《高等数学》(上)一元函数微分学复习题

《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题

1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '.

2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim

x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim

2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy .

5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则

dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''.

7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2

1(的切线方程. 8.设函数⎩⎨⎧≥+<=0

),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数⎩

⎨⎧>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线⎩⎨⎧==t

y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy .

12.设函数x

x x y ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12

2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求()

1,1dx dy . 16.求椭圆442

2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2

3bx ax y +=的拐点，求b a ,.

18.设函数1412)(23+-+=x bx ax x f 具有二阶导数)0(≠a 且)2120,21(-

是)(x f 拐点，求b a ,.

19.当1±=x 时，函数133++=px x y 取得极值，求

p .

20.求抛物线342+-=x x y 在顶点处的曲率半径. 21.证明：当0>x 时，x x +>+12

11. 22.证明，当1>x 时，ex e x >.

23.证明不等式：当20π

<

<. 24.证明：当0>>b a ，1>n 时，)()(11b a na b a b a nb

n n n n -<-<---. 25.证明：当0>x 时，有x x x

x <<+arctan 12. 26.证明不等式：当0>x 时，x x x arctan )1ln()1(>++.

27.汽车连同载重共5吨，在抛物线拱形桥上行驶，速度为h km /6.21，桥的跨度为m 10，拱的高度为m 25.0，求汽车越过桥顶时对桥的压力？

28.甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸km 40的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距km 50，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米a 3元和a 5元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？

29.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002

cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？

30.一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定位1000元时，公寓会全部租出，

当月租金

每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需要花费100元维修费，试问房租定位多少可获得最大收入？最大收入是多少？

31.要建一个容积为14，侧面为圆柱面，顶部接着一个半球形的仓库（不含底部）。已知顶部单位面积的造价是其侧面圆柱面部分造价的3倍，试求该仓库的底圆半径，使得仓库造价最省。

5m，问底宽x为多少时，才能使32.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面面积为2

截面周长最小，从而使建造材料最省？

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