二分法求根算法C++

迭代法求根号

迭代法求根号
迭代法是一种数值计算方法，用于逼近函数的根。

在求解根号的迭代法中，通常采用牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method）或二分法（Bisection method）。

1.牛顿-拉弗森方法：
这是一种迭代方法，通过不断更新初始猜测值来逼近函数的根。

具体来说，对于要求解的根号函数f(x)，牛顿-拉弗森方法的迭代公式如下：
x n+1=x n−f(x n) f′(x n)
其中，x n是第n次迭代的猜测值，x n+1是第n+1次迭代的猜测值，f′(x n)是函数f在x n处的导数。

2.二分法：
二分法是一种简单而直观的迭代方法，通过不断缩小根所在的区间来逼近根。

具体来说，对于要求解的根号函数f(x)，二分法的迭代步骤如下：
(1)首先确定一个初始区间[a, b]，使得f(a) 与f(b) 异号。

(2)然后计算区间的中点c = (a + b) / 2，并计算f(c)。

如果f(c) 等于零或者满足预先设定的精度要求，则 c 就是所求根的近似值；否则，根据f(a) 与f(c) 的符号确定新的区间[a, c] 或[c, b]，然后重复上述步骤。

[数值算法]求根算法系列小结

fprintf(outputFile,"%-12d%-12f\r\n",iteratorNum,xk);
iteratorNum++;
}
fprintf(outputFile,"root finded at x=%f\r\n",xk);
return xk;
}
测试4：牛顿求根法的应用:
被求方程为：f(x)=x(x+1)^2-1=0
0.437500 0.453125
0.437500 0.445313
0.441406 0.445313
0.443359 0.445313
0.444336 0.445313
0.444824 0.445313
total iterator time is:11
a root of equation is :0.444824
当然，在这之前，首先是要准确的估计出根所处的区间，否则，是找不到根的。
Type binaryPationMethod(Type x1,Type x2,Type e,Type (*arguF)(Type),FILE* outputFile)
{
Type x;/*The return answer*/
Type mid;
{
Type xk;
int iteratorNum=0;
assertF(fiArguF!=NULL,"in NewTownMethod,arguF is NULL\n");
assertF(fiArguFDao!=NULL,"in NewTownMethod,fiArguFDao is NULL\n");
{
xk=(xk*(*fiArguF)((*fiArguF)(xk))-(*fiArguF)(xk)*(*fiArguF)(xk))/((*fiArguF)((*fiArguF)(xk))-2*(*fiArguF)(xk)+xk);

6.1 方程求根的二分法

第六章非线性方程组的迭代解法
第6章非线性方程和方程组的数值解法
教学目的 1. 掌握解非线性方程（组）的二分法和插值法； 2. 掌握解非线性方程（组）的一般迭代法及有关收敛性的证明与牛顿法； 3. 掌握解非线性方程（组）的牛顿法 4. 了解加速收敛的方法。教学重点及难点重点是解非线性方程（组）的牛顿法；难点是迭代法的收敛性的证明。
例如xlogx10可以改写为logx1x画出对数曲线ylogx与双曲线y1x它们交点的横坐标位于区间23内第六章非线性方程组的迭代解法1画图法xy1?yylogx??023x第六章非线性方程组的迭代解法?对于某些看不清根的函数可以扩大一下曲线yyfxykfx11画图法画图法11画图法画图法0x第六章非线性方程组的迭代解法2逐步搜索法2搜索法对于给定的fx设有根区间为ab从x0a出发以步长hbann是正整数在ab内取定节点
第六章非线性方程组的迭代解法
考虑非线性方程
f (x)=0
(6.1)
1 条件 f ( x ) C[a, b], 且f (a ) f (b) 0 2 主要依据由连续函数介值定理,则至少存在某个 x* (a, b),
使得f ( x* ) 0,即[a,b]内至少有方程(2.1)的一个根,称[a,b]为f(x)
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,
根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在 (a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区
间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间缩(1) 画图法源自第六章非线性方程组的迭代解法
• 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的

二分查找法求解高阶方程 c++

二分查找法一般用于求解一元函数的根，对于高阶方程，我们需要先将其转化为多个一元方程，然后分别使用二分查找法求解。

下面是一个简单的示例，使用二分查找法求解一个高阶方程在指定区间内的根：```c++#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;double f(double x) { // 定义高阶方程return pow(x, 3) - 2*x - 5;}double binary_search(double left, double right, double eps) { // 二分查找法求解根while (right - left > eps) {double mid = (left + right) / 2;if (f(mid) == 0) return mid;else if (f(mid) * f(left) < 0) right = mid;else left = mid;}return left;}int main() {double left = -10, right = 10, eps = 1e-6; // 定义区间和精度double root = binary_search(left, right, eps); // 求解根cout << "The root of the equation is: " << root << endl;return 0;}```在上面的代码中，我们定义了一个高阶方程 `f(x) = x^3 - 2x - 5`，然后使用二分查找法在区间 `[-10, 10]` 内求解其根。

注意，由于高阶方程可能存在多个根，因此可能需要多次使用二分查找法才能找到所有的根。

二分法求方程的实根

二分法求方程的实根一：实验目的通过编程实现二分法，并利用所编程序求函数x e x y --=3在(0,1)的近似解,然后比较和计算器所求的结果，从理性和实践上认识两种计算方法。

二：基本原理连续函数的零点定理1、假定f(x)在区间（x ，y ）上连续，先找到a 、b 属于区间（x ，y ），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2]。

2、假设f(a)<0,f(b)>0,a<b①令a a =1,()11121,b a x b b +==,如果f(x)=0，该点就是零点。

如果0)()(1<x f a f ，则新的有根区间为[][]x a b a ,,122=；否则[][]122,,b x b a =。

此时有[][]2211,,b a b a ⊃，且()112221a b a b -=-。

对区间[]22,b a 重复上述做法多步有[][][][] n n b a b a b a b a ,,,,332211⊃⊃⊃且()a b a b n n n -=--121（式1）记*x 为0)(=x f 的根，我们有[]n n b a x ,*∈，即),3,2,1(* =≤≤n b x a n n 由（式1）及夹逼定理有:*lim lim x b a n n n n ==∞→∞→,实际计算时，当ε<-)(n n a b 时，取)(21*n n b a x +≈作为所求根近似值。

三：实验步骤1:建立如下函数文件f.m ：Function f=f(x)f=x e x --32:通过如下框图编写二分法程序：erfen.m开始输入f,a,b,delta计算fa,fb,fa*fbfa*fb>0计算最多二分次数max1计算c=(a+b)/2, fcfc=0fb*fc>0b=c,a=a a=c,b=b|a-b|<=0.0005结束是否是否是否是否(3)、在Matlab 命令窗口键入：[c,err,yc]=bisect(‘f ’,0,1,0.005)(4)、得出结果，并与计算器所得结果比较分析误差。

C语言二分法求解方程根的两种方法

C语⾔⼆分法求解⽅程根的两种⽅法本⽂实例为⼤家分享了C语⾔⼆分法求解⽅程根的具体代码，供⼤家参考，具体内容如下对于⼆分法求根，其实和弦截法思想很像，甚⾄更简单。

原理：先看如下的图A,B两个点为跟的⼀个边界，通过⼀直缩⼩跟的边界，从⽽获取跟的值。

（1）知道函数（即⽅程的式⼦），这个好说，题上都有（2）循环的输⼊A,B的横坐标的值，即x1，x2的初值，直到f（x1）与f（x2）的乘积为负数才停⽌。

（必须保证⽅程的跟在（x1，x2）区间）这样的x1，x2的初值才有意义。

（3）令xx=（x1+x2）/2;（即中值），若f(xx)*f(x1)>0此刻证明了x1要被xx替代了，即区间变成了（xx，x2）；。

若f(xx)*f(x2)>0此刻证明了x2要被xx替代了，即区间变成了（x1，xx）；⼤家可以⽤上⾯的图试⼀下就知道了，很好理解的。

（4）那么什么时候结束呢，这就是⼀个精度的问题了，看你把精度设成什么样⼦，最精准的⽅程跟的函数值是0，那么就⽤f（xx）与0⽐较，相差在⾃⼰设置的精度（⼀般是10的-6次⽅，C语⾔中写作：1e-6）以内，则可以把xx近似当做是⽅程的跟。

