4、高级实验设计—回归的旋转设计(Regressional Rotary Design)

2 i 2 j
x
i，j =1，2„P；
待定参数
以上为 P 元二次回归旋转设计的旋转性条件。
此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信
息矩阵 A 不退化，为此，必须有不等式：
4 p 2 2 P 2
上式为 P 元二次回归的非退化条件。 已证明，只要使 N 个试验点不在同一个球面上， 就能满足非退化条件。或者说只要使 N 个试验点至少 分布于两个半径不等的球面上，就有可能获得旋转设
P 2 2 ˆ D y P 2 4 PN
4 1 2 P 1 4 P 1 4 1 2 2 4 P 2 4 4
（4.11） 由式（4.11）经研究表明，只有采用恰当的方法 确定 4 ，才能满足通用性的要求。如何确定 4 ？对 4 有什么要求呢？总的来说，它必须使上式中 i处的
ˆ 的 二次旋转组合设计具有同一球面预测值 y
方差相等的优点，但回归统计数的计算较繁琐，
若使它获得正交性就能简化计算手续。
在二次旋转组合计划中，一次项和交互项的 回归系数 bj ，bij 仍保持正交，但 b0 与 bjj 之间，
以及 bii 与 bjj 之间都存在相关，即不具正交性，
它们之间的相关矩分别为：
计方案。
为了获得 P 元二次旋转设计方案，就要求既要
满足非退化条件式，又要满足旋转性条件式。
如何才能满足这两方面的条件呢？这主要借助
于组合设计来实现，因为组合设计中 N 个试验点：
N mc m m0
分布在三个半径不相等的球面上：
mc 个点分布在半径为 P 的球面上； c m 个点分布在半径为 的球面上； m0 个点分布在半径为 0 0 的球面上；
第二节 二次正交旋转组合设计及其统计分析
一、二次正交旋转组合设计的一般方法
设某试验需研究 P 个因素，分别以 Z1, Z2 , …
ZP 表示，在进行设计时，首先拟定每个因素的上下
水平，上水平以 Z2j 表示，下水平以 Z1j 表示（j = 1, 2, …P），再由每个元素的上下水平计算零水平和变 化间距。
二、二次旋转组合设计的通用性
所谓“通用性”，就是试验计划除了仍保持 其旋转性之外，还具有各试验点与中心点的距离 在因子空间编码值 0 ～ 1 的范围内，其预测值
的方差基本相等的性质，即同时具有旋转性与通
用性，这种设计称为通用旋转组合设计。
如何才能满足其通用性呢？我们首先从预测值 y ˆ 的 方差出发讨论：
-1
Z 01 Z 01 1 Z 11
Z2 Z 22 Z 02 2 Z 02 Z 02 2

Z 12

ZP Z 2P Z 0 P P Z 0P Z 0 P P Z 1P
值与 0 处的值相差的平方和为最小。
即:
Q4 f 4 f 1 4 f 2 4
2 0 n i 1 2 i

4 i
最小
2
（4.12） 式中：
P2 f 0 4 P 24 PN 4
P 14 P 1 f 2 4 2 2 4 P 2
变换，以实现其编码。
X j (Z j Z 0 j ) j
（4.15）
这样，就将有量纲的自变量 Zj (j=1,2,…P) 变成 无量纲的规范变量 Xj (j =1, 2,…P) ，则可编制如下的 因素水平编码值表。
表4-3 因素水平编码值表
X

+1 0
Z1 Z 21 Z 01 1
4
P
解此方程，即可建立全实施时 即：

值的计算式，
2P / 4
当
当 当
mc 2 mc 2 mc 2
P （ 1 1/2实施） P 2
2
( P 1) / 4 ( P 2) / 4
（1/4实施） （1/8实施）
2
P 3
2
( P 3) / 4
一、正交性的获得
α的含义：试验点从第1个到第N个
信息矩阵A中的所有元素，可以用以下形式表示：
x
a1 a2 1 2
x
上式中 x 指数a1、a2 可分别取0、1、2、3、4 等数，但它们的和不超过 4 ，即
0 a1 a2 4
信息矩阵A中的元素可以分成两类：
第一类元素，它们的所有指数 a1、a2中至少 有一个为奇数；
x 2
x1x 2
2 x 1x 2 2 x x 1 2 2 2 x 1x 2
2 x 1 2 x 1x 2 3 x 1x 2 4 x 1 3 x 1
2 x 2 2 x1x 2 3 x 2 3 x x 1 2 2 2 x1x 2 4 x 2
某因素的零水平以 Z0j 表示，其计算式为：
Z 0 j Z 2 j Z 1 j 2
（4.13）
某因素的变化间距以 j 表示，其计算式为：
j Z 2 j Z 0 j
（4.14）
式中 γ 为待定参数，其值可以从表4-1中查出。
对每个因素 Zj 各水平的取值进行如下的线性
x
a
2 2 i j
x mc
均不等于零，完全符合旋转性条件的要求， 为了获得旋转设计方案，还必须根据旋转性条 件确定

