反函数和反三角函数(最新)

许多角。
2
2
正切函数 ytanx,x(,) 有反函数吗？ 有,因为它是一一对应函2数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 --
3.反正切函数
（1）定义：正切函数
ytanx(x( , )的反函数 22
叫反正切函数，记作 xarctany (本义反函数)
习惯记作 yarctanx(矫正反函数)
xR, y(
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
--
一、反函数
--
--
--
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsixn 2.反余弦函数 arccxos 3.反正切函数 arctaxn 4.反余切函数 arccoxt
--
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
②这个角的范围是
2
,
2
即arcsina2,2.
--
（2）反正弦函数 yarc x,x s i [ 1 n , 1 ]的图象
与性质： ①定义域:[-1，1]。
②值域: [ , ]
22
y
③单调性: 是增函数。
yarcsinx,x [ 1 ,1 ],y [, ]
2
22
1.5
④奇函数 ⑤有界函数
arccos
0
___2 ___(4)
arccos
1 2
__3____
2
(5) arccos( 1 ) __3 ____(6) arccos 2
2 2
__4 ______
(7) arccos(
2 2
)
3
__4 ______(8)
arccos
3 2
_6_____
3 5
(9) arccos(
2
) __6 ______ --
23
(2)arccos 1
32
错 1
3
(3)arccos02k(kZ) 错
2
(4)arccos()arccos
3
3
错
1 3
总结 yarc x,x c o [ 1 s , 1 ]
y [0，π]。 --
正切函数 ytanx(xk,kz) 有反函数吗？
2
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
--
理解和掌握arccos( a 1)符号
① arccosa表示一个角
②这个角的范围是 0 ,
即arccos0,.
--
（2）反余弦函数 yarc x ,x c o [ 1 s , 1 ]的图 象与性质
①定义域： [-1，1]。
②值域: [0，π]。
③单调性:
y
5 y=arccosx,x∈[-1，1]
（4）已知三角函数值求角
只有余弦函数主值区 间[0，π]上的角才能 用反余弦表示
2
ycox,x s [0,]
a
F
π
-2
x x O
E1
1
2
x2
x3
-arccosa -2 arccosa
2π-arccosa 2π+arccosa
--
例题：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1)arccos 1
对
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
没有,因为他不是一一对应函数
(4)正弦函数y=sinx在 [ , ] 上有反函数吗？ 22
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？
正切函数y=tanx在 ( , )上有反函数吗？ 22
(5)
arcsin(
1
)
___6 ___(6)
arcsin
2
2 2
__4 ______
(7) arcsin(
2 2
)
_ __4 _____(8)
arcsin
3 2
__3 ____
(9) arcsin(
3 2
)
_ __3 _____ --
只有正弦（函4）数主已值知区三间角函[ 数值,求 角] 上的角才能用
反正弦表示
22
2
a
F
x4
x3
-2 2
O
E1
x=?
2x1
2
x2
ysinx,x[,]
22
-2
arcsina
--
例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1)arcsin 3
23 (2)arcsin 3
32
对 错 1
3
(3)arcsin12k(kZ)
2
错
arcsi1n
2
(4)arcsin()arcsin
同一个三角函数值只对应一个角。 --
2.反余弦函数
（1）定义：余弦函数 ycosx(x[0,]) 的反函数
叫反余弦函数，记作 xarccosy(本义反函数)
习惯记作yarccosx(矫正反函数)
x[1,1],y[0,]
若 x a [ 1 ,1 ],有 y a rc c o s a ,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
--
正弦函数 ysixn(xR)有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数ysinx(x[,]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函2数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 --
1.反正弦函数
（1）定义：正弦函数
3
3
错
1 3
总结 yarc x,x s i [ 1 n , 1 ]y [ --
2
, 2
]
余弦函数 ycosx(xR)有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
-1
余弦函数 ycosx(x[0,])有反函数吗？
有,因为它是一一对应函数，
4.5
4 y∈[0，π]
3.5 3
2.5
是减函数。
2
1.5
1
④有界函数
0.5
π
-4
-3
-2
-1
-1
o-0.5
11
2
3
x4
-1
y=cosx,x∈[0，π]
y-- x
y∈[-1，1]
（3）熟记特殊值的反正弦函数值
(1) arccos1 __0 ____(2) arccos(1) ______
(3)
ysinx(x[ , ])的反函数
22
叫反正弦函数，记作 xarcsiny
习惯记作 yarcsinx
x[1,1],y[,]
22 若 x a [ 1 ,1 ],有 y a rc s in a ,
这里的“arcsina ”是一个角的符号.
--
理解和掌握arcsina(a 1)符号
① arcsin a 表示一个角 Nhomakorabea21
0.5
2 -1
ysinx,x [,],y [1,1]
22
-3
-2
-1
o
-0.5
1
2
12
x3
-1
-1.5
y x -2
2
--
（3）熟记特殊值的反正弦函数值
(1)
arcsin
1
__2 ____(2)
arcsin(
1)
__ _2___
(3)
arcsin
0
__0 ____(4)
arcsin
1 2
___6 ___