下⾯⽤代码实现：第⼀种是直接的，第⼆种是可移植性的（即使⽅程改变需要修改的地⽅很少，⽽前者则需要修改很多），第⼆种⽤函数指针实现。

第⼀种：#include <stdio.h>#include <iostream>#include <string.h>#include <math.h>using namespace std;double f(double x){return (x*x*x-3*x*x+3*x-1);}int main(){double x1,x2,xx;//x1,x2代表区间左右边界，xx代表⽅程跟的值do{scanf("%lf%lf",&x1,&x2);}while(f(x1)*f(x2)>0);//保证f(x1)和f(x2)是异号，这样才可以进⾏下⼀步的精准区间，否则，重新输⼊x1，x2的值do{xx=(x1+x2)/2;if(f(xx)*f(x1)>0)x1=xx;elsex2=xx;}while(fabs(f(xx))>=1e-7);//le-6代表1*10的-6次⽅，它的值将影响到跟的准确度的问题printf("%.2lf\n",xx);return 0;}第⼆种：#include <stdio.h>#include <iostream>#include <string.h>#include <math.h>using namespace std;double f(double x){return (x*x*x-3*x*x+3*x-1);}double erfen(double x1,double x2,double (*p)(double))//double (*p)(double)为形参，相当于函数别名{double xx;do{xx=(x1+x2)/2;if((*p)(xx)*(*p)(x1)>0)x1=xx;elsex2=xx;}while(fabs((*p)(xx))>=1e-7);//le-7代表1*10的-6次⽅，它的值将影响到跟的准确度的问题return xx;}int main(){double x1,x2;double f(double);double (*p)(double);p=f;do{scanf("%lf%lf",&x1,&x2);}while((*p)(x1)*(*p)(x2)>0);//保证f(x1)和f(x2)是异号，这样才可以进⾏下⼀步的精准区间，否则，重新输⼊x1，x2的值 printf("%.2lf\n",erfen(x1,x2,f));return 0;}以上就是本⽂的全部内容，希望对⼤家的学习有所帮助，也希望⼤家多多⽀持。

高校工程数学二分法求方程根教学课件

x0的右侧；这时令a1=x0，b1=b；
否则x*必在x0的左侧，这时取a1=a，b1=x0；这样得到新
的有根区间(a1,b1)，其长度
仅为(a,b)的一半(见图)。
二分法原理/步骤
对压缩了的有根区间(a1,b1)又可施行同样的手续，即用中点x1=(a1+b1)/2将区间(a1,b1)再分为两半，然后通过根的扫描判定所求的根在x1的哪一侧，从而又确定一个新的有根区间(a2,b2)，其长度是(a1,b1)的一半。如此反复二分下去，便可得到一系列有根区间： (a,b),(a1,b1),(a2,b2),…,(ak,bk),… 其中每个区间都是前一个区间的一半，因此区间(ak,bk)的长度
误差分析：
因为：
1 1 x xk bk ak k 1 b a 2 2
*
所以实际计算时，只要二分足够多次，便有里，ε为预定精度。
x * x k 。这
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
ba ε k 1 2 k
l gb a l g ε 1
bk–ak=(b–a)/2k
二分法原理
显然，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必收缩于一点x*，该点x*就是所求的根。
每次二分后，设取有根区间(ak,bk)的中点
xk=(ak+bk)/2 作为所求根的近似值，在二分过程中可以获得一个近似根的序列 x0, x1, x2, …, xk, … 该序列必以根x*为极限。
§2.2 二分法求方程根
思路：二分法的基本思想就是逐步对分区间，经过对根的搜索，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出满足精度的根的近似值。
二分法步骤

数值分析二分法

二分法的实现步骤
04
确定初始区间
01
确定初始区间
选择一个初始的区间，其中包含要找的根。
02
确定终止条
确定初始中点
选择区间的中点作为初始近似值。
计算中点
计算中点
将区间分成两半，取中间点作为新的近似值。
计算中点处的函数值
代入中点处的x值，计算函数值f(x)。
检查中点处的函数值
检查中点处的函数值
比较f(x)与0的大小，判断中点是否为根。
VS
确定根所在区间
根据函数值的正负，确定根所在的区间。
更新区间
更新区间
根据根所在的区间，重新确定新的区间长度和区间端点。
更新近似值
将新的区间端点中的较小值作为新的近似值。
重复步骤，直到满足精度要求
重复步骤
重复上述步骤，直到满足终止条件，即区间长度小于预设的精度要求。
收敛性证明
• 证明：由于f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异号，根据介值定理，存在至少一个零点c属于(a, b)。每次迭代将区间[a, b]分成两半，即c = (a + b) / 2，由于f(c)不为零，所以f(a)和f(c)同号或f(c)和f(b)同号，即至少有一半的区间满足条件，继续迭代直到达到精度要求。
二分法的重要性
二分法是数值分析中基础而重要的方法之一，为解决许多实际问题提供了有效的数值逼近手段。
二分法在金融、工程、物理等领域都有广泛的应用，如求解微分方程、优化问题等。
02 二分法的基本原理
定义与公式
定义
二分法是一种求解实数区间[a, b]上函数f(x)零点的迭代算法。
公式
假设f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a) * f(b) < 0。取c = (a + b) / 2，如果f(c) = 0或f(a) * f(c) < 0，则c就是所求的零点。

二分法求方程的根

第一种二分法
用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
步骤2. 取a,
b的中点
x1

a
2
b
,
计算
f
x1
步骤3. 若f x1 0,则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若f a f x1 0,则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1; 若f a f x1 0, 则取a1=x1, b1=b;
用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
for k=1: max1+1 a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2; yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1; [k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx] if yx==0 a=x; b=x; elseif yb*yx>0 b=x;yb=yx; else a=x; ya=yx; end if b-a< abtol , return, end end k=max1; x; wuca; yx=fun(x);
步骤2.取a, b的中点
x1
ab, 2
计算
f
x1
步骤3. 若 f x1 0, 则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若 f a f x1 0, 则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1;

数值分析——二分法及迭代法

数值分析——二分法及迭代法数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科。

在数值分析中，二分法和迭代法是两种常用的数值求解方法。

本文将对二分法和迭代法进行详细介绍，并比较它们的特点和适用范围。

一、二分法二分法是一种通过将问题分解为两个子问题，并选择其中一个子问题进行求解的方法。

它适用于解决连续函数的求根问题。

二分法的基本思想是利用中值定理，通过不断缩小区间来逼近根的位置。

具体步骤如下：1.选取一个初始的区间[a,b]，确保f(a)和f(b)的符号相反。

2.计算区间的中点c=(a+b)/23.判断f(c)的符号，并更新区间。

若f(c)与f(a)符号相反，则更新区间为[a,c]；否则更新区间为[c,b]。

4.重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。

5.最后得到的近似根为区间的中点c。

二分法的优点是收敛速度快，且能够保证收敛到根的位置。

然而，二分法的缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度，所以其收敛速度相对较慢。

此外，二分法需要事先确定区间，并且要求f(a)和f(b)的符号相反，这对于一些问题来说可能并不容易实现。

因此，二分法主要适用于单峰函数求根问题。

二、迭代法迭代法是一种通过迭代逐步逼近解的方法。

它适用于一般的数值求解问题。

迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，将原始问题转化为一个具有相同解的等价问题，并通过逐步逼近来求解。

具体步骤如下：1.选取一个初始的近似解x_0。

2.根据迭代公式x_{k+1}=g(x_k)，计算下一个近似解x_{k+1}，其中g(x)是一个适当的函数。

3.判断迭代是否达到停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。

若满足停止准则，则停止迭代；否则返回步骤2继续迭代。

4.最终得到的近似解为迭代过程中的最后一个近似解x_k。

迭代法的优点是适用范围广，可以求解一般的数值问题。

此外，迭代法的迭代公式可以根据具体问题的特点进行选择，使得迭代过程更加高效。

二分法求多项式单根的原理

二分法求多项式单根的原理二分法是求解数学问题中一种较为简单但有效的方法，它基于连续函数零点存在定理，通过判断区间两端点函数值的正负性来缩小解的范围，最终获得目标解的近似值。

对于多项式函数而言，如果单根存在，即只有一个实数解，则也可以用二分法来求解。

定理 1：一元 n 次多项式P(x) = a0 + a1x + … + anx^n 在实数域上至少存在一个根。

这个定理的意义在于说明一元多项式函数在实数域上至少有一个实数零点，也就是至少存在一个实数 x，使得 P(x) = 0。

虽然多项式函数也可能有虚数根，但在实际问题中多数情况下只需考虑实数解。

由于定理 1 成立，我们可以采用二分法来寻找多项式函数 P(x) 的单根。

具体的过程如下：1. 选择一个起点区间 [a, b]，满足 P(a)P(b) < 0。

因为 P(x) 在 [a, b] 上是连续函数，且 P(a)P(b) < 0 说明函数在区间两端点处函数值异号，即区间内存在至少一个实根。

2. 作区间的中点 c = (a + b) / 2，并计算 P(c) 的值。

如果 P(c) = 0，说明 c 就是目标单根，直接输出结果即可。

3. 如果 P(c) 与 P(a) 同号，则说明 c 与 a 处于同一侧，此时应将起点区间右移，即将 a 的值更新为 c，即新区间为 [c, b]；反之，如果 P(c) 与 P(b) 同号，则说明 c 与 b 处于同一侧，此时应将终点区间左移，即将 b 的值更新为 c，即新区间为 [a, c]。

4. 重复步骤 2 和 3，直到区间长度小于预设精度值或者满足一定迭代次数，此时可以认为已经得到了目标解的近似值。

需要注意的是，二分法只能求解多项式函数的实根，虽然在实际问题中单根常常是唯一的解，但并非一定如此。

而且，二分法不具有求根速度快、精度高的优点，需要根据具体问题的特点来确定二分法的适用性。

举个例子，考虑求解多项式函数 P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 的实根。

数值分析2-方程求根二分法迭代法

两个条件都成立，迭代收敛，即满足条件.
反之, 当 |'(x )|>1 时，因为一阶导数连续, 对任意给定正数，总存在当
x [ x , x ] 时,有 | '( x) || '( x) '( x ) |
| '( x) '( x ) |
| '( x ) | 1,

1 (1 '( x )) 0. 2
| '( x ) | 1
(先证明第2个条件：构造某区间,有
)
lim '( x) 0 . ( x) 为一阶导数连续，即 x 0
再利用函数极限知识:对任意给定正数，总存在
当
x [ x , x ] 时,有 | '( x) || '( x) '( x ) |
xk - x* ≤L( xk - xk－1 ＋ xk - x* )
由性质（2）知：x* - xk ≤L x* - xk－1 ， ∴若
x* - xk -1 ≤ xk - xk－1 ＋ xk - x*
即可。
这显然是成立的，因为
x* - xk-1 = x* - xk＋xk - xk－1 ≤ xk - xk－1 ＋ x* - xk = xk - xk－1 ＋ xk - x*
≤L xk－1 - xk－2 ≤…≤Lk－1 x1 - x0
L Lk xk - x ≤ x - x ≤…≤ x -x 1- L k k－1 1- L 1 0
*
∴
由于尚未计算，即能估计出迭代次数，该式称为误差事先公式。
(5) ∵
xk＋1 - x* * lim ＝ φ '( x ) k→∞ x - x* k