北师版数学高二《不等式的证明》 同步导学案

选修4-5学案 §2.1.3不等式的的证明(3) 姓名

☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式

☻知识情景：

1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．

20. 综合法和分析法．

30. 反证法、换元法、放缩法

2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,

通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.

用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒

⇒⇒

3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,

直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),

从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.

用分析法证明不等式的逻辑关系：

☻新知建构：

1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；

第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成

12 ( ) n B B B B A

⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知

立.

例1已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .

2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.

常用的换元有三角换元有：

10．已知222a y x =+，可设 ， ；

20．已知122≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )；

30．已知12222=+b y

a x ，可设 ， .

例2 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ）

.A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞

例3 已知221x y +=，求证：y ax -≤

3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.

常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：

a a >+12，n n n >+)1(，

②将分子或分母放大（或缩小）如：

2111(1)(1)

n n n n n <<

+-

③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b

b m

+<+”

④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=

<=；

⑤利用函数的单调性

⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；

⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：

2

=()*

,1k N k ∈>，

2

=

<=()*

,1k N k ∈>

⑨应用贝努利不等式：2

(1)(1)11.12

n n n n x nx x x nx -+=++

++>+⨯

例4 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<

例5求证：.33211

3211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+

+n

例6 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<

c

a d d

b d

c c a c b b

d b a a

选修4-5练习 §2.1.3

不等式的证明(3) 姓名

1、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2

1.

2、设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于4

1

3、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）.

4、若x , y > 0，且x + y >2，则

x

y +1和y x

+1中至少有一个小于2。

5、已知 1≤22x y +≤2，求证：1

2≤22x xy y -+≤3

6、设2()13f x x x =-+，1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+；

7、求证：3

1

1112≤

+--≤

-x x x

8、求证

.111b

b a

a b

a b a ++

+≤

+++

9、设n 为大于1的自然数，求证

.2

121312111>+++++++n n n n

10、若n 是自然数，求证

.213121112222<++++n

11、求证：2231111

12212n n n

-<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)

12

、求证：21

<⋅⋅⋅+<()*n N ∈

参考答案: