【VIP专享】第5.1节 大数定律——概率论与数理统计(李长青版)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数 , 则
X ~ B( n, 0.75)
E(X ) 0.75 n, D(X ) 0.1875 n
问题
要使
P 0.74
X n
0.76 0.90
，求 n
即 P0.74n X 0.76n 0.90
即 P| X 0.75n | 0.01n 0.90
具有数学期望 E(X k) = , k = 1, 2, …, 则对任意正 数 >0,有
1
lim P{ n n
n
Xk
k 1
} 1
D(X )
(3 )2
1 9
0.11
在前一章中已经指出：
P{ X 3} 0.9974
故有
P{ X 3} 0.0026
比较上述结果！
例1 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才能在 n 次独立重 复试验中, 事件 A 出现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率 大于 0.90?
lim
P
n
nA n
p
1.
证 显然，nA 是随机变量，将其记为 X ，则 X : b(n, p),
且 EX np, DX np(1 p). 对随机变量 X n使用切比雪夫不等式， 0, 有
P
X n
E
X n
D
X n
2
.
又
E
X n
np n
p,
D
X n
1 n2
DX
np(1 P) n2
意给定 n > 1, X1, X2,L , Xn 相互独立) 且具有相同
的数学期望和方差: E(Xk ) , D(Xk ) 2, k 1, 2,L
则 0 有
或
lim P n
1 n
n k 1
Xk
0
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1
定理的意义
具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平 均值依概率收敛于数学期望. 当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
数
算
学
术
期 可被 均 近似代替
望
值
例2 设 X1, X2,L , Xn , …为独立同分布的随机变量
序列, 均服从参数为λ 的泊松分布, 因为
EXi , DXi (i 1, 2,L ),
从而满足定理3的条件, 由定理知
1
lim
n
P
n
n i 1
Xi
1
定理 4 (辛钦大数定律) 设 X1, X 2, , X n, 相互独立，服从同一分布，且
lim P{
n
Xn
a
} 1,
(*)
则称 { Xn } 依概率收敛于 a , 记作
X n p a
（*）式也可代之以其等价形式
lim
n
P{
X
n
a
}
0.
定理2 （贝努利大数定律） 设 nA 是 n 次独立重复试 验中事件 A 出现的次数， p 是事件 A 在每次试验中发生
的概率，则对于任意给定的正数 0, 有
在概率的统计定义中,事件A 发生的频率 nA n “ 稳定
于”事件A 在一次试验中发生的概率是指：
频率 nA
n
与
p
有较Leabharlann Baidu偏差
nA p
n
是小概率事件,
因而在 n 足够大时, 可以用频率近似代替 p . 这种稳定
称为依概率稳定.
定理3 Chebyshev 大数定律
设随机变量序列 X1, X2,L , Xn,L 相互独立,(指任
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
P|
X
0.75n
|
0.01n
1
0.1875n (0.01n)2
令
1
0.1875n (0.01n)2
0.90
由此解得 n 18750
即至少要进行18750次试验才能达到要求.
二、大数定律
定义 设 {Xn} 为一随机变量序列，a 为一常数，若对
任意的 0, 有
f (x), 则有
P{ X } f (x)dx
x
x
x
2
f
(x)dx
1 (x )2 f (x)dx
2
2
.
2
切比雪夫不等式示意图
f (x)
≥1
2 2
O
x
≤ 2 2
若随机量 X 服从正态分布：X : N(, 2 ), 则由切比
雪夫不等式可得：
P{ X
3}
p(1 n
p),
由此得
P
X n
E
X n
p(1 p) .
n 2
令 n , 注意到概率的非负性，有
lim P n
X n
E
X n
0,
即
lim P n
nA n
p
0.
这说明 nA p p. n
这也是前面所提到的频率稳定性的一个数学表示.
贝努里(Bernoulli)大数定律的意义
第一节 大数定律
一、切比雪夫不等式
定理1 设有随机变量 X ，E(X ) , D(X ) 2,
则对任一实数 0, 恒有
P{ X
}
2 2
.
