（5 分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5 分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y 轴于M，N 两点，则|MN|=（）A．2B．8 C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b 分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．149．（5 分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5 分）已知A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5 分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0 时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0 成立的x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5 分）若x，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为．15．（5 分）（a+x）（1+x）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ．16．（5 分）设数列{a n}的前n 项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5 小题，满分60 分）17．（12 分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的2 倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD 和AC 的长．18．（12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70 分70 分到89 分不低于90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．19．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，过点E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．20．（12 分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点（，m），延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21．（12 分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m 的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF 的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1：（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2 与C3 交点的直角坐标；（2）若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5 分）若a 为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B 从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误．【解答】解：A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多，从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5 分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7= =3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5 分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）= ，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）= =2 ×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5 分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y 轴于M，N 两点，则|MN|=（）A．2B．8 C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b 分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b 的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b 变为18﹣14=4，由a＞b，则a 变为14﹣4=10，由a＞b，则a 变为10﹣4=6，由a＞b，则a 变为6﹣4=2，由a＜b，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC=V C ﹣AOB===36，故R=6，则球O 的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大是关键．10．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P 在CD 边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2 ，当P 在AD 边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5 分）已知A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M 在双曲线﹣=1 的左支上，由题意可得M 的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M 在双曲线﹣=1 的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M 的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，-=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M 的坐标是解题的关键．12．（5 分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0 时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0 成立的x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0 时总有xf（′x）﹣f（x）＜0 成立，可判断函数g（x）= 为减函数，由已知f（x）是定义在R 上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0 等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0 时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0 时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0 时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1 或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）= ，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5 分）若x，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y 的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5 分）（a+x）（1+x）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x 分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2 得到答案．【解答】解：设 f （x ）=（a +x ）（1+x ）4=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5，令 x=1，则 a 0+a 1+a 2+…+a 5=f （1）=16（a +1），① 令 x=﹣1，则 a 0﹣a 1+a 2﹣…﹣a 5=f （﹣1）=0．② ①﹣②得，2（a 1+a 3+a 5）=16（a +1），所以 2×32=16（a +1）， 所以 a=3． 故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5 分）设数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且a1=﹣1，a【考点】8H ：数列递推式． 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】通过 S n +1﹣S n =a n +1 可知 S n +1﹣S n =S n +1S n ，两边同时除以 S n +1S n 可知﹣ =1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1 的等差数列，计算即得结论． 【解答】解：∵a n +1=S n +1S n ， ∴S n +1﹣S n =S n +1S n ， ∴﹣=1， 又∵a 1=﹣1，即=﹣1， ∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1 的等差数列， ∴=﹣n ， ∴S n =﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5 小题，满分60 分）17．（12 分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的2 倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD 和AC 的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A 作AE⊥BC 于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC 及正弦定理可得sin ∠B= ，sin ∠ C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D 作DM⊥AB 于M，作DN⊥AC 于N，由AD 平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长．【解答】解：（1）如图，过A 作AE⊥BC 于E，∵= =2∴BD=2DC，∵AD 平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD 中，=，∴sin∠B=在△ADC 中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D 作DM⊥AB 于M，作DN⊥AC 于N，∵AD 平分∠BAC，∴DM=DN，∴= =2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD 的长为，AC 的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70 分70 分到89 分不低于90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意评分的平均值高于B 地区用户满意评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1 表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2 表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1 表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2 表示事件“B 地区用户满意度等级为满意”，则C A1 与C B1 独立，C A2 与C B2 独立，C B1 与C B2 互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，过点E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1 为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F 几点的坐标．设平面EFGH 的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF 与平面EFGH 所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH 如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1 所在直线为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH 的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF 与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12 分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点（，m），延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M），将y=kx+b 代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2= ，则x M== ，y M=kx M+b=，于是直线OM 的斜率k OM== ，即k OM•k=﹣9，∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM 的方程为y= x，设P 的横坐标为x P，由得，即x P= ，将点（，m）的坐标代入l 的方程得b=，即l 的方程为y=kx+，将y= x，代入y=kx+，得kx+= x解得x M=，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l 的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB 能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12 分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m 的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0 说明函数为增函数，利用f′（x）≤0 说明函数为减函数．注意参数m 的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0 处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1 的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0 时，g′（t）＜0；当t＞0 时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1 时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1 时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m 的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF 的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD 是∠CAB 的角平分线及圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD 是∠CAB 的角平分线，又∵圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD 是EF 的垂直平分线，又∵EF 为圆O 的弦，∴O 在AD 上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG 等于圆O 的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN= ，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF 的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1：（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2 与C3 交点的直角坐标；（2）若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3 交点的直角坐标．（2）由曲线C1 的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠ 0），利用|AB|= 即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2 与C3 交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t 为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B 都在C1 上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|= =4 ，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。