值，事实上只要使：
事实上只要使：
x
P
4 j
3 x x
2 2 i j
求出

就可以了。在组合设计下，当
mc 2 P
（全实施），则上式变为：
2 2 3 2
m0 N mc m
计算出不同 P 值的 m0，上述计算结果列于下表:
表4-2 二次通用旋转组合设计参数表
P
2 3 4 5（1/2实施） 6（1/2实施） 7（1/2实施） 8（1/2实施） 8（1/4实施） 4 8 16 16 32 64 128 64
mc m
4 6 8 10 12 14 16 16
2 2 Y 0 1 X 1 2 X 2 12 X 1 X 2 11 X X 1 22 2 2 ˆ b0 b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 b11x12 b22 x2 y
它的结构矩阵为：
1 x11 1 x21 X 1 x N1

1.414 1.682 2.000 2.000 2.378 2.828 3.364 3.828
0.81 0.86 0.86 0.89 0.90 0.92 0.93 0.93
4
N 13 20 31 32 53 92 165 93
m0
5 6 7 6 9 14 21 13
从上述讨论结果看出，为了满足通用性要求， 主要在于确定出适当的 m0 ,因此，只要在中心点安 排如上表所列的 m0 次试验，即可使二次旋转组合 设计获得通用性。
x12 x22 xN 2
x11x12 x21x22 xN 1 xN 2
x x
2 11 2 21

2 xN 1
x x 2 xN 2
2 12 2 22
A X X 1 x11 x 12 X x11x12 x2 11 x2 12
cov(b0 , b jj ) 224t 2 / N cov(bii , b jj ) ( 4 )t / N
2 2 2
要使二次回归旋转组合设计获得正交性，就 需消除相关性，消除 b0 与 bjj 之间的相关性，只
需对平方项施行中心化变换，即
1 2 j X j X N
使二次旋转组合设计具有一定正交性。
表4-1 二次正交旋转组合设计参数表
P
2（全实施） 3（全实施） 4（全实施） 4（1/2实施） 5（全实施） 5（1/2实施） 6（1/2实施） 6（1/4实施） 7（1/2实施） 7（1/4实施） 8（1/2实施） 8（1/4实施） 8（1/8实施） 4 8 16 8 32 16 32 16 64 32 128 64 32
mc
m
4 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 16
m0
8 9 12 7 17 10 15 8 22 13 33 20 11
N 16 23 36 23 59 36 59 36 100 59 177 100 59

1.414 1.682 2.000 1.682 2.378 2.000 2.378 2.000 2.828 2.378 3.364 2.828 2.374
第四章
回归的正交设计
回归的旋转设计
优点：试验处理比较少，计算简便， 消除了回归系数之间的相关性。
缺点：即二次回归预测值 y ˆ 的方差， 随试验点在因子空间的位置不同而呈现较 大的差异，由于误差的干扰，就不容易根 据预测值寻找最优区域。 回归的旋转设计是为了克服上述缺点而提出的。
第一节 旋转设计的基本原理 Rotary design
因此，采用组合设计选取的试验点， 完全能够满足非退化条件。 此外，采用组合设计，其信息矩阵
A 的元素中：
2 2 x x x x j i j i xj 0 a


这就满足旋转性条件式，而它的偶次方元素：
2 2 x m 2 i c 4 4 x m 2 i c a a
2 X j i 1
N
平方项之间相关性的消除，需使
cov(bii , b jj ) ( 4 )t / N 式中
2 2 2
4 2 2
或者 / 2 1 就会使 4 2
cov( bii , b jj ) 0
即消除了相关性
如何才能满足 4 / 2 呢？在组合设计中它的值： 2 1
第二类元素，它们的所有指数 a1 、 a2 都是偶 数或者为零。 在 P 元二次回归设计中，为了满足其旋转性， 对上述两类元素有如下不同的要求：
对第一类元素的要求：
x
a
a1 a2 1求：
x
a a
2 j 4 j
2 N 3 x 34 N
Rotary
所谓旋转性，是指所设计的试验方案（试验
计划），能够使得与中心点距离相等的点上，预
测值 y ˆ 的方差相等，具有这种性质的设计称为旋 转设计。 如何才能使试验计划具有旋转性呢？需要弄
清楚旋转性对试验设计有什么要求，以及获得旋
转性必须满足哪些基本条件。
以二元二次回归方程为例
在二个变量情况下，二次回归模型为：
1 x21 x22 x21x22 2 x21 2 x22

1 x11 1 x21 X 1 x N1
xN 1 xN 2 xN 1 xN 2 2 xN 1 2 xN 2 x12 x11x12 1
x22 xN 2
x21x22 xN 1 xN 2
2 x11 2 x21
x
2 N1
2 x12 2 x22 2 xN 2
对应的信息矩阵 A 为：
N x 1 2 x 1 A X X 对称部分
x1x 2
2 x 2
4 mc P 2 4 N 2 2 2 2 (mc 2 ) P 2
对于P 个因素的二次旋转组合设计中的 P、mc、 都是固定的，只有适当调整 N ，才能 4 / 2 ， 2 1 而试验处理数：
N mc m m0 由于 mc ， m 固定，只有适当地选取 m0，才能
4 1 f 1 4 4
于是，可对不同的 P，计算满足式（4.12）的 λ4 ， λ4 确定后，可由关系式
2 2
m c 2 P 2 N
4 P 2 mc
4
计算出不同 P 的 处理数 N ，当计算结果不是整数 时， N 可取其最靠近的整数。然后由