立体几何中的向量方法(距离问题)

3、点到直线的距离：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
点P与直线l的距离为d , 则
d AP sin AP, a
a
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2), x D
C
n EF，n
n (1, 3
解 : 建立坐标系.
A1E
=
(-1,பைடு நூலகம்
1 2
,
0),
A1B
=
(0,1,
-1)
cos A1E, A1B
1 10
z
sin A1E, A1B
3 10
D1
E
C1
点E到直线A1B的距离为 A1
B1
d
A1E sin A1E,
A1B
3 4
2
D
Ax
C
y
B
例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60)
6
所以 | AC1 | 6
回到图形问题
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6倍。
思考：(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 D1
C1
某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么 A1
n
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
A O
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
总结：平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点
(常选择特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.
练习如图，60°的二面角的棱上 有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的 两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6， BD＝8，求CD的长.
C
B
68
A
D
例 1: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分
别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，
向量法求空间距离的求解方法
1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的 距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行 平面的距离.其中直线到平面的距离、平行平面的距 离都可以转化点到平面的距离.
2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.
思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?
分析：面面距离转化为点面距离来求
D1
解： 过 A1点作 A1H 平面 AC 于点 H .
A1
则 A1H 为所求相对两个面之间的距离.
D
由A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
A
H
2
AC
( AB
BC )2
11
2cos 60
3
AC 3
C1
B1 C B
AA1 AC AA1 (AB BC) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
cos
A1
AC
|
AA1 AA1 |
AC | AC
|
1 3
sinA1 AC
6 3
A1H AA1 sinA1 AC
1 3
EG
2x 2y 2x 4
0 y 2Z
,1) ,BE (2,0,0)
F
0
A
E
d | n BE| 2 11 .
B
y
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
例 2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
E为D1C1的中点，(1)求点E到直线A1B的距离.
长为1，E为D1C1的中点，
z
(2) 求B1到面A1BE的距离；
解:A1
E
=(-1,1 2
,0),A1B=(0,1,-1)
D1
E
C1
设n 则 n
n
(
x, y, z)为面A1BE的法向量，
A1E 0, A1B 0,
x y z
1 2
B1
有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
D
C
(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离
A
B
是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平
面的距离或两点间的距离）
思考(1)分析: BD1 BA BC BB1
其中 ABC ABB1 120 ，B1BC
60
易知对角线 BD1 的长与棱长的关系.
空间“距离”问题
复习回顾：
1.异面直线所成角：
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
C
D
A D1
B
A
n
B O
n2 n1
6 3
∴ 所求的距离是
6 .
3
如何用向量法求点到平面的距离?
4、用向量法求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1
C1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
A1
B1
进行向量运算
D
C
2
AC1
( AB
AD
AA1 )2
2
2
2
A
B
图1
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
思考(2)分析: 设 AC1 a，AB AD AA1 x，BAD BAA1 DAA1
由 AC1 AB AD AA1
2
2
2
2
AC1 AB AD AA1 2(AB AD AB AA1 AD AA1)
即 a2 3x2 2(3x2 cos ) x
1 a
3 6cos