或者写成等价的形式：
P{ X } 1 2 . 2
证 以连续型随机变量的情形为例，在离散的情形只
需把下面的求积分变换为求和即可. 设 X 的密度函数为
X ~ B( n, 0.75)
E(X ) 0.75 n, D(X ) 0.1875 n
问题
要使
P 0.74
X n
0.76 0.90
，求 n
即 P0.74n X 0.76n 0.90
即 P| X 0.75n | 0.01n 0.90
具有数学期望 E(X k) = , k = 1, 2, …, 则对任意正 数 >0,有
1
lim P{ n n
n
Xk
k 1
} 1
D(X )
(3 )2
1 9
0.11
在前一章中已经指出：
P{ X 3} 0.9974
故有
P{ X 3} 0.0026
比较上述结果！
例1 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才能在 n 次独立重 复试验中, 事件 A 出现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率 大于 0.90?
lim
P
n
nA n
p
1.
证 显然，nA 是随机变量，将其记为 X ，则 X : b(n, p),
且 EX np, DX np(1 p). 对随机变量 X n使用切比雪夫不等式， 0, 有
P
X n
E
X n
D
X n
2
.
又
E
X n
np n
p,
D
X n
1 n2
DX
np(1 P) n2
意给定 n > 1, X1, X2,L , Xn 相互独立) 且具有相同
的数学期望和方差: E(Xk ) , D(Xk ) 2, k 1, 2,L
则 0 有
或
lim P n
1 n
n k 1
Xk
0
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1
定理的意义
具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平 均值依概率收敛于数学期望. 当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
数
算
学
术
期 可被 均 近似代替
望
值
例2 设 X1, X2,L , Xn , …为独立同分布的随机变量
序列, 均服从参数为λ 的泊松分布, 因为
EXi , DXi (i 1, 2,L ),
从而满足定理3的条件, 由定理知
1
lim
n
P
n
n i 1
Xi
1
定理 4 (辛钦大数定律) 设 X1, X 2, , X n, 相互独立，服从同一分布，且
lim P{
n
Xn
a
} 1,
(*)
则称 { Xn } 依概率收敛于 a , 记作
X n p a
（*）式也可代之以其等价形式
lim
n
P{
X
n
a
}
0.
定理2 （贝努利大数定律） 设 nA 是 n 次独立重复试 验中事件 A 出现的次数， p 是事件 A 在每次试验中发生
的概率，则对于任意给定的正数 0, 有
在概率的统计定义中,事件A 发生的频率 nA n “ 稳定
于”事件A 在一次试验中发生的概率是指：
频率 nA
n
与
p
有较Leabharlann Baidu偏差
nA p
n
是小概率事件,
因而在 n 足够大时, 可以用频率近似代替 p . 这种稳定
称为依概率稳定.
定理3 Chebyshev 大数定律
设随机变量序列 X1, X2,L , Xn,L 相互独立,(指任
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
P|
X
0.75n
|
0.01n
1
0.1875n (0.01n)2
令
1
0.1875n (0.01n)2
0.90
由此解得 n 18750
即至少要进行18750次试验才能达到要求.
二、大数定律
定义 设 {Xn} 为一随机变量序列，a 为一常数，若对
任意的 0, 有
f (x), 则有
P{ X } f (x)dx
x
x
x
2
f
(x)dx
1 (x )2 f (x)dx
2
2
.
2
切比雪夫不等式示意图
f (x)
≥1
2 2
O
x
≤ 2 2
若随机量 X 服从正态分布：X : N(, 2 ), 则由切比
雪夫不等式可得：
P{ X
3}
p(1 n
p),
由此得
P
X n
E
X n
p(1 p) .
n 2
令 n , 注意到概率的非负性，有
lim P n
X n
E
X n
0,
即
lim P n
nA n
p
0.
这说明 nA p p. n
这也是前面所提到的频率稳定性的一个数学表示.
贝努里(Bernoulli)大数定律的意义
第一节 大数定律
一、切比雪夫不等式
定理1 设有随机变量 X ，E(X ) , D(X ) 2,
则对任一实数 0, 恒有
P{ X
}
2 2
.
或者写成等价的形式：
P{ X } 1 2 . 2
证 以连续型随机变量的情形为例，在离散的情形只
需把下面的求积分变换为求和即可. 设 X 的密度